定點(diǎn)DSP中高精度除法解析

引言
　　各種集成化單片數(shù)字信號(hào)處理器（DSP）以其功能強(qiáng)、集成度高、應(yīng)用靈活、性價(jià)比高等優(yōu)點(diǎn)，在信號(hào)處理和系統(tǒng)控制中的主導(dǎo)性地位日益明顯。許多信號(hào)處理和控制需要運(yùn)用除法運(yùn)算。一般的數(shù)字信號(hào)處理器中沒(méi)有現(xiàn)成的除法指令。十多年前誕生的浮點(diǎn)DSP，由于其用硬件完成浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算，在數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算能力上大大超出定點(diǎn)DSP，處理除法運(yùn)算也比定點(diǎn)DSP更為簡(jiǎn)單。但是定點(diǎn)DSP每器件產(chǎn)品的價(jià)格更低，這對(duì)大規(guī)模的大眾市場(chǎng)應(yīng)用而言是相當(dāng)重要的優(yōu)勢(shì)，也是定點(diǎn)器件至今仍是業(yè)界主流的主要原因。所以，討論定點(diǎn)DSP中除法的實(shí)現(xiàn)仍不失其意義。在定點(diǎn)DSP中雖然已經(jīng)有人給出除法的算法，但是由于其運(yùn)算的復(fù)雜和精度難以如愿，致使一些帶有除法的好的算法在信號(hào)處理中難以得到應(yīng)用。
　　為了提高運(yùn)算結(jié)果的精度，本文在已有除法算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一些改進(jìn)，最大限度地保證了結(jié)果的精度。最后在TI公司的TMS320C5416芯片里具體實(shí)現(xiàn)并驗(yàn)證了這一高精度除法。
　　1 經(jīng)典算法
　　DSP中沒(méi)有現(xiàn)成的除法指令，除法是靠被除數(shù)與除數(shù)之間的移位相減來(lái)實(shí)現(xiàn)的。在C54X系列里利用減法指令SUBC和循環(huán)指令RPT實(shí)現(xiàn)2個(gè)16位數(shù)的相除。下面以C54X為例來(lái)具體實(shí)現(xiàn)經(jīng)典的除法：
　　C54X提供的SuBC指令僅對(duì)無(wú)符號(hào)數(shù)進(jìn)行操作，所以在移位相減開(kāi)始之前必須先將被除數(shù)和除數(shù)取絕對(duì)值，僅考慮2個(gè)正數(shù)的除法。此時(shí)除法運(yùn)算有兩種情況：
　　當(dāng)|被除數(shù)|《|除數(shù)|時(shí)，將|被除數(shù)|存放在累加器的高16位，然后用SUBC完成15次移位相減，相減之后在累加器A的低16位中存放商的絕對(duì)值。根據(jù)運(yùn)算前被除數(shù)和除數(shù)的符號(hào)是否相同來(lái)決定是否要改變所得結(jié)果的符號(hào)。
　　當(dāng)|被除數(shù)|≥|除數(shù)|時(shí)，將|被除數(shù)|存放在累加器的低16位，然后用SUBC完成16次移位相減，相減之后在累加器A的低16位中存放商的絕對(duì)值。根據(jù)運(yùn)算前被除數(shù)和除數(shù)的符號(hào)是否相同來(lái)決定是否要改變所得結(jié)果的符號(hào)。
　　從實(shí)現(xiàn)的過(guò)程分析，當(dāng)|被除數(shù)|《|除數(shù)|時(shí)，移位相減開(kāi)始時(shí)|被除數(shù)|和|除數(shù)|的小數(shù)點(diǎn)位置正好相差一位。第一次相減后在累加器A的O位最低位存進(jìn)的數(shù)值正是商的最高位，該位為商的小數(shù)點(diǎn)后第一位。在15次移位相減之后，累加器A低16位所得的結(jié)果為Q值為15的小數(shù)。當(dāng)|被除數(shù)|≥|除數(shù)|時(shí)，在第l6次相減時(shí)，|被除數(shù)|位于A的高16位（30～15位）上，小數(shù)點(diǎn)位在A的15位后，和|除數(shù)|的小數(shù)點(diǎn)位正好對(duì)齊，則此次相減后在A的 0位加上的值正好是商的最低有效整數(shù)位，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)中的個(gè)位。所以在16次移位相減之后，累加器A低16位所得的結(jié)果為Q值為0的整數(shù)。以此分析，當(dāng)商的精確值不是整數(shù)，或者超出Q值15所表示的范圍時(shí)，此算法所得結(jié)果就達(dá)不到16位數(shù)據(jù)所能表達(dá)的精確度。
　　表1中任取幾組數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明。
　　
　　2 高精度算法
　　由于經(jīng)典算法在結(jié)果上存在精度不高的問(wèn)題，所以應(yīng)考慮精度盡可能高的除法算法。和經(jīng)典算法一致，本算法也采用移位相減實(shí)現(xiàn)除法。但不同的是，在進(jìn)行移位相減之前算法對(duì)除數(shù)與被除數(shù)進(jìn)行了一些處理，并且在移位相減時(shí)不再分兩種情況。下面具體介紹算法的流程。
　　首先給出被除數(shù)y和除數(shù)x。由于定點(diǎn)DSP中所有的數(shù)據(jù)都以整數(shù)的形式存在，所以在這里就把y和x看成是整數(shù)，不考慮它們本身的Q值。在圖1所示的流程圖中，A和B是C5416的2個(gè)累加器。算法第一步是將x和y相乘，結(jié)果存放在B中，以便在最后從B中提取商的符號(hào)（商的符號(hào)與B的符號(hào)相同）。第二步分別對(duì)x和y取絕對(duì)值以進(jìn)行無(wú)符號(hào)數(shù)相除。第三步，分別判斷x和y在最高有效位之前共有多少個(gè)O，分別記為n和m，即在x和y的分別有（16一n）和 （16一m）個(gè)有效位。然后將x和y分別左移（n一1）位和（m一2）位，即x=x·2n-1，y=y·2m-2。第四步，將前面所得x和y再進(jìn)行移位相減，把y存放在A的高位，即AH=y，利用SUBC指令進(jìn)行1 5次移位相減。在所得的結(jié)果當(dāng)中，A的低位即為商的絕對(duì)值，B的符號(hào)即為商的符號(hào)，兩者結(jié)合得到quot值。由于在移位相減之前分別對(duì)除數(shù)和被除數(shù)有一個(gè)左移放大的操作，所以在結(jié)果中就必須考慮商的Q值。