以彈簧為基礎理解機械波的能量

今天講一個短平快的問題。 很多人對機械波的能量感到困惑，為什么處于平衡位置的媒質的質元的彈性勢能反而是最大的？為什么質元的動能與勢能同步變化？ 當然，你可能會根據(jù)一些特例來幫助理解這些問題。例如，抖動一根水平繩產生橫波時，你注意到那些位于平衡的位置，因為兩邊受到的拉力指向相反方向，所以形變是最厲害的；而處在最高或最低點的那些位置，兩邊受到的力指向同一方向，雖然具有最大的加速度，但本身的形變卻為零。所以勢能最大的位置應該在平衡位置。

如果用力抖動一根軟彈簧形成橫波，那么會看到平衡位置處，彈簧形變最明顯，而最低和最高點幾乎還是原樣，如下圖所示。

至于動能，你也容易想到一個屢試不爽的規(guī)律：平衡位置的加速度為零，速度必然最大，所以動能就是最大。 如此一來，動能和勢能同步達到最大，當然也會同步達到最小，所以它們同步變化的規(guī)律就坐實了。 但若要較真，機械波的能量的規(guī)律到底該怎么得到呢？那你還得用一點數(shù)學。下面較詳細的給出一個推理分析的過程。 考慮一根長為??的彈簧被拉伸了??，它的彈性勢能是多少？

學過高中物理的你，當然知道是下面這樣的?

其中??為倔強系數(shù)。如果彈簧的材料和粗細確定，更長的彈簧，倔強系數(shù)更小，這個應該很好理解，彈簧越長，拉起來當然就沒那么費力了。?按此規(guī)律，可將倔強系數(shù)寫成?其中??是一個常數(shù)，取決于彈簧的粗細和材料性質。

那么上面的勢能可以寫成?這里故意拼湊了一個新變量——??，即相對伸長量。由于??是常量，所以，對某個彈簧（材料、粗細和原長確定），其儲存的勢能由它的相對伸長量決定。

如果彈簧是被壓縮的，只不過??，能量表達式也是一樣的。

總之，彈簧的相對形變量??決定它的勢能！?

那么，對一段長為??的媒質，它所儲存的勢能也是類似的：取決于它的相對形變量。

你可能認為，這段媒質的中心的偏移量會產生勢能，這其實是一種錯覺。媒質中各點的絕對偏移量并不一定會形成彈性勢能！

想象你手里拿著的一把尺子，假設它現(xiàn)在整體移動一段距離，很顯然，整個尺子的重力勢能的確變了，但始終沒有形變，所以也沒有彈性勢能！但顯然，尺子上各點不是發(fā)生了偏移嗎？！

所以，從根本上說，只有當內部各點的位移不同，導致各點之間發(fā)生相對位移，也就是物質產生了形變時，才會形成彈性勢能。

很顯然，機械波的媒質就是最好的代表的呀！

對機械波來說，波函數(shù)的變量??是描述媒質中點的偏移量的。它是位置??和時間??的函數(shù)，換句話說，同時刻不同點的偏移量不一致呀！所以自然會導致各點之間發(fā)生相對位移，也就是波的媒質發(fā)生形變，這就能導致彈性勢能啦！

那么，媒質中的勢能隨位置變化的規(guī)律是怎樣的呢？

考慮某個確定的時刻??，波表現(xiàn)為一條曲線——波形曲線。

它描繪媒質中各點偏移量??隨坐標??的變化情況，用函數(shù)表示為?

當位置??產生??的增量時，偏移量??也產生一個增量??。?

現(xiàn)在分析媒質中一段原長為??的質元。

形變前，它的兩端坐標分別是??和??。

形變后，兩端點的縱向偏移量分別是??和??。左端坐標變?yōu)??+??，而右端坐標變?yōu)??+??+??+??。

因此，形變后的媒質的長度是??+??，絕對伸長量為??，故相對原長??的相對形變——相對伸長量為?

按照前面講的相對伸長量決定勢能的規(guī)律，這段原長為??的質元現(xiàn)儲存的勢能為?

如果將右側的??移到左邊相除，則得到的是該段介質內的平均勢能密度??，故?仿照平均速度到瞬時速度的過渡方式——將時間??得到任意時刻的速度，現(xiàn)在考慮無限小的一段介質，上式中的??，無窮小量變成微分量，用?代替??，則得介質中任意點的勢能密度為?

看到了吧！兩個微分相除導致微商，這樣就得到導數(shù)了。

實際上，考慮任意時刻的情形，???是??和??的函數(shù)??，故應用偏導符號??代替??重寫為?這下好了！誰的導數(shù)？偏移量??對質元坐標??的偏導數(shù)，也就是質元的偏移量對坐標的變化率！這不就是波形曲線上某一點切線的斜率嗎？

所以，媒質中質元的勢能取決于波形曲線上的切線的斜率，斜率絕對值越大，勢能越大，絕對值越小，勢能就越小。

很顯然，波形曲線上，平衡位置處的斜率絕對值最大?。∷赃@個位置的勢能最大！什么地方斜率為零？當然就是波峰和波谷處，所以這些位置的勢能為零！

實際上，根據(jù)正弦和余弦之間互為導數(shù)的關系，更一般的規(guī)律可從上圖看出。 上面的推導是按照縱波來進行的，如果是橫波，物質會發(fā)生橫向形變，計算稍微復雜一點，但最終的規(guī)律是一致的。 下面再進一步來看機械波能量的表達式。 首先是勢能部分。 由上面的分析可知，要得到勢能的確切的表達式，就要確定式中的??的值，它反映這段媒質的倔強系數(shù)除了長度之外的其它影響。那么，這些所謂“其它影響”有哪些呢？

材料的彈性？對！確切的叫彈性模量。還有呢？這段媒質的粗細？肯定越粗越難對付吧？沒錯！

彈性模量這個東西，是針對固體來說的，對液體來說，也有相應的那個量?？傊褪俏矬w本身的彈性性質。

假設彈性模量用??表示，媒質的粗細，也就是它的底面積用??表示，則得?據(jù)此，上面的勢能??可表示為?這其中，??正好就是媒質的體積??；而一般來說，彈性模量??與波速??的關系為?其中??是密度，根據(jù)??，上面的勢能可寫成?如果考察一個段媒質的微元，則上式為?將波函數(shù)?對??的偏導代入，即得勢能的表達式為?再看動能部分。

這段介質??在振動，所以具有動能。動能很簡單，直接按動能的表達式，即?

其中??是媒質的振動速度——注意，媒質并沒有隨著波運動！所以這里的??不是波速，而是媒質偏移的速度——振動速度，按照速度的定義就是?得到動能為?

這才發(fā)現(xiàn)，質元的動能和勢能隨位置和時間的變化規(guī)律竟然完全一樣，用更物理的語言說，它倆是同幅同相變化的，對確定點，二者的值每時刻都完全一致！

機械波的能量是動能與勢能之和，那么自然的，質元??的機械能為?即?可化為?這下徹底看清楚了，能量與坐標和時間相關的部分?具有簡諧波的標準形式。因此，機械波的能量本身也形成一個簡諧波，它的頻率是波的頻率的兩倍。對簡諧波來說，能量的傳播速度就是波本身的速度，即相速度??。 既然簡諧波的能量隨時間周期變化，說明簡諧波的媒質的質元的能量并不守恒，這一點與簡諧振動不同。很多人覺得這一點違反直覺。他們認為：簡諧波的媒質的質元不都在做簡諧振動嗎？既然如此，質元的能量應該是守恒的呀?。?問題的癥結在于，簡諧波的質元并不是做簡諧振動，因為相鄰的質元之間有力的作用，所以質元做的是受迫振動而非簡諧振動。 當波前剛抵達某個質元時，它還處于平衡位置，此時質元的能量是最大的。在一個波峰或波谷抵達某質元的過程中，它的能量沿波的傳播方向流出——因為它需要策動它的鄰居跟著一起動起來；當波峰或波谷到達質元后，它又重新開始吸收來自波源方向傳入的能量，再次回到平衡位置。如此反復，能量沿著波線方向不斷向前傳播。

編輯：黃飛

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