離散傅里葉級數(shù)的諧波信號種類有限的原因

為什么離散傅里葉變換中諧波信號數(shù)目是有限的？

最近在看《信號與系統(tǒng)》，連續(xù)傅里葉級數(shù)和離散傅里葉級數(shù)中，離散傅里葉級數(shù)的諧波信號種類是有限的，而連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù)的諧波信號就有無數(shù)個，這個讓我很不解。

后來經(jīng)過公式推導(dǎo)，確實是如此，但還是沒有直觀理解，因此用matlab畫了個圖，醍醐灌頂。

----------------------------------------------------我假設(shè)你學(xué)過信號與系統(tǒng)，或者線性系統(tǒng)分析，否則別往下看------------------------------------------

周期為T的連續(xù)時間信號x(t)的傅里葉級數(shù)表示：

它說明，任意一個周期函數(shù)（其實非周期函數(shù)也可以，不然傅里葉變換就沒有意義了）可以用一組簡單的復(fù)指數(shù)函數(shù)線性疊加來表示。

其中：這就是一族頻率不同的復(fù)指數(shù)函數(shù)，k=1,2,3,......???有無數(shù)個

好了，同樣的，周期為N的離散時間序列x(n)也可以用傅里葉級數(shù)表示：

n只能取0,1,2,3....等一些離散的整數(shù)點，因此是離散序列。

同樣，是一族離散的復(fù)指數(shù)序列。k=1,2,3,4.....看似有無數(shù)個

對離散傅里葉級數(shù)來說，復(fù)指數(shù)序列看起來有無數(shù)個，其實只有N個，因為第N個和第N+1個是相同的。

證明如下：

從式子上很明顯，第k個復(fù)指數(shù)序列和第N+k個是相等的。因此，離散周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)只有N個頻率成分（每個復(fù)指數(shù)函數(shù)代表一個頻率分量，信號中有學(xué)）。而連續(xù)時間信號就沒有這個性質(zhì)，它的頻率分量有無數(shù)個。

那么，為什么呢？雖然式子上是這樣的，但是沒有直觀上明白。于是用matlab做了個仿真，結(jié)果如下：

明白了嗎，原因是這樣子的：

????? 連續(xù)傅里葉變換的第1個和第1+T個頻率分量的圖是完全不一樣的，因為頻率不一樣。

但是，他們在整數(shù)點上的采樣（也就是對應(yīng)的離散傅里葉變換的頻率分量），是相同的，這也就是為什么離散傅里葉變換第1個和第N+1個頻率成分完全相同的原因了。連續(xù)函數(shù)的圖像不同，但是在整數(shù)點上的采樣，是相同的。