詳解一種基于保角形變換的電磁波導波結(jié)構(gòu)設計

引言

Pendry et al.［1］提出了一個很有趣的想法，這個想法就是用坐標變換（即變換光學）的思想達到調(diào)控電磁波的能力。很不幸的是，基于坐標變換的電磁波導波器件大多數(shù)的相對介電常數(shù)和磁導率往往是非均勻各向異性材料［2］［3］［4］，這給實現(xiàn)帶來了很大的困難。保角形變換是光學變換的一種特例，它在二維情形下可以做到各向同性材料。在保角形變換后，拉普拉斯方程本身成了一個系數(shù)，二維亥姆霍茲方程在保角形變換后使得該系數(shù)反映在折射率的變化，也就是說在保角形變換后，如果折射率隨著系數(shù)發(fā)生變化，那么滿足同樣的波動方程，從而達到調(diào)控電磁波的能力。在本文中，我們用基于保角形變換理論設計了一款電磁波導波結(jié)構(gòu)，它的材料是非均勻各向同性的，這在實現(xiàn)上降低了難度。

1、保角形光學變換理論

換坐標變換前的空間為w，該空間的折射率為1；坐標變換后的空間為z，該空間的折射率為n，則z空間的折射率：［5］［6］ n=|dw/dz|，光學理論已經(jīng)提出好幾年了，雖然它的想法很新穎，但是因為根據(jù)該想法設計的大多數(shù)電磁器件的電參數(shù)為非均勻各向異性，很多學者專家不斷簡化參數(shù)，論文參考文獻［7］根據(jù)對數(shù)保角形變換設計了可以轉(zhuǎn)彎的波導轉(zhuǎn)接器件，但是我們認為它并不能達到完美的轉(zhuǎn)接效果，因為空間折射率的截斷，必然帶來散射，在本篇論文中我們基于共形變換原理設計各向同性非均勻的導波轉(zhuǎn)接器件。雖然光學變換理論在導波結(jié)構(gòu)中的推廣已經(jīng)好多年了，電參數(shù)為均勻各向異性的電磁波導波器件也已經(jīng)實現(xiàn)，基于對數(shù)的保角形變換的導波轉(zhuǎn)彎的結(jié)構(gòu)也已經(jīng)實現(xiàn)，我們認為它不能做到真正的波導轉(zhuǎn)接結(jié)構(gòu)，包括很復多函數(shù)在導波結(jié)構(gòu)中很難應用，因為在邊界的地方會發(fā)生空間折射率的截斷，從而達不到完美的轉(zhuǎn)接效果。在本篇論文中，我們就是通過尋找一些可行的設計函數(shù)，使得基于保角形變換的這種導波結(jié)構(gòu)變得很可行。但是我們的導波結(jié)構(gòu)因為函數(shù)的求解問題，導致波導的轉(zhuǎn)接只能發(fā)生在一直前進的情形下，這也是我們本篇論文的局限性。我們通過將中間某個區(qū)域彎曲，而離開這個區(qū)域?qū)РńY(jié)構(gòu)又恢復到原來的情形，在數(shù)學上可以表示為：

z=f（w）

（1）

或者為

w=g（z）

（2）

條件（1）和條件（2）只要折射率接近于一的地方截斷，而中間在保角形變換后發(fā)生彎曲，就可以做到繞過在波導前進方向遇到的障礙物。

2、導波結(jié)構(gòu)具體設計（單位m）

根據(jù)上面的要求我們的設計一個函數(shù)它的表達式為：

z2=w2+k （3）

（4）

在上面的表達式中我們k=0.03。

圖1、w空間到z空間的變換（坐標按著上面的坐標系標注）

圖2、保角形變換前H10模Ez分布圖（f=4.6GHz）

圖3、保角形變換后H10模Ez分布圖（f=4.6GHz）

圖4、三維情形下保角形變換前后H10模Ez分布圖（f=4.6GHz）

圖5、三維情形下保角形變換后的折射率分布圖

上面三維情況下中間為保角形變換區(qū)域，在離開光學變換區(qū)折射率接近于一的區(qū)域，高度為寬度的一半，而在橫截面上與二維情形相同。兩邊是在折射率接近于一時截斷，可以看到進行保角形變換后的可以達到非常好的波導轉(zhuǎn)接結(jié)構(gòu)，因為保角形變換理論是嚴格的根據(jù)麥克斯韋方程推導的結(jié)果，而我們只是在折射率接近于一的地方截斷，所以這種導波結(jié)構(gòu)只要在原來的空間的矩形波導中可以傳輸，那么保角形變換后仍然可以非常好的傳輸。從上面的實行保角形變換和不實行保角形變換對比中可以更加清楚的看出共形變換可以使波導繞過某一個區(qū)域，電磁波仍然可以很好地傳輸，當然，只是局限于矩形波導的H10模，但是在導波通信中矩形波導一直都是用該主模模式，所以這不能算是這種方法的局限性，只要滿足方程式（1），（2）兩個條件，那么運用當今的計算機技術(shù)，可以實現(xiàn)繞過各種形狀的導波結(jié)構(gòu)，我們也相信隨著計算機的發(fā)展，方程的可解性提高以后，我們也可以做到任意的導波結(jié)構(gòu)，因為我們沒有優(yōu)良的計算機，我們希望人們?nèi)ヌ剿鬟@個問題。我們認為這種方法可以推廣到介質(zhì)波導中，下面這幅圖的中間場集中區(qū)域和上面二維波導相同，中間的折射率由原空間的2變?yōu)楝F(xiàn)在空間的折射率：

兩邊的區(qū)域折射率為一，頻率為3GHz。

圖6、二維介質(zhì)波導Ez分布圖

從上面的這幅圖我們同樣看到我們的基于共形變換的設計方法不僅局限于矩形波導，對于介質(zhì)波導，如果電磁場集中于某一個區(qū)域只對該區(qū)進行保角形變換同樣適用，當然，還可以用到等離子體波導中，金屬的上面為介質(zhì)，在等離子體波導中，金屬的介電常數(shù)為負數(shù)，要使得基于保角變換的光學變換理論更有效，那么金屬的介電常數(shù)絕對值要遠大于介質(zhì)的介電常數(shù)，保證電磁波在金屬中很快的衰減，而在介質(zhì)中進行共形變換。

（5）

（6）

仿真參數(shù)如下：

1）.Co=0.03，金屬的相對介電常數(shù)為-50，原來的介質(zhì)空間折射率為1，頻率4GHz。

2）。原來的介質(zhì)空間的幾何結(jié)構(gòu)如下所示：

3）。上面的w空間的區(qū)域經(jīng)過下面的共形變換：，變成圖6中間的區(qū)域，中間的折射率已經(jīng)是變換后z方向電場的分布圖，而兩邊的折射率截斷后為1，從而在等離子體波導下面可以放置障礙物。

仿真結(jié)果如下所示：

圖7、二維等離子體波導進行保角形變換后的Ez分布圖

圖8、二維介質(zhì)波導電參數(shù)仍然保持原w空間的參數(shù)的Ez分布圖

顯然上面的等離子體波導是一個不實用的模型，因為它的頻率非常低，金和銀只有在頻率遠高于本仿真頻率才能顯示負相對介電常數(shù)，但是麥克斯韋方程本身具有的相似性原理特性，我們很容易將頻率變換到對應的頻率，并調(diào)整對應的幾何參數(shù)和Co的大小，從上面的仿真中我們可以看到共形變換理論的價值不僅僅體現(xiàn)在波導中，等離子體波導中，還有介質(zhì)波導中。

3、結(jié)論

本文基于保角形變換理論設計了導波結(jié)構(gòu)中電磁波的在原來前進方向繞過某一個障礙物時的轉(zhuǎn)接問題，可以看到這種設計方法對于可以用二維分析的場可以做到幾乎非常完美的轉(zhuǎn)接。這種設計方法的電參數(shù)（磁導率，相對介電常數(shù)雖然是非均勻的，但卻是各向同性的。雖然折射率小于一，但是只要將電參數(shù)同時提高一定的數(shù)值，那么將會得到所有的折射率都大于一的更容易實現(xiàn)的設計，雖然非均勻，但是只要用離散采樣的方式就可以實際做到。這種方法的局限性在于離開障礙物，必須恢復到原來空間，這也是本篇論文的主要限制。