如何優(yōu)化選擇PWM濾波器的元件值？

關(guān)于如何為任意特性的PWM選擇最佳濾波器元件值的討論很少，更不用說(shuō)針對(duì)一種設(shè)計(jì)中所提到的特定PWM(8位，1MHz時(shí)鐘)。在本文中，我將介紹一種針對(duì)任意周期PWM優(yōu)化這些更簡(jiǎn)單濾波器的方法。

最近EDN美國(guó)版上有一系列基于PWM信號(hào)“處理器”主題的設(shè)計(jì)實(shí)例發(fā)表。這些處理器的目的是最大限度地減少響應(yīng)PWM占空比變化的建立時(shí)間和殘余PWM紋波。在許多情況下，更簡(jiǎn)單的處理器——僅由一個(gè)由電阻器和電容器構(gòu)建的低通濾波器組成——表現(xiàn)良好(圖1)。

圖1：帶有低通濾波器的簡(jiǎn)單PWM處理器，該低通濾波器由電阻器和電容器構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)只能實(shí)現(xiàn)實(shí)極點(diǎn)。

然而，關(guān)于如何為任意特性的PWM選擇最佳濾波器元件值的討論很少，更不用說(shuō)針對(duì)一種設(shè)計(jì)中所提到的特定PWM(8位，1MHz時(shí)鐘)。在本文中，我將介紹一種針對(duì)任意周期PWM優(yōu)化這些更簡(jiǎn)單濾波器的方法。

讓我們從一些術(shù)語(yǔ)開(kāi)始：我們將未濾波的PWM描述為具有B個(gè)位、占空比為d、周期為T(mén)，以及(無(wú)單位)輸出值為0或1。(警告：如果各位只想為問(wèn)題找到解決方案，而不想體驗(yàn)推導(dǎo)的快感和數(shù)學(xué)的痛苦，請(qǐng)?zhí)奖疚哪┪驳摹皩?shí)現(xiàn)解決方案”部分。)

對(duì)于具有負(fù)的不等極點(diǎn)p1、p2和p3的任何三階濾波器，單位階躍的時(shí)域響應(yīng)為：

如果有兩個(gè)或三個(gè)極點(diǎn)相等，則響應(yīng)不同。對(duì)于三個(gè)極點(diǎn)的情況，它是：

我們的興趣之一是穩(wěn)定到1的指定分?jǐn)?shù)F所需的時(shí)間(ts)(從d=0到1的滿(mǎn)量程PWM轉(zhuǎn)換的最壞情況)。最好是處理幅度穩(wěn)定誤差(ASE)——h(t,p1,p2,p3)=1–hh(t,p1,p2,p3)。ASE在時(shí)間t=無(wú)窮大時(shí)將完全穩(wěn)定(變?yōu)榱?。我們可能會(huì)想知道是什么樣的ts值才能使得h(ts,p1,p2,p3)=F=2-B-1，即PWM的1/2LSB。當(dāng)然，如果應(yīng)用能產(chǎn)生更小的最大占空比階躍，則可以做出其他選擇。

我們還對(duì)濾波后的PWM紋波的幅度感興趣。濾波器的頻率響應(yīng)為：

其中j=(√-1)，ω是以弧度/秒(rad/s)為單位的頻率。

未經(jīng)濾波的PWM輸出可以表示為頻率為1/T=ωPWM/(2π)(Hz)整數(shù)倍的無(wú)限多個(gè)正弦曲線(xiàn)的總和。當(dāng)d=50%且頻率為ωPWM時(shí)，可產(chǎn)生的最大幅度正弦波具有2/π的峰值幅度。整個(gè)PWM信號(hào)將通過(guò)一個(gè)低通濾波器，而使得多次諧波比一次諧波衰減得更多。在這些條件下，一個(gè)相當(dāng)好的低通濾波器的輸出，將幾乎只包含ωPWM的頻率。很明顯，過(guò)多的紋波和過(guò)長(zhǎng)的穩(wěn)定時(shí)間同樣會(huì)讓人掃興。因此，我們?cè)噲D了解濾波器的ωPWM和ts，以便使ASE和紋波幅度都等于F，也就是說(shuō)，它們能滿(mǎn)足H(ωPWM,p1,p2,p3)=π?HH(ωPWM,p1,p2,p3)/2=F且F=h(ts,p1,p2,p3)的“標(biāo)準(zhǔn)”。當(dāng)然，我們還想找到對(duì)于給定的F值能夠提供最小ts和ωPWM的濾波器。

讓我們首先看一下PWM的具體情況，其值為T(mén)=28/1MHz=0.000256，其中ωPWM=2π/T=24543。一個(gè)明顯的起點(diǎn)是具有等值電阻器和電容器的濾波器。對(duì)于圖1電路，頻率響應(yīng)傳遞函數(shù)為：

將每個(gè)R設(shè)置為1Ω，將每個(gè)C設(shè)置為1F，就可以用多項(xiàng)式求根例程確定滿(mǎn)足H()=F=2-8-1的三個(gè)極點(diǎn)和ω值：-3.247、-1.555、-0.1981和9.0699。為了在頻率ωPWM下獲得相同的衰減，可以將極點(diǎn)相乘，將電阻器除以FSF=ωPWM/ω。當(dāng)然，至少可以說(shuō)，這些電阻器和1F電容器使用起來(lái)不方便。所以，我們可以選擇一個(gè)阻抗比例因子ZSF，比如10-8來(lái)乘以電容，除以電阻。結(jié)果為37.0k(選擇最接近的標(biāo)準(zhǔn)值)和10n。(運(yùn)用ZSF對(duì)濾波器的響應(yīng)沒(méi)有影響。)在已知1Ω/1F濾波器的極點(diǎn)并要求h()=F的情況下，求根例程也為我們提供了ts=32.5s的值。將ts除以FSF，可保持相同的F并使得ts的值等于12.01ms。

當(dāng)然，沒(méi)有理由期望相同的R和C所產(chǎn)生的濾波器，在給定的F值下能產(chǎn)生盡可能低的ts和ωPWM。我們應(yīng)該如何尋找更好的濾波器？我們使用了蒙特卡洛。從上面極點(diǎn)的FSF縮放值開(kāi)始，選擇一組更好的新極點(diǎn)的依據(jù)是，它能夠減少H( , , ,ωPWM)或h(,?,?,ts)的值而不增加另一個(gè)的值。我們選擇多組隨機(jī)極點(diǎn)，運(yùn)行了一個(gè)1000萬(wàn)個(gè)樣本的蒙特卡洛。結(jié)果得到了-2290.7、-2238.9和-2218.6處的極點(diǎn)，0.001938

圖2：ASE顯示了各種濾波器類(lèi)型的滿(mǎn)量程PWM轉(zhuǎn)換與時(shí)間的關(guān)系。水平線(xiàn)對(duì)應(yīng)于2-9的ASE。

水平虛線(xiàn)處的值為F=2-9。其他每條曲線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的濾波器的ASE，其H( , , ,ωPWM)也為F。曲線(xiàn)在濾波器的ASE降至F時(shí)與水平線(xiàn)相交。表現(xiàn)最差的是紅色曲線(xiàn)，其在K=1的條件下R和C相等。K=√10和10的黃線(xiàn)和綠線(xiàn)更好并且看起來(lái)實(shí)用，而藍(lán)色K=100濾波器需要K2=10000的阻抗比。紫色K=無(wú)窮大的曲線(xiàn)無(wú)法實(shí)現(xiàn)，對(duì)吧？

圖1網(wǎng)絡(luò)的濾波器在驅(qū)動(dòng)阻性負(fù)載時(shí)會(huì)降低精度。最簡(jiǎn)單的解決方案是在電壓跟隨器配置中使用運(yùn)算放大器緩沖它們的輸出。使用此運(yùn)算放大器還有另一大優(yōu)勢(shì)：圖3中的濾波器配置擴(kuò)展了可實(shí)現(xiàn)的濾波器類(lèi)型的數(shù)量，這樣就不僅能包括等極點(diǎn)版本，還能包括性能更好的濾波器——通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)確定的復(fù)極點(diǎn)濾波器，其從貝塞爾濾波器的極點(diǎn)開(kāi)始?！案谩钡臉O點(diǎn)是：-0.84668、-0.786203+j0.725726和-0.786203-j0.725726?？梢詫?duì)該濾波器的R值縮放，使其在ωPWM處的衰減H( , , , )為F。黑色曲線(xiàn)反映了縮放濾波器的性能。為什么會(huì)有奇怪的形狀？復(fù)極點(diǎn)所產(chǎn)生的時(shí)域響應(yīng)包含阻尼振蕩。它會(huì)在穩(wěn)定時(shí)反復(fù)通過(guò)零。圖中所示的是響應(yīng)的絕對(duì)值。

圖3：可以實(shí)現(xiàn)實(shí)極點(diǎn)(部分或全部相同)和復(fù)極點(diǎn)的濾波器結(jié)構(gòu)。對(duì)于顯示的元器件值，表1的復(fù)極點(diǎn)部分的每個(gè)給定行中的參數(shù)值都能得到滿(mǎn)足(見(jiàn)正文)。

您可能認(rèn)為這些圖顯示了復(fù)極點(diǎn)濾波器的先天優(yōu)勢(shì)。但它們僅代表F=2-9時(shí)能滿(mǎn)足“標(biāo)準(zhǔn)”的情況。F的其他值又如何呢？其他值為ωPWM的PWM又如何呢？下面就是答案。PWM具有整數(shù)位數(shù)，因此僅當(dāng)N是一組正整數(shù)時(shí)，考慮F=2-N的值才有意義。對(duì)于每個(gè)2-N和每個(gè)正在考慮的濾波器，我們可以確定出滿(mǎn)足“標(biāo)準(zhǔn)”的ω和ts值。知道ω后，就可以對(duì)任何所需PWM的ωPWM計(jì)算出FSF，而且還可將該FSF用于確定縮放后的ts和濾波器R的值。在具有FSF縮放極點(diǎn)的濾波器中，ωscaled=FSF?ω，ts-scaled=ts/FSF。因此，無(wú)論P(yáng)WM頻率ωPWM為何，ωPWM與FSF縮放的ts的乘積都將保持不變。這個(gè)乘積的值越小越好。我們可以對(duì)復(fù)數(shù)同步濾波器的這些乘積進(jìn)行比較，以確定哪個(gè)乘積是每個(gè)F值的更好選擇。請(qǐng)參閱表1。

表1：對(duì)于各種F=2-N值，復(fù)數(shù)濾波器和同步濾波器的ω、ts和ω?ts值。

比較表明，對(duì)于每個(gè)F，復(fù)數(shù)濾波器具有更小值的乘積，因此是更好的選擇。我們現(xiàn)在可以概括出濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程。

實(shí)現(xiàn)解決方案

可以用一個(gè)具體的例子說(shuō)明一般問(wèn)題的解決方案。假設(shè)有一個(gè)PWM，其中B=8且T=2B/1MHz=0.000256。我們想要獲得F=2-9的紋波水平和ASE。圖3顯示了表1中復(fù)數(shù)濾波器的濾波器元件值。對(duì)于N=9及其F值的情況，濾波器給出的頻率為ω=9.1868。但我們希望衰減的頻率為ωPWM=2π/T。我們需要將濾波器的電阻器和表格的ts=6.3876除以FSF=ωPCM/ω=2671.7。這樣就得到了R1=66.527kΩ、R2=45.445kΩ和R3=178.95kΩ(可以使用最接近的標(biāo)準(zhǔn)值)以及ts=2.39ms。也可以選擇通過(guò)恒定ZSF來(lái)縮放這些電容器和電阻器，將電阻器乘以該值并將電容器除以該值。ZSF操作對(duì)濾波器響應(yīng)沒(méi)有影響。

應(yīng)該注意的是，對(duì)于N=6或更小的值，同步濾波器具有比復(fù)數(shù)濾波器更小、更好的ω值，并且對(duì)于更大的N值，ω的值幾乎相同。盡管如此，復(fù)數(shù)濾波器仍然是更好的選擇——可以使用表中各對(duì)ω值之間的數(shù)值，將其代入到FSF分母中進(jìn)行計(jì)算。增大ω會(huì)使紋波衰減和穩(wěn)定時(shí)間增加?？偰苷业揭粋€(gè)FSF值，使得ω和ts的縮放濾波器值比其他濾波器所提供的值要小。

為任意頻率的PWM設(shè)計(jì)濾波器

本文已經(jīng)提出了一種使用運(yùn)算放大器和三對(duì)電阻器和電容器來(lái)設(shè)計(jì)用于任意頻率和位數(shù)的PWM的濾波器的方法。該濾波器可將ASE和峰值紋波限制為F，即用戶(hù)所選擇的2的負(fù)整數(shù)次冪。還研究了極點(diǎn)間存在各種相互關(guān)系的濾波器。所選的復(fù)極點(diǎn)濾波器在所考慮的濾波器中具有最小的頻率和穩(wěn)定時(shí)間乘積。使用表1和圖3，對(duì)于任何頻率的PWM，可以將濾波器元件縮放到所需的F值?？梢詫?duì)表中所列出的穩(wěn)定時(shí)間運(yùn)用相同的縮放比例，以計(jì)算縮放后的穩(wěn)定時(shí)間。

如果您更喜歡無(wú)運(yùn)算放大器的解決方案，可能需要考慮圖1電路的K=10版本。在R1=4.3k和C1=100n的情況下，對(duì)于F=2-9，在圖2中所看到的綠色曲線(xiàn)的ts約為4.6ms。對(duì)于相同的F，該濾波器的ω為15787rad/s。本文沒(méi)有提供此濾波器的表格，但可以在將不同的FSF運(yùn)用于濾波器電阻器時(shí)在電路仿真器中測(cè)試結(jié)果。

致謝

感謝David Lundquist審閱本文并為本文提供寶貴建議。如有任何未被引起注意的錯(cuò)誤，當(dāng)然完全是由我自己所造成的。

Christopher Paul在多個(gè)通信行業(yè)的工程職位上工作了40多年。

作者：Christopher Paul， 參考原文：Optimizing a simple analog filter for any PWM，由Franklin Zhao編譯。 審核編輯：黃飛

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