基于FPGA的嵌入式處理器的浮點(diǎn)系統(tǒng)

浮點(diǎn)算法不遵循整數(shù)算法規(guī)則，但利用 FPGA 或者基于 FPGA 的嵌入式處理器不難設(shè)計(jì)出精確的浮點(diǎn)系統(tǒng)。

工程人員一看到浮點(diǎn)運(yùn)算就會(huì)頭疼，因?yàn)楦↑c(diǎn)運(yùn)算用軟件實(shí)現(xiàn)速度慢，用硬件實(shí)現(xiàn)則占用資源多。理解和領(lǐng)會(huì)浮點(diǎn)數(shù)的最佳方法是將它們視為實(shí)數(shù)的近似值。實(shí)際上這也是開發(fā)浮點(diǎn)表達(dá)式的目的。正如老話所說，真實(shí)的世界是模擬的，有許多電子系統(tǒng)在與真實(shí)世界的信號(hào)打交道。因此，對(duì)于設(shè)計(jì)這些系統(tǒng)的工程師來說，有必要理解浮點(diǎn)表達(dá)式以及浮點(diǎn)計(jì)算的優(yōu)勢(shì)和局限性。這將有助于我們?cè)O(shè)計(jì)可靠性更高、容錯(cuò)性更好的系統(tǒng)。

首先深入了解一下浮點(diǎn)運(yùn)算。通過一些示例計(jì)算就可以看到浮點(diǎn)運(yùn)算不如整數(shù)運(yùn)算直接，工程師在設(shè)計(jì)使用浮點(diǎn)數(shù)據(jù)的系統(tǒng)時(shí)必須考慮這一點(diǎn)。這里有個(gè)重要的技巧：用對(duì)數(shù)來運(yùn)算極小的浮點(diǎn)數(shù)據(jù)。我們的目的是熟悉一些數(shù)值運(yùn)算的特點(diǎn)，把重點(diǎn)放在設(shè)計(jì)問題上。本文結(jié)尾列出的參考文獻(xiàn)中有更加深入的介紹。

就設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)而言， 設(shè)計(jì)人員可以使用賽靈思LogiCORE? IP Floating-Point Operator 生成和實(shí)例化RTL 設(shè)計(jì)中的浮點(diǎn)運(yùn)算符。如果采用 FPGA 中的嵌入式處理器構(gòu)建浮點(diǎn)軟件系統(tǒng)，則可以使用 Virtex-5 FXT 中面向PowerPC 440 嵌入式處理器的 LogicCORE IP Virtex?-5輔助處理器單元 (APU) 浮點(diǎn)單元 (FPU)。

浮點(diǎn)運(yùn)算 101
IEEE 754-2008 是現(xiàn)行的浮點(diǎn)運(yùn)算 IEEE 標(biāo)準(zhǔn)。(1)它取代了該標(biāo)準(zhǔn)的 IEEE 754-1985 和 IEEE 754-1987 版本。該標(biāo)準(zhǔn)中的浮點(diǎn)數(shù)據(jù)表達(dá)規(guī)則如下：
? 要求零帶符號(hào)：+0，-0
? 非零浮點(diǎn)數(shù)可表達(dá)為 (-1)^s x b^e x m，這里：s 為 +1 或者 -1，用于表明該數(shù)為正數(shù)還是負(fù)數(shù)，b是底數(shù)（2 或者 10），e 是指數(shù)，m 則是以 d0.d1d2—dp-1 形式表達(dá)的數(shù)，這里 di 對(duì)以 2 為底數(shù)的情況可以是 0 或者 1，對(duì)以 10 為底數(shù)的情況可以是0 和 9 之間的任意值。請(qǐng)注意小數(shù)點(diǎn)應(yīng)緊跟 d0。
? 分正負(fù)的極限：+∞，-∞。
? 非數(shù)值，有兩種形式：qNaN（靜態(tài)）和 sNaN（信號(hào)）。

表達(dá)式 d0.d1d2—dp-1 指“有效值”，e 為“指數(shù)”。有效值總共有 p 位數(shù)，p 即為表達(dá)式的精度。IEEE754-2008 定義了五種基本的表達(dá)式格式，三種用于 2 為底數(shù)的情況，兩種用于 10 為底數(shù)的情況。標(biāo)準(zhǔn)中還提供更多的衍生格式。IEEE 754-1985 中規(guī)定的單精度浮點(diǎn)數(shù)和雙精度浮點(diǎn)數(shù)分別稱為 binary32 和 binary64。對(duì)每種格式都規(guī)定有最小的指數(shù) emin 和最大的指數(shù) emax。

可以用浮點(diǎn)數(shù)格式表達(dá)的有限值的范圍取決于底數(shù)(b)、精度 (p) 和 emax。該標(biāo)準(zhǔn)一般將 emin 定義為1-emax：
? m 是 0 到 b^p-1 內(nèi)的整數(shù)
例如，在 p=10 和 b=2 的情況下，m 就介于 0 到1023 之間。
? 對(duì)給定的數(shù)，e 必須滿足下式
1-emax<=e+p-1<=emax
例如，如果 p=24，emax=+127，則 e 的取值范圍是-126 到 104。

這里需要清楚一點(diǎn)，即浮點(diǎn)表達(dá)式往往不是唯一的。

例如，0.02x10^1 和 2.00x10^(-1) 都代表相同的實(shí)數(shù)，即0.2。如果第一位數(shù) d0 為 0，則稱該數(shù)值被“標(biāo)準(zhǔn)化”。同時(shí)，對(duì)某個(gè)實(shí)數(shù)來說，可能不存在浮點(diǎn)表達(dá)式。例如，0.1 在十進(jìn)制中是一個(gè)確定的值，但它的二進(jìn)制表達(dá)式是一個(gè)小數(shù)點(diǎn)后 0011 的無窮循環(huán)。因此，0.1 無法用浮點(diǎn)格式確定地表達(dá)。表 1 給出了 IEEE 754-2008 規(guī)定的五種基本格式。

浮點(diǎn)計(jì)算的誤差
因?yàn)橐霉潭ㄎ粩?shù)來表達(dá)無窮數(shù)量的實(shí)數(shù)，因此在浮點(diǎn)計(jì)算中四舍五入是必不可少的。這就會(huì)不可避免地帶來舍入誤差，故需要有一種方法來衡量結(jié)果與采用無窮精度計(jì)算時(shí)的差距。我們來觀察一下 b=10 和 p=4 的浮點(diǎn)格式。用這種格式，.0123456 可以表達(dá)成 1.234x10^(-2)。很明顯這種表達(dá)方式在最后位置單位 (ulps) 發(fā)生了 .56 的差異。又如，如果浮點(diǎn)計(jì)算的結(jié)果是 4.567x10^(-2)，而采用無窮精度計(jì)算的結(jié)果是 4.567895，則最后差 .895 最后位置單位。

“最后位置單位”(ulps) 是規(guī)定這種計(jì)算誤差的一種方法。相對(duì)誤差是另一種用來衡量浮點(diǎn)數(shù)近似實(shí)數(shù)誤差的方法。相對(duì)誤差被定義為實(shí)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù)之差除以實(shí)數(shù)的商。比如，將 4.567895 用浮點(diǎn)數(shù)表達(dá)為 4.567x10^(-2) 時(shí)的相對(duì)誤差為 .000895/4.567895≈.00019。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的要求，每個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的正確計(jì)算結(jié)果的誤差應(yīng)不大于 0.5ulps。

浮點(diǎn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)
在為數(shù)值應(yīng)用開發(fā)設(shè)計(jì)的時(shí)候，很重要的一環(huán)是考慮輸入的數(shù)據(jù)或者常數(shù)是否可以為實(shí)數(shù)。如果可以為實(shí)數(shù)，則在完成設(shè)計(jì)之前需要注意一些問題。需要檢驗(yàn)來自數(shù)據(jù)集的數(shù)值在浮點(diǎn)表達(dá)式中是否很接近，有沒有出現(xiàn)過大或者過小的情況。下面以二次方程求根為例。二次方程的根α 和 β 分別表達(dá)為下面兩個(gè)等式：