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降壓型變換器的分叉及其混沌行為的研究
DC／DC變換器運行中產(chǎn)生大量的非線性現(xiàn)象，主要是功率器件開關(guān)引起的[1]。已有研究表明，在DC／DC開關(guān)變換器實際運行中，時常會出現(xiàn)一些奇怪或不規(guī)則現(xiàn)象，如不明的電磁噪聲、臨界運行狀態(tài)的突然崩潰、系統(tǒng)運行的不穩(wěn)定和無法按實際要求工作等現(xiàn)象，這些現(xiàn)象是DC／DC變換器固有的非線性特性--分又和混沌現(xiàn)象的一種外在表現(xiàn)[2，3]。DC／DC變換器一旦進入混沌工作狀態(tài)，由于混沌運動的不確定性將導(dǎo)致系統(tǒng)運行狀態(tài)的無法預(yù)測和控制，甚至完全無法工作。因此，功率變換器分叉和混沌現(xiàn)象的研究，對于避免、消除和利用混沌具有非常重要的指導(dǎo)意義。文獻[4]分別用輸入電壓和負(fù)載電容作為分叉和發(fā)生混沌的參數(shù)進行了仿真試驗。選取電壓反饋系數(shù)作為分叉和發(fā)生混沌的參數(shù)，通過調(diào)整反饋參數(shù)，可以實現(xiàn)各種周期軌道的穩(wěn)定控制。由于系統(tǒng)處在周期運動區(qū)時，其電壓轉(zhuǎn)換效率高于系統(tǒng)處在混沌運動區(qū)時的電壓轉(zhuǎn)換效率，因此研究這種電路系統(tǒng)的混沌控制具有重要的實用價值。
1 Buck變換器的基本電路和非線性動力學(xué)方程[5]Buck變換器是一種輸出電壓等于或小于輸入電壓的單管非隔離直流變換器。其主電路的示意圖如圖1所示。
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其中，Uo，Io，Us，Is分別是輸出電壓、輸出電流、輸人電壓、輸入電流的平均值，D是晶體管的導(dǎo)通比。
考慮電路在不連續(xù)工作模式(DCM)情況下，電路出現(xiàn)3種工作模式(見圖2)：
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模式2： 即S關(guān)斷，VD導(dǎo)通時，此時的等效電路如圖2(b)，根據(jù)等效電路得到：
模式3：即S關(guān)斷，VD截止時，此時的等效電路如圖2(c)所示，根據(jù)等效電路得：
由式(2)～式(4)得到斷續(xù)狀態(tài)的Buck電路狀態(tài)方程為：
其中：
2 Buck變換器的精確離散模型
如圖3所示為Buck變換器的原理圖。圖3中Us為輸入電壓；s為開關(guān)器件；VD為續(xù)流二極管；iL為電感L上流過的電流；Uc為電容電壓；Uo為負(fù)載兩端輸出電壓；D為穩(wěn)態(tài)工作時開關(guān)占空比，他等于S導(dǎo)通時間與開關(guān)工作周期T之比；dm是第m個開關(guān)周期占空比，當(dāng)穩(wěn)態(tài)工作時dm＝D；△dm是第m個開關(guān)周期占空比變化量；K是變換器比例反饋參數(shù)。在一般不連續(xù)模式下，電路的狀態(tài)方程可以用式(5)表示。求解式(5)得：
ti－1＜t＜to為初始時刻，對他每個開關(guān)周期(即在t＝t1，t＝t2，t＝t3 時刻)進行一次狀態(tài)變量的采樣，得到離散序列{χm＋1}，m＝0，1，2，…由式(6)可以得到一個從χm到χm＋1的離散映射：
其中△ti＝ti－ti－1為每個開關(guān)模態(tài)的時間間隔，其大小取決于變換器反饋控制規(guī)律。DC／DC Buck變換器的控制率為：
式(8)中Uom是第m周期的輸出電壓，即反饋電壓，dm為第m個開關(guān)周期占空比。式(8)中當(dāng)dm≤0，取dm＝0；當(dāng)dm≥1，取dm＝1；當(dāng)0＜dm＜1，取dm＝dm。
由式(6)，(7)可以得到DCM情況下的離散模型為：
△t－to＝dmT對應(yīng)狀態(tài)1的工作時間； 
對應(yīng)狀態(tài)2的工作時間；△t3＝t3－t2＝T－△t1－△t2對應(yīng)狀態(tài)3的工作時間；T＝tπ＋1－tm表示電路開關(guān)的周期。
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由于離散迭代映射中存在矩陣指數(shù)，且要對其求積分，要得到其精確的離散映射有較大的難度。在這里引入凱萊-哈密爾頓定理，則式(10)中的eAit，一可表示為：
其中ao(ti)和a1(ti)滿足方程：
式(10)中A的2個特征值分別為λ1，2，由此可以得到：
其中：
將eA1t，eA2t2，eAA3t3帶入式(10)得到Buck變換器的精確離散模型：
3 Buck變換器中分叉與混沌現(xiàn)象動態(tài)演化過程
DC／DC開關(guān)變換器以往的建模方式都是采用近似等效、線性化的方法，從而能利用較成熟的線性系統(tǒng)理論對其模型進行研究。但不能展示DC／DC開關(guān)變換器非線性混沌現(xiàn)象，對開關(guān)變換器的開關(guān)非線性動態(tài)過程做細(xì)致的分析，研究表明需采用非線性離散模型[6]。
DC／DC Buck變換器工作在不連續(xù)工作模式(DCM)。用Matlab對圖3進行仿真，根據(jù)前面建立的精確離散模型，將反饋參數(shù)K從0開始不斷變大，其他參數(shù)如下：Us＝33 V；R＝12．5 Ω；L＝208μH；C＝222 μF；T＝333．33 μs；Vo＝25 V；rc為電容內(nèi)阻，rc＝0．0124，P＝50 W。
圖4是該離散模型的仿真結(jié)果，由圖可見，隨著反饋參數(shù)k的增加，Buck變換器表現(xiàn)出如下動力學(xué)行為：當(dāng)K△0～0．134 5，系統(tǒng)呈現(xiàn)1周期運動；在K△0．134 5時，出現(xiàn)分叉現(xiàn)象，當(dāng)K△0．184 6時，出現(xiàn)第二次分叉，在KA0．197 9～O．248 5范圍內(nèi)，存在2個混沌窗口；當(dāng)K△0．248 5時，系統(tǒng)又經(jīng)過邊界碰撞分又，出現(xiàn)3周期運動，然后經(jīng)過倍周期分叉，當(dāng)K△0．661時進入混沌狀態(tài)，但在混沌區(qū)中存在大量的周期窗口。從圖中可以看出變換器從穩(wěn)定工作，到周期分叉和進一步周期分叉，最后進入混沌狀態(tài)，完整地展現(xiàn)出Buck DC／DC變換器從穩(wěn)定、不穩(wěn)定直至混沌演化的全過程。
4 DC／DC Buck變換器中分叉運動的穩(wěn)定性分析
DC／DC Buck變換器離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性主要取決于系統(tǒng)在不動點處雅可比矩陣的特征值的大小，只有當(dāng)他的特征值的絕對值都小于等于1時，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。所以，由式(6)得到DC／DC Buck變換器離散系統(tǒng)在穩(wěn)定點X的判別式為：
其中△χm＋1＝χm－X，△χm為系統(tǒng)擾動，當(dāng)△χm很小時，上式的高階項很小，可以忽略不計，所以DC／DC變換器的穩(wěn)定性判據(jù)可簡化為：
DC／DC Buck變換器(當(dāng)他的主要參數(shù)確定后)的穩(wěn)定性直接取決于控制系統(tǒng)的設(shè)計。如圖3所示，K是DC／DC Buck變換器比例反饋參數(shù)，他的取值直接影響變換器的穩(wěn)定性。將上述仿真試驗時選取的參數(shù)代入式(12)，以反饋參數(shù)K為分叉變量，與電壓反饋參數(shù)K相關(guān)的穩(wěn)定性判別式可由式(14)得到：
由式(15)可以得到K的臨界穩(wěn)定值為：Kc＝0．133 5。對系統(tǒng)穩(wěn)定性而言，當(dāng)K＜Kc時，系統(tǒng)穩(wěn)定，反之，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且開始出現(xiàn)倍周期分叉逐漸進入混沌狀態(tài)，這更有力的證實了前面的仿真結(jié)果與理論完全相符。
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5 結(jié) 語
本文對DC／DC Buck變換器的分又及其混沌行為進行進一步深入研究，研究結(jié)果表明：電壓反饋系數(shù)K對該電路系統(tǒng)的動力學(xué)行為有十分重要的影響。當(dāng)K△0～0．134 5，系統(tǒng)呈現(xiàn)1周期運動；在K△0．134 5時，出現(xiàn)分叉現(xiàn)象，當(dāng)K△0．184 6時，出現(xiàn)第二次分叉，在K△0．197 9～0．248 5范圍內(nèi)，存在2個混沌窗口；當(dāng)K△0．248 5時，系統(tǒng)又經(jīng)過邊界碰幢分叉，出現(xiàn)3周期運動然后經(jīng)過倍周期分叉，當(dāng)K△0．661時進入混沌狀態(tài)，但在混沌區(qū)中存在大量的周期窗口。仿真結(jié)果表明，DC／DCBuck變換器存在著較大范圍的非線性行為，當(dāng)反饋參數(shù)變化時，系統(tǒng)就沿著倍周期軌跡運動，并最終進入混沌仿真結(jié)果與理論結(jié)果完全一致，仿真和理論分析證明所建立的DC／DC Buck變換器的精確數(shù)學(xué)離散模型的正確性能真實反映變換器各變量間的解析關(guān)系，從而為DC／DCBuck變換器的優(yōu)化設(shè)計和控制提供了理論依據(jù)。
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