電阻電路的等效變換詳細解析

　　 等效變換

? ? ? ? ?等效是電路分析中一種很重要的思維方法。根據(jù)電路等效的概念，可將一個結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的電路變換成結(jié)構(gòu)簡單的電路，使電路的分析簡化。

　　 等效的概念

　　【二端電路（一端口電路）】 兩端電路具有以下特點：只有兩個端鈕（a，b）與外部電路相連；進出端鈕的電流相同，如圖2-2-1所示。二端電路元件，例如電阻元件、獨立源、電容元件、電感元件，可視為二端電路的特例，也稱二端元件。二端電路也稱為一端口電路，一端口電路端口電壓、電流的關(guān)系稱為一端口網(wǎng)絡(luò)的端口特性或端口VCR。

　　【等效電路】 兩個二端電路，，如圖2-2-2所示，無論兩者內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何不同，只要它們的端口電壓、電流的關(guān)系（ VCR）相同，則稱和是等效的。兩個內(nèi)部結(jié)構(gòu)不同的電路等效的唯一標(biāo)準(zhǔn)是兩者對應(yīng)端口處的VCR完全一致，即它們對同一任意外部電路的效果完全相同。等效是對外部電路而言的，對于互相等效的兩個電路，，內(nèi)部的工作狀態(tài)是不等效的。等效具有傳遞性，如果二端電路和等效，二端電路又與等效，則必有與等效。

　　電阻的串聯(lián)與并聯(lián)等效變換

　　【電阻元件的串聯(lián)】圖2-2-3（a）中，由KVL得

　　且 　

　　由KVL得

　　令

　　則

　　根據(jù)上式可以構(gòu)造一個相應(yīng)電路如圖2-2-3（b）所示，所以圖（a）和（b）是等效的，等效電阻等于各串聯(lián)電阻元件電阻之和。

　　【電阻元件的并聯(lián)】圖2-2-4（a）中，由KCL得

　　令

　　用等效電導(dǎo)表示為

　　星形電阻網(wǎng)絡(luò)與三角形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效變換

　　由線性電阻元件混聯(lián)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)，其最簡等效電路為線性電阻。但是并非所有由線性電阻元件混聯(lián)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)都能通過串、并聯(lián)化簡為線性電阻。本小節(jié)介紹“平衡電橋”和“星形-三角形”互換兩種化簡方法。通過這兩種方法，在結(jié)合電阻元件的串聯(lián)、并聯(lián)化簡，可實現(xiàn)任何由線性電阻混聯(lián)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)的等效化簡。

　　【平衡電橋】圖2-2-6所示由5個線性電阻（為必要條件）構(gòu)成的橋式電路中，當(dāng)或（由于為線性電阻，該兩個條件必是同時成立的）時，稱此橋式電路為平衡電橋。由平衡電橋電路特點可得到平衡電橋的兩種等效電路。由得到圖2-2-6所示等效電路；由得到圖2-2-6所示等效電路。

　　【電橋平衡條件】在圖2-2-7（a）所示電路中，有

　　在電路2-2-7（b）中 ，有

　　由以上兩式均可以推出電橋平衡的條件，為

　　【星形—三角形互換】 當(dāng)電橋不滿足平衡條件時，必須采用星形（Y形）與三角形（△形）互換才能將電橋電路化成線性電阻。

　　如果可將圖2-2-6中以節(jié)電a，c，d為頂點的三角形電阻，和等效變換成圖2-2-8（a）中以新節(jié)點o為中心的星形連接電阻，和；或者將圖2-2-6中，以c為中心的Y形連接電阻，和等效變換成圖2-2-8（b）中以節(jié)點a，b，d為頂點的△形連接電阻，和。這樣各電阻之間連接關(guān)系成為串聯(lián)和并聯(lián)關(guān)系了。也可以選擇△cbd變成Y形，或選擇以d為頂點的Y形變?yōu)椤餍巍?/p>

　　【星形—三角形互換條件】根據(jù)前面等效的概念，分別求出這兩種電路端鈕處的電壓-電流關(guān)系，讓兩者相同，即可獲得等效條件。

　　在△形電路中，有

　　求解得△形電路中的電壓-電流關(guān)系

　　而Y形電路中的電壓-電流關(guān)系為

　　兩種電路等效，則端鈕處的電壓-電流關(guān)系應(yīng)相同。比較△形電路和Y形電路的電壓-電流關(guān)系，可得△形電路等效變換成Y形電路的條件為

　　 （△→Y）

　　同理可得Y形電路等效變換成△形電路的條件為

　　 （Y→△）

　　【例2-2-1】 求圖2-2-10（a）所示電路的電流I。

　　將圖2-2-10（a）中，，所構(gòu)成的三角形電路按等效變換為（b）所示電路。則

　　4、實際電源的兩種模型及其等效變換

　　獨立電源是可以用來描述實際電源的電路元件。以下討論實際直流電源的電路模型。

　　【實際直流電壓源模型（戴維寧模型）】 一個實際直流電壓源的端電壓并不是恒定不變的，而是隨著輸出電流的增加而下降。實際直流電壓源外部特性可用圖2-2-11（a）所示曲線描述。根據(jù)曲線的形狀可用獨立電壓源和線性電阻元件串聯(lián)的模型來等效，圖2-2-11（b）為該實際電源的電路模型，稱為戴維寧模型。模型特性方程為

　　當(dāng)實際電壓源內(nèi)阻很小時，特性曲線趨于與i軸平行，當(dāng)時，特性曲線與i軸平行，成為理想電壓源。

　　【實際直流電流源模型（諾頓模型）】 一個實際直流電流源，其電流并不是恒定不變的，而是隨著端電壓的增大而下降。實際直流電流源外部特性可用圖2-2-12（a）所示曲線描述，并用圖2-2-12（b）所示電路模型來等效，稱為諾頓模型，電路模型的端口的特性方程為

　　當(dāng)實際電流源內(nèi)電導(dǎo)很小時，特性曲線趨于與u軸平行，當(dāng)時，實際電流源成為獨立電流源。

　　【戴維寧模型和諾頓模型的互換】 圖2-2-13（a）實際電壓源端口電壓-電流關(guān)系為

　　圖2-2-13（b）實際電流源端口電壓-電流關(guān)系為

　　欲使兩種模型等效，則要求端口電壓-電流關(guān)系相同，由此可得出元件參數(shù)應(yīng)滿足

　　或者

　　進行等效變換時應(yīng)注意：

　　（1）電流源電流的參考方向由電壓源的負極指向正極；

　?。?）等效是對外部電路而言的，對兩電路內(nèi)部的電阻之間、電壓源和電流源之間是不等效的；

　?。?）等效變換條件也適用于受控電壓源構(gòu)成的戴維寧支路和受控電流源構(gòu)成的諾頓支路，注意在電路變換中控制支路應(yīng)保留。

　　5、電源等效轉(zhuǎn)移

　　【無伴電壓源轉(zhuǎn)移】電壓源沒有與之串聯(lián)的電阻而單獨成為一條支路，稱為無伴電壓源支路，圖2-2-14（a）所示無伴電壓源可以進行以下等效變換。圖2-2-14（b）是按P節(jié)點轉(zhuǎn)移，圖2-2-14（c）是按Q點轉(zhuǎn)移。本質(zhì)上是將電壓源按照結(jié)點所連支路數(shù)裂開，注意圖中結(jié)點的變化。

　　【無伴電流源轉(zhuǎn)移】電流源沒有與之并聯(lián)的電阻而單獨成為一條支路，稱為無伴電流源支路。無伴電流源可進行以下等效變換。變換規(guī)則為：將電流源順其原來的參考方向，轉(zhuǎn)移到包含電流源的任意一個回路中的各支路上，并與這些支路并聯(lián)，原無伴電流源所連接的兩節(jié)點之間開路。