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傅里葉級數(shù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)公式

電子工程技術(shù) ? 來源:陳翠 ? 2019-06-29 09:34 ? 次閱讀

但傅里葉級數(shù)在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,這不由得讓人肅然起敬。一打開《信號(hào)與系統(tǒng)》、《鎖相環(huán)原理》等書籍,動(dòng)不動(dòng)就跳出一個(gè)“傅里葉級數(shù)”或“傅里葉變換”,弄一長串公式,讓人云山霧罩。

如下就是傅里葉級數(shù)的公式:

不客氣地說,這個(gè)公式可以說是像“臭婆娘的裹腳布——又臭又長”,而且來歷相當(dāng)蹊蹺,不知那個(gè)傅里葉什么時(shí)候靈光乍現(xiàn),把一個(gè)周期函數(shù)f(t)硬生生地寫成這么一大堆東西。單看那個(gè)①式,就是把周期函數(shù)f(t)描述成一個(gè)常數(shù)系數(shù)a0、及1倍ω的sin和cos函數(shù)、2倍ω的sin和cos函數(shù)等、到n倍ω的sin和cos函數(shù)等一系列式子的和,且每項(xiàng)都有不同的系數(shù),即An和Bn,至于這些系數(shù),需要用積分來解得,即②③④式,不過為了積分方便,積分區(qū)間一般設(shè)為[-π, π],也相當(dāng)一個(gè)周期T的寬度。

能否從數(shù)學(xué)的角度推導(dǎo)出此公式,以使傅里葉級數(shù)來得明白些,讓我等能了解它的前世今生呢?下面來詳細(xì)解釋一下此公式的得出過程:

1、把一個(gè)周期函數(shù)表示成三角級數(shù):

首先,周期函數(shù)是客觀世界中周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表述,如物體掛在彈簧上作簡諧振動(dòng)、單擺振動(dòng)、無線電電子振蕩器的電子振蕩等,大多可以表述為:

f(x)=A sin(ωt+ψ)

這里t表示時(shí)間,A表示振幅,ω為角頻率,ψ為初相(與考察時(shí)設(shè)置原點(diǎn)位置有關(guān))。

然而,世界上許多周期信號(hào)并非正弦函數(shù)那么簡單,如方波、三角波等。傅葉里就想,能否用一系列的三角函數(shù)An sin(nωt+ψ)之和來表示那個(gè)較復(fù)雜的周期函數(shù)f(t)呢?因?yàn)檎液瘮?shù)sin可以說是最簡單的周期函數(shù)了。于是,傅里葉寫出下式:(關(guān)于傅里葉推導(dǎo)純屬猜想)

這里,t是變量,其他都是常數(shù)。與上面最簡單的正弦周期函數(shù)相比,5式中多了一個(gè)n,且n從1到無窮大。這里f(t)是已知函數(shù),也就是需要分解的原周期函數(shù)。從公式5來看,傅里葉是想把一個(gè)周期函數(shù)表示成許多正弦函數(shù)的線性疊加,這許許多多的正弦函數(shù)有著不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期或說是頻率(是原周期函數(shù)的整數(shù)倍,即n)、有不同的初相角(即ψ),當(dāng)然還有一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)(即A0)。要命的是,這個(gè)n是從1到無窮大,也就是是一個(gè)無窮級數(shù)。

應(yīng)該說,傅里葉是一個(gè)天才,想得那么復(fù)雜。一般人不太會(huì)把一個(gè)簡單的周期函數(shù)弄成這么一個(gè)復(fù)雜的表示式。但傅里葉認(rèn)為,式子右邊一大堆的函數(shù),其實(shí)都是最簡單的正弦函數(shù),有利于后續(xù)的分析和計(jì)算。當(dāng)然,這個(gè)式能否成立,關(guān)鍵是級數(shù)中的每一項(xiàng)都有一個(gè)未知系數(shù),如A0、An等,如果能把這些系數(shù)求出來,那么5式就可以成立。當(dāng)然在5式中,唯一已知的就是原周期函數(shù)f(t),那么只需用已知函數(shù)f(t)來表達(dá)出各項(xiàng)系數(shù),上式就可以成立,也能計(jì)算了。

于是乎,傅里葉首先對式5作如下變形:

這樣,公式5就可以寫成如下公式6的形式:

這個(gè)公式6就是通常形式的三角級數(shù),接下來的任務(wù)就是要把各項(xiàng)系數(shù)an和bn及a0用已知函數(shù)f(t)來表達(dá)出來。

2、三角函數(shù)的正交性:

這是為下一步傅里葉級數(shù)展開時(shí)所用積分的準(zhǔn)備知識(shí)。一個(gè)三角函數(shù)系:1,cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 如果這一堆函數(shù)(包括常數(shù)1)中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在區(qū)間[-π, π]上的積分等于零,就說三角函數(shù)系在區(qū)間[-π, π]上正交,即有如下式子:

以上各式在區(qū)間[-π, π]的定積分均為0,第1第2式可視為三角函數(shù)cos和sin與1相乘的積分;第3-5式則為sin和cos的不同組合相乘的積分式。除了這5個(gè)式子外,不可能再有其他的組合了。注意,第4第5兩個(gè)式中,k不能等于n,否則就不屬于“三角函數(shù)系中任意兩個(gè)不同函數(shù)”的定義了,變成同一函數(shù)的平方了。但第3式中,k與n可以相等,相等時(shí)也是二個(gè)不同函數(shù)。下面通過計(jì)算第4式的定積分來驗(yàn)證其正確性,第4式中二函數(shù)相乘可以寫成:

可見在指定[-π, π]的區(qū)間里,該式的定積分為0。其他式也可逐一驗(yàn)證。

3、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù):

先把傅里葉級數(shù)表示為下式,即⑥式:

對⑥式從[-π, π]積分,得:

這就求得了第一個(gè)系數(shù)a0的表達(dá)式,即最上邊傅里葉級數(shù)公式里的②式。接下來再求an和bn的表達(dá)式。用cos(kωt)乘⑥式的二邊得:

至此,已經(jīng)求得傅里葉級數(shù)中各系數(shù)的表達(dá)式,只要這些積分都存在,那么⑥式等號(hào)右側(cè)所表示的傅里葉級數(shù)就能用來表達(dá)原函數(shù)f(t)。上述過程就是整個(gè)傅里葉級數(shù)的推導(dǎo)過程。事實(shí)上,如果能夠?qū)懗觫奘?,不難求出各個(gè)系數(shù)的表達(dá)式,關(guān)鍵是人們不會(huì)想到一個(gè)周期函數(shù)竟然可以用一些簡單的正弦或余弦函數(shù)來表達(dá),且這個(gè)表達(dá)式是一個(gè)無窮級數(shù)。這當(dāng)然就是數(shù)學(xué)家傅里葉的天才之作了,我等只有拼命理解的份了。

綜上,傅里葉級數(shù)的產(chǎn)生過程可以分為以下三步:

1、設(shè)想可以把一個(gè)周期函數(shù)f(t)通過最簡單的一系列正弦函數(shù)來表示,即5式;

2、通過變形后用三角級數(shù)(含sin和cos)來表示;

3、通過積分,把各未知系數(shù)用f(t)的積分式來表達(dá);

4、最后得到的4個(gè)表達(dá)式就是傅里葉級數(shù)公式。

在電子學(xué)中,傅里葉級數(shù)是一種頻域分析工具,可以理解成一種復(fù)雜的周期波分解成直流項(xiàng)、基波(角頻率為ω)和各次諧波(角頻率為nω)的和,也就是級數(shù)中的各項(xiàng)。一般,隨著n的增大,各次諧波的能量逐漸衰減,所以一般從級數(shù)中取前n項(xiàng)之和就可以很好接近原周期波形。這是傅里葉級數(shù)在電子學(xué)分析中的重要應(yīng)用。

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原文標(biāo)題:傅里葉級數(shù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo),小白免看!

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