傅里葉級數(shù)的數(shù)學推導公式

但傅里葉級數(shù)在數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率論、統(tǒng)計學、密碼學、聲學、光學等領(lǐng)域都有著廣泛的應用，這不由得讓人肅然起敬。一打開《信號與系統(tǒng)》、《鎖相環(huán)原理》等書籍，動不動就跳出一個“傅里葉級數(shù)”或“傅里葉變換”，弄一長串公式，讓人云山霧罩。

如下就是傅里葉級數(shù)的公式：

不客氣地說，這個公式可以說是像“臭婆娘的裹腳布——又臭又長”，而且來歷相當蹊蹺，不知那個傅里葉什么時候靈光乍現(xiàn)，把一個周期函數(shù)f(t)硬生生地寫成這么一大堆東西。單看那個①式，就是把周期函數(shù)f(t)描述成一個常數(shù)系數(shù)a0、及1倍ω的sin和cos函數(shù)、2倍ω的sin和cos函數(shù)等、到n倍ω的sin和cos函數(shù)等一系列式子的和，且每項都有不同的系數(shù)，即An和Bn，至于這些系數(shù)，需要用積分來解得，即②③④式，不過為了積分方便，積分區(qū)間一般設為[-π, π]，也相當一個周期T的寬度。

能否從數(shù)學的角度推導出此公式，以使傅里葉級數(shù)來得明白些，讓我等能了解它的前世今生呢?下面來詳細解釋一下此公式的得出過程：

1、把一個周期函數(shù)表示成三角級數(shù)：

首先，周期函數(shù)是客觀世界中周期運動的數(shù)學表述，如物體掛在彈簧上作簡諧振動、單擺振動、無線電電子振蕩器的電子振蕩等，大多可以表述為：

f(x)=A sin(ωt+ψ)

這里t表示時間，A表示振幅，ω為角頻率，ψ為初相(與考察時設置原點位置有關(guān))。

然而，世界上許多周期信號并非正弦函數(shù)那么簡單，如方波、三角波等。傅葉里就想，能否用一系列的三角函數(shù)An sin(nωt+ψ)之和來表示那個較復雜的周期函數(shù)f(t)呢?因為正弦函數(shù)sin可以說是最簡單的周期函數(shù)了。于是，傅里葉寫出下式：(關(guān)于傅里葉推導純屬猜想)

這里，t是變量，其他都是常數(shù)。與上面最簡單的正弦周期函數(shù)相比，5式中多了一個n，且n從1到無窮大。這里f(t)是已知函數(shù)，也就是需要分解的原周期函數(shù)。從公式5來看，傅里葉是想把一個周期函數(shù)表示成許多正弦函數(shù)的線性疊加，這許許多多的正弦函數(shù)有著不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期或說是頻率(是原周期函數(shù)的整數(shù)倍，即n)、有不同的初相角(即ψ)，當然還有一項常數(shù)項(即A0)。要命的是，這個n是從1到無窮大，也就是是一個無窮級數(shù)。

應該說，傅里葉是一個天才，想得那么復雜。一般人不太會把一個簡單的周期函數(shù)弄成這么一個復雜的表示式。但傅里葉認為，式子右邊一大堆的函數(shù)，其實都是最簡單的正弦函數(shù)，有利于后續(xù)的分析和計算。當然，這個式能否成立，關(guān)鍵是級數(shù)中的每一項都有一個未知系數(shù)，如A0、An等，如果能把這些系數(shù)求出來，那么5式就可以成立。當然在5式中，唯一已知的就是原周期函數(shù)f(t),那么只需用已知函數(shù)f(t)來表達出各項系數(shù)，上式就可以成立，也能計算了。

于是乎，傅里葉首先對式5作如下變形：

這樣，公式5就可以寫成如下公式6的形式：

這個公式6就是通常形式的三角級數(shù)，接下來的任務就是要把各項系數(shù)an和bn及a0用已知函數(shù)f(t)來表達出來。

2、三角函數(shù)的正交性：

這是為下一步傅里葉級數(shù)展開時所用積分的準備知識。一個三角函數(shù)系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 如果這一堆函數(shù)(包括常數(shù)1)中任何兩個不同函數(shù)的乘積在區(qū)間[-π, π]上的積分等于零，就說三角函數(shù)系在區(qū)間[-π, π]上正交，即有如下式子：

以上各式在區(qū)間[-π, π]的定積分均為0，第1第2式可視為三角函數(shù)cos和sin與1相乘的積分;第3-5式則為sin和cos的不同組合相乘的積分式。除了這5個式子外，不可能再有其他的組合了。注意，第4第5兩個式中，k不能等于n，否則就不屬于“三角函數(shù)系中任意兩個不同函數(shù)”的定義了，變成同一函數(shù)的平方了。但第3式中，k與n可以相等，相等時也是二個不同函數(shù)。下面通過計算第4式的定積分來驗證其正確性，第4式中二函數(shù)相乘可以寫成：

可見在指定[-π, π]的區(qū)間里，該式的定積分為0。其他式也可逐一驗證。

3、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)：

先把傅里葉級數(shù)表示為下式，即⑥式：

對⑥式從[-π, π]積分，得：

這就求得了第一個系數(shù)a0的表達式，即最上邊傅里葉級數(shù)公式里的②式。接下來再求an和bn的表達式。用cos(kωt)乘⑥式的二邊得：

至此，已經(jīng)求得傅里葉級數(shù)中各系數(shù)的表達式，只要這些積分都存在，那么⑥式等號右側(cè)所表示的傅里葉級數(shù)就能用來表達原函數(shù)f(t)。上述過程就是整個傅里葉級數(shù)的推導過程。事實上，如果能夠?qū)懗觫奘剑浑y求出各個系數(shù)的表達式，關(guān)鍵是人們不會想到一個周期函數(shù)竟然可以用一些簡單的正弦或余弦函數(shù)來表達，且這個表達式是一個無窮級數(shù)。這當然就是數(shù)學家傅里葉的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。

綜上，傅里葉級數(shù)的產(chǎn)生過程可以分為以下三步：

1、設想可以把一個周期函數(shù)f(t)通過最簡單的一系列正弦函數(shù)來表示，即5式;

2、通過變形后用三角級數(shù)(含sin和cos)來表示;

3、通過積分，把各未知系數(shù)用f(t)的積分式來表達;

4、最后得到的4個表達式就是傅里葉級數(shù)公式。

在電子學中，傅里葉級數(shù)是一種頻域分析工具，可以理解成一種復雜的周期波分解成直流項、基波(角頻率為ω)和各次諧波(角頻率為nω)的和，也就是級數(shù)中的各項。一般，隨著n的增大，各次諧波的能量逐漸衰減，所以一般從級數(shù)中取前n項之和就可以很好接近原周期波形。這是傅里葉級數(shù)在電子學分析中的重要應用。