圖形變換之基本矩陣變換

1）平移變換

從一個(gè)位置到另一個(gè)位置的變換可以用平移矩陣T表示，該矩陣通過向量t = ( tx, ty, tz)對(duì)實(shí)體進(jìn)行平移操作。

其實(shí)還有另外一種形式（以左手坐標(biāo)系為基準(zhǔn)）：

第一種形式（以右手坐標(biāo)系為基準(zhǔn)的）進(jìn)行變換時(shí)將T與需要變換的點(diǎn)或向量A（列向量）相乘，即TA。

第二種形式（以左手坐標(biāo)系為基準(zhǔn)）將需要變換的點(diǎn)或向量（行向量）與T相乘，即AT。

平移矩陣的逆矩陣為T-1( t ) =T( -t )，也就是對(duì)向量t進(jìn)行了置負(fù)操作。

2）旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)矩陣Rx(Θ)、Ry(Θ)、Rz(Θ)分別表示將物體繞x,y,z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。

注意，旋轉(zhuǎn)矩陣表示物體是繞著指定軸（軸的指向朝外面）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的，但這個(gè)形式的旋轉(zhuǎn)矩陣是以右手坐標(biāo)系為基準(zhǔn)的。

左手坐標(biāo)系的為：

旋轉(zhuǎn)矩陣的推導(dǎo)可以看這里：http://blog.csdn.net/zsq306650083/article/details/8773996

任意軸旋轉(zhuǎn)任意角度矩陣：

對(duì)于這個(gè)3x3矩陣來說，其對(duì)角元素之和是一個(gè)與坐標(biāo)軸無關(guān)的常數(shù)，稱其為跡（Trace）：tr(R)=1+2cosΘ

矩陣R的逆矩陣就是其轉(zhuǎn)置矩陣，還有其他獲取其逆矩陣的方法，即將Θ取負(fù)（繞著同一坐標(biāo)軸朝相反方向旋轉(zhuǎn)）。旋轉(zhuǎn)矩陣的行列式總是等于1.

3）縮放矩陣

sx, sy, sz分別表示沿著XYZ軸進(jìn)行縮放的縮放比例。S矩陣的逆矩陣為S-1( s ) = S ( 1/sx, 1/sy,1/sz)。

如果對(duì)縮放矩陣s的一個(gè)或者三個(gè)分量置負(fù)，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)反射矩陣（鏡像矩陣），如果其中兩個(gè)縮放因子為-1，那么將旋轉(zhuǎn)180度，當(dāng)發(fā)現(xiàn)變換矩陣是反射矩陣時(shí)，需要進(jìn)行特殊處理，例如，一個(gè)三角形的頂點(diǎn)序列以逆時(shí)針方向排列時(shí)，在經(jīng)過反射矩陣變換后，對(duì)得到一個(gè)順時(shí)針方向排列的三角形頂點(diǎn)序列，這將導(dǎo)致不正確的光照效果和背面裁減。判斷給點(diǎn)矩陣是否為反射形式，需要計(jì)算該矩陣左上部3x3矩陣行列式的值，如果為負(fù)，那么該矩陣就為反射矩陣。

4）錯(cuò)切變換

錯(cuò)切矩陣有6種基本形式，分別表示為Hxy(s)、Hxz(s)、Hyx(s)、Hyz(s)、Hzx(s)、Hzy(s)。第一個(gè)下標(biāo)表示由錯(cuò)切矩陣改變的坐標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)表示進(jìn)行錯(cuò)切操作的坐標(biāo)。

通過下標(biāo)可以找到參數(shù)s所在的位置。如本例中x=0,z=2。

錯(cuò)切矩陣的逆矩陣可以通過取負(fù)來取得 ( Hij)-1( s ) = Hij( -s )

5) 剛體變換

剛體變換用于剛性物體的變換，只改變物體的方向和位置，不改變形狀。可以將剛體矩陣X寫成一個(gè)平移矩陣和一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣的級(jí)聯(lián)：

X的逆矩陣可以這樣求得：X-1= ( T ( t ) R )-1= R-1T( t )-1 = RTT( -t ).

6) 法線變換

注意，法線必須通過用變換幾何圖形的矩陣的逆矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣進(jìn)行變換N = ( M-1)T

實(shí)際應(yīng)用中，如果變換矩陣是正交的（如旋轉(zhuǎn)矩陣），就沒必要計(jì)算它的逆矩陣，因?yàn)檎痪仃嚨哪婢仃嚲褪寝D(zhuǎn)置矩陣，兩個(gè)轉(zhuǎn)置矩陣相互抵消，相乘的結(jié)果還是原來的旋轉(zhuǎn)矩陣。此外，還有平移矩陣，由于平移不改變向量的方向，所以可以進(jìn)行任意次數(shù)的平移而不對(duì)法線產(chǎn)生任何影響。另外，如果使用一個(gè)或多個(gè)一致性縮放矩陣進(jìn)行變換，也不需要計(jì)算相應(yīng)的逆矩陣，因?yàn)檫@種縮放只改變法線長(zhǎng)度，不影響其方向。這種矩陣進(jìn)行變換之后需要對(duì)法線進(jìn)行歸一化（規(guī)范化）。