Apollo控制算法中使用的車輛動力學模型的推導過程

動力學主要研究作用于物體的力與物體運動的關系。

車輛動力學模型一般用于分析車輛的平順性和車輛操縱的穩(wěn)定性。

對于車來說，研究車輛動力學，主要是研究車輛輪胎及其相關部件的受力情況。

比如縱向速度控制，通過控制輪胎轉速實現(xiàn)；

橫向航向控制，通過控制輪胎轉角實現(xiàn)。

正常情況下，車輛上的作用力沿著三個不同的軸分布：

縱軸上的力包括驅動力和制動力，以及滾動阻力和拖拽阻力作滾擺運動；

橫軸上的力包括轉向力、離心力和側風力，汽車繞橫軸作俯仰運動；

立軸上的力包括車輛上下振蕩施加的力，汽車繞立軸作偏擺或轉向運動。

無論是LQR或是MPC控制，都需要有車輛的模型作為基礎。

本文由社區(qū)開發(fā)者——卜大鵬撰寫，整理出Apollo控制算法中使用的車輛動力學模型的推導過程。

車輛動力學模型

以下，ENJOY

首先，根據(jù)牛頓第二定律結合車輛前后輪受力，有：

根據(jù)力矩平衡結合車輛前后輪受力和受力點到車輛重心距離，有：

上述兩式中，汽車質量m、轉動慣量Iz、前軸到重心距離lf和后軸到重心距離lr都是可測量的。

為了求解兩等式，需要分別求得車輛橫向加速度ay和前輪橫向受力Fyf和后輪橫向受力Fyr。

橫向加速度可以分解為由橫向位移產(chǎn)生的加速度和向心加速度。

y為橫向位移，psi為航向角，Vx為縱向速度。這樣橫向加速度就分解為位移和航向角的表達式。

前輪橫向受力可以近似為公式4，其中Caf為前輪側偏剛度，delta為前輪轉角，theta_vf為前輪側偏角。

后輪橫向受力可以近似為公式5，其中Car為后輪側偏剛度，theta_vr為后輪側偏角。

公式4和公式5可以理解為實測數(shù)據(jù)標定后得到近似公式。

在簡化環(huán)境因素下，側偏剛度可以由簡化的輪胎模型求出，前輪轉角為可獲取量，只需想辦法表示出前后輪的側偏角。

至此，上文提到的各變量在車體上的示意圖如下：

根據(jù)上圖可知，tan(theta)等于車輛橫向速度比縱向速度，而橫向速度由車輛自身橫向速度和繞重心轉動速度組成。

在小角度轉向假設下，有：

至此，把變化后的各變量表達式代入公式1和公式2，有：

設e1為橫向偏差，e2為航向角偏差，可以得到如下關系。

在勻速假設下，上式可進一步推導出：

帶入公式10和公式11可以得到兩個偏差的表達式：

轉換為狀態(tài)空間的表達式：

這樣就得到了在

小角度側偏角

勻速

不考慮環(huán)境因素

假設下，車輛的動力學模型表達式。

令：

得到狀態(tài)方程：

式中，前輪側偏剛度Caf、后輪側偏剛度Car、車身質量m、轉動慣量Iz、前輪到重心距離lf、后輪到重心距離lr都是常量；

每個時刻的橫向偏差e1、航向偏差e2、縱向速度Vx、前輪轉角delta都是可測量量;

目標航向psi是可獲取量。

這樣每個運算周期通過傳感器測得的數(shù)值更新測量量就可以用這個模型通過相應算法實現(xiàn)目標軌跡的跟蹤了。

但因為需要使用計算機進行數(shù)值計算，推導截至到上面的連續(xù)模型還不夠，還需要對上述模型進行離散化。

對于連續(xù)系統(tǒng)有：

令采樣周期為T，t0=kT，t=(k+1)T，即考慮k到k+1時刻的狀態(tài)響應，有：

考慮在采樣周期內(nèi)u不變，C為常數(shù)，有

對上式積分中做變量替換，令t=(k+1)T-tau,有

將上式與定常離散線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程

比較可知，要使兩式對任意x(kT)和u(kT)成立，有

公式23到公式29即為連續(xù)狀態(tài)空間到離散狀態(tài)空間的精確離散化推導過程。為了便于后續(xù)計算，還需要對精確離散化進一步進行近似離散化，因為有

對上式分子分母同時做泰勒展開，取前兩項，有

同樣，對式23進行泰勒展開，取前一項，有

剩下的常數(shù)項，顯然有

至此，得到了連續(xù)模型轉換為后續(xù)算法可用的近似離散化模型