使用加速度計(jì)實(shí)現(xiàn)傾斜角度計(jì)算

手機(jī)現(xiàn)在通常會(huì)在用戶旋轉(zhuǎn)手機(jī)時(shí)更改屏幕方向。本文討論了將加速度計(jì)的輸出轉(zhuǎn)換為傾斜角度的基本原理和所需計(jì)算。

確定系統(tǒng)傾斜或傾斜度的一種常用方法是集成陀螺儀的輸出。盡管這種方法很簡(jiǎn)單，但與零偏置穩(wěn)定性相關(guān)的誤差會(huì)隨著積分周期的增加而迅速?gòu)?fù)合，即使在器件靜止時(shí)也會(huì)導(dǎo)致明顯的旋轉(zhuǎn)。

在某些應(yīng)用中，系統(tǒng)上的凈加速度或力量時(shí)間是重力，加速度計(jì)可用于測(cè)量靜態(tài)傾斜角度或傾斜度。這些應(yīng)用包括游戲，數(shù)碼相機(jī)中的地平線檢測(cè)，以及檢測(cè)工業(yè)和醫(yī)療應(yīng)用中設(shè)備的前進(jìn)方向。

使用加速度計(jì)進(jìn)行傾斜感應(yīng)的基本假設(shè)是唯一的加速度刺激是與重力相關(guān)的刺激。在實(shí)踐中，可以對(duì)信號(hào)輸出執(zhí)行信號(hào)處理以從輸出信號(hào)中去除高頻內(nèi)容，因此可以容忍一些AC加速度。

傾斜感應(yīng)使用重力矢量及其在加速度計(jì)軸上的投影，確定傾斜角度。由于重力是直流加速度，因此任何導(dǎo)致額外直流加速度的力都會(huì)破壞輸出信號(hào)并導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。 DC加速度的來(lái)源包括車(chē)輛以恒定速率加速的時(shí)間段和旋轉(zhuǎn)在加速度計(jì)上引起向心加速度的裝置。此外，當(dāng)重力投影在感興趣的軸上時(shí)，通過(guò)重力旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)會(huì)引起明顯的AC加速度。在計(jì)算傾斜度之前對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行任何濾波會(huì)影響輸出結(jié)束到新靜態(tài)值的速度。本文討論將加速度計(jì)輸出轉(zhuǎn)換為傾斜角度的基本原理。該討論包括如何計(jì)算單軸，雙軸或三軸解的理想傾角。此外，還包括一些有關(guān)校準(zhǔn)的基本信息，以減少偏移和靈敏度不匹配的誤差。

傾斜/傾斜計(jì)算

單軸傾斜計(jì)算

在僅需要有限角度的傾斜感應(yīng)的應(yīng)用中，并且具有稍微粗略的分辨率，可以使用單軸設(shè)備（或多軸設(shè)備的單軸）。例如，在圖1中，單個(gè)軸（在該示例中為x軸）是通過(guò)重力旋轉(zhuǎn)。因?yàn)樵摲椒▋H使用單個(gè)軸并且需要重力矢量，所以計(jì)算的傾斜角度僅在設(shè)備被定向時(shí)使得x軸始終在重力平面中才是準(zhǔn)確的。圍繞其他軸的任何旋轉(zhuǎn)都會(huì)減小x軸上加速度的大小，并導(dǎo)致計(jì)算出的傾斜角度出現(xiàn)誤差。

圖1：用于傾斜感應(yīng)的單軸。

參考基本三角學(xué)，重力矢量在x軸上的投影產(chǎn)生的輸出加速度等于加速度計(jì)x軸和地平線之間的角度的正弦。地平線通常被認(rèn)為是與重力矢量正交的平面。對(duì)于重力的理想值1 g，輸出加速度為：

使用單軸解決方案時(shí)，請(qǐng)注意靈敏度 - 即某些變化的輸出變化在輸入中 - 傾斜度計(jì)算隨著水平線和x軸之間的角度增加而減小，當(dāng)角度接近±90°時(shí)接近零。這可以在圖2中看到，其中輸出加速度（以g為單位）相對(duì)于傾斜角繪制。在±90°附近，傾斜角度的大幅變化會(huì)導(dǎo)致輸出加速度的微小變化由于傾斜計(jì)算是以數(shù)字方式完成的，因此輸出加速度表示為每個(gè)最低有效位（LSB）或代碼的恒定加速度，可從模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）或直接從數(shù)字輸出部件獲得。由于輸出分辨率是恒定加速度，因此傾斜度的分辨率是可變的，最佳分辨率接近0°，最差分辨率為±90°。

圖2：輸出加速度與單軸傾斜傳感的傾斜角度。圖3和圖4顯示了1°和0.25°傾斜角度步進(jìn)的增量靈敏度。增量靈敏度是輸出變化，以毫克表示，每個(gè)傾斜角度步長(zhǎng)，或者

其中：

N是當(dāng)前角度。

P是步長(zhǎng)。

圖3：1°步長(zhǎng)的增量?jī)A斜靈敏度。

這些曲線可用于確定測(cè)量輸出加速度時(shí)所需的最小分辨率，以滿足整個(gè)所需的傾斜分辨率應(yīng)用范圍。例如，設(shè)計(jì)最大步長(zhǎng)為1°時(shí)，±63°范圍內(nèi)至少需要8 mg/LSB的分辨率。類(lèi)似地，要在±63°的范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)0.25°的最大步長(zhǎng)，需要至少2 mg/LSB的分辨率。請(qǐng)注意，如果存在足夠的任何一個(gè)，則可以使用過(guò)采樣來(lái)實(shí)現(xiàn)更好的分辨率。

圖4：0.25°步長(zhǎng)的增量?jī)A斜靈敏度。

因?yàn)榧铀俣扔?jì)的輸出服從正弦曲線當(dāng)它通過(guò)重力旋轉(zhuǎn)時(shí)，從加速度到角度的轉(zhuǎn)換是使用反正弦函數(shù)完成的，

其中傾角θ是弧度。

如果是窄的需要傾斜范圍，可以使用線性近似來(lái)代替反正弦函數(shù)。線性近似與小角度的正弦近似有關(guān)，

其中傾角θ為弧度。

其中傾角θ為弧度。

轉(zhuǎn)換為度數(shù)是通過(guò)將等式5的結(jié)果乘以（180/π）。圖5顯示了使用反正弦函數(shù)和k等于1的線性近似之間的比較。隨著傾角的大小增加，線性逼近開(kāi)始失敗，并且計(jì)算的角度偏離實(shí)際角度。

因?yàn)橛?jì)算出的角度是相對(duì)于實(shí)際傾斜角度繪制的，所以線性近似似乎在末端附近彎曲。這是因?yàn)榫€性近似僅在與輸出加速度相比時(shí)是線性的，并且如圖2所示，輸出加速度的行為類(lèi)似于實(shí)際傾斜角度增加。但是，反正弦函數(shù)應(yīng)該產(chǎn)生與實(shí)際傾斜角度一對(duì)一的輸出，使得計(jì)算出的角度在與實(shí)際傾斜角度作圖時(shí)是一條直線。

圖5：傾斜角計(jì)算的反正弦函數(shù)和線性近似的比較

例如，如果傾斜感應(yīng)的所需分辨率為1°，則誤差為±0.5°是可接受的，因?yàn)樗陀谏崛胝`差的計(jì)算。如果在k等于1時(shí)繪制實(shí)際傾斜角度與計(jì)算出的傾斜角度之間的誤差，如圖6所示，線性近似的有效范圍僅為±20°。如果調(diào)整比例因子使得誤差最大化，但保持在計(jì)算舍入限制內(nèi)，則線性近似的有效范圍增加到大于±30°。

圖6：計(jì)算角度不同比例因子的誤差。

雙軸傾斜計(jì)算

單軸傾斜檢測(cè)的一個(gè)限制是需要高分辨率ADC或數(shù)字輸出來(lái)實(shí)現(xiàn)大范圍的有效傾角，如圖所示圖3和圖4.另一個(gè)限制是單軸測(cè)量不能提供360°測(cè)量，因?yàn)樵趦A斜度N°時(shí)產(chǎn)生的加速度與在180° - N°傾角下產(chǎn)生的加速度相同。 》對(duì)于某些應(yīng)用，這是可以接受的，但對(duì)于需要更高分辨率的應(yīng)用，或能夠在完整的360°弧中區(qū)分傾斜角度的能力，第二軸（如圖7所示）或第二傳感器是必要的。如果使用第二個(gè)傳感器，它應(yīng)該定向?yàn)榈谝粋€(gè)傳感器的傳感軸。

圖7：用于傾斜傳感的兩個(gè)軸。

包括三個(gè)主要好處確定傾斜角度的第二軸。以下各節(jié)介紹了這些優(yōu)點(diǎn)。

恒定靈敏度

使用第二軸的第一個(gè)主要好處是軸的正交性。如在單軸解決方案中，由x軸檢測(cè)的加速度與傾斜角度的正弦成比例。由于正交性，y軸加速度與傾斜角的余弦成比例（見(jiàn)圖8）。隨著一個(gè)軸的增量靈敏度降低，例如當(dāng)該軸上的加速度接近+1 g或-1 g時(shí)，另一個(gè)軸的增量靈敏度會(huì)增加。

圖8：雙軸傾斜傳感的輸出加速度與傾斜角度的關(guān)系

將測(cè)量的加速度轉(zhuǎn)換為傾斜角度的一種方法是計(jì)算x軸的反正弦和反向y軸的余弦，類(lèi)似于單軸解。但是，更簡(jiǎn)單，更有效的方法是使用兩個(gè)值的比率，結(jié)果如下：

其中傾角， θ，以弧度為單位。

與單軸示例不同，使用兩個(gè)軸的比率來(lái)確定傾斜角度使得確定增量靈敏度非常困難。相反，在給定所需的傾斜分辨率的情況下，確定最小必要加速度計(jì)分辨率更有用。鑒于一個(gè)軸的增量靈敏度隨著另一個(gè)軸的減小而增加，最終結(jié)果是大致恒定的有效增量靈敏度。這意味著選擇具有足夠分辨率的加速度計(jì)以在一個(gè)角度上實(shí)現(xiàn)所需的傾斜步長(zhǎng)對(duì)于所有角度都是足夠的。為了確定最小必要的加速度計(jì)分辨率，檢查等式6以確定分辨率限制的位置。因?yàn)槊總€(gè)軸的輸出依賴(lài)于傾斜角的正弦或余弦，并且每個(gè)函數(shù)的傾斜角度相同，所以最小可分辨角度對(duì)應(yīng)于最小可分辨加速度。

如圖3和圖3所示。如圖4所示，正弦函數(shù)在0°附近具有最大的變化率，并且余弦函數(shù)在此時(shí)具有最小的變化率。因此，在y軸上的加速度變化之前識(shí)別出由于傾斜變化引起的x軸加速度的變化。因此，系統(tǒng)在0°附近的分辨率主要取決于x軸的分辨率。為了檢測(cè)P°的傾斜度變化，加速度計(jì)必須能夠檢測(cè)到近似的變化：

圖9可用于確定最小必要加速度計(jì)分辨率 - 或最大加速度計(jì)量表factor - 對(duì)于所需的傾斜步長(zhǎng)。請(qǐng)注意，增加的加速度計(jì)分辨率與加速度計(jì)比例因子的減少以及檢測(cè)輸出加速度的較小變化的能力相對(duì)應(yīng)。因此，當(dāng)選擇具有適當(dāng)分辨率的加速度計(jì)時(shí)，比例因子應(yīng)小于圖9中所示的預(yù)期傾斜步長(zhǎng)的限制。

圖9：所需角度的最小加速度計(jì)分辨率傾斜分辨率的降低。

減少與重力平面對(duì)齊的依賴(lài)性 - 使用至少兩個(gè)軸的第二個(gè)主要好處是，與單軸解決方案不同，在x軸以外的任何軸上傾斜都會(huì)導(dǎo)致即使存在第三軸的傾斜，使用第二軸也可以測(cè)量精確的值。這是因?yàn)橛行У脑隽快`敏度與感興趣的軸上的重力的和 - 平方（RSS）值成正比。

當(dāng)重力完全包含在xy平面中時(shí)，檢測(cè)到的加速度的RSS值軸理想地等于1克。如果在xz或yz平面中存在傾斜，則由于重力引起的總加速度減小，這也降低了有效的增量靈敏度。反過(guò)來(lái)，這增加了給定加速度計(jì)分辨率的傾斜步長(zhǎng)，但仍提供精確的測(cè)量。從傾斜度計(jì)算得到的角度對(duì)應(yīng)于xy平面中的旋轉(zhuǎn)。

如果系統(tǒng)足夠傾斜，使得在xy平面中由于重力引起的加速度非常小，則傾斜角度步長(zhǎng)將為太粗糙而無(wú)用。因此，建議限制xz或yz平面的傾斜完整的360°傾斜感應(yīng)

使用第二個(gè)軸的第三個(gè)主要好處是能夠區(qū)分每個(gè)象限并測(cè)量整個(gè)360°弧的角度。如圖10所示，每個(gè)象限都有一個(gè)與x軸和y軸加速度相關(guān)的不同符號(hào)組合。

圖10：象限檢測(cè)的傾斜角度和加速度符號(hào)。 》如果操作數(shù)AX，OUT/AY，OUT為正，則反正切函數(shù)在象限I中返回一個(gè)值;如果操作數(shù)為負(fù)，則反正切函數(shù)返回象限IV中的值。因?yàn)橄笙轎I中的操作數(shù)是負(fù)數(shù)，所以當(dāng)角度在該象限中時(shí)，應(yīng)該在計(jì)算結(jié)果中添加180°的值。

因?yàn)橄笙轎II中的操作數(shù)是正的，所以180°的值應(yīng)該是當(dāng)角度在該象限中時(shí)，從計(jì)算結(jié)果中減去。計(jì)算出的角度的正確象限可以通過(guò)檢查每個(gè)軸上測(cè)量的加速度的符號(hào)來(lái)確定。

三軸傾斜計(jì)算

當(dāng)引入第三個(gè)軸時(shí)，傳感器的方向可以在完整的球體。矩形（x，y，z）到球面（ρ，θ，φ）轉(zhuǎn)換的經(jīng)典方法可用于將xy平面中的傾斜角度θ與來(lái)自重力矢量的傾斜角度相關(guān)聯(lián)，φ ，對(duì)于每個(gè)軸的測(cè)量加速度，如下：

假設(shè)唯一測(cè)量的加速度是由重力引起的，分母是等式10中的操作數(shù)可以用常數(shù)替換，理想情況下為1，因?yàn)楫?dāng)唯一的加速度是重力時(shí)，所有軸的RSS值是恒定的。角度如圖11所示，其中圖11c僅顯示xy平面中的θ，圖11d顯示φ為z軸和重力矢量之間的角度。

圖11：球面坐標(biāo)系的角度。由于三軸方程的方程與單軸和雙軸方程的方程式之間的相似性，三軸解的分析與單個(gè)方法相同。 - 和雙軸方法相結(jié)合。根據(jù)兩個(gè)正交軸的比率測(cè)量θ的好處，以及所需的傾斜分辨率需要最小的加速度計(jì)分辨率，如公式8所述。

φ的測(cè)量值對(duì)應(yīng)于單軸解決方案的傾角測(cè)量值以及用于確定在期望范圍內(nèi)的特定傾斜角分辨率所需的最小加速度計(jì)分辨率的方法。不同之處在于使用反余弦函數(shù)確定φ導(dǎo)致最大增量靈敏度，當(dāng)φ為90°且最小增量靈敏度為0°和180°時(shí)。

類(lèi)似于圖3和圖4的曲線可以是通過(guò)在等式2中用余弦代替正弦來(lái)生成。重要的是要注意，盡管θ的范圍是-180°到+ 180°，但φ的范圍僅為0°到180°。 φ的負(fù)角度會(huì)導(dǎo)致θ的角度變?yōu)樨?fù)值。

使用三個(gè)軸進(jìn)行傾斜感應(yīng)的另一種方法是從參考位置單獨(dú)確定加速度計(jì)的每個(gè)軸的角度。參考位置被視為設(shè)備的典型方向，其中x軸和y軸在地平線的平面中（0g場(chǎng)）和z軸與地平線（1g場(chǎng)）正交。這在圖12中示出，其中θ是加速度計(jì)的地平線和x軸之間的角度，ψ是加速度計(jì)的地平線和y軸之間的角度，并且φ是重力矢量和z軸。當(dāng)在x軸和y軸上的初始位置0 g和z軸上的1 g時(shí)，所有計(jì)算的角度都將是0°。

圖12：獨(dú)立傾斜感應(yīng)的角度。

基本三角法可用于顯示傾角可以使用公式11，公式12和公式13計(jì)算。

公式13中操作數(shù)的明顯反轉(zhuǎn)是由于初始位置是1 g字段。如果希望地平線作為z軸的參考，則可以反轉(zhuǎn)操作數(shù)。正角度意味著加速度計(jì)的相應(yīng)正軸指向地平線以上，而負(fù)角度意味著軸指向地平線以下。因?yàn)槭褂梅凑泻瘮?shù)和加速度比率，所以提到的好處在雙軸示例中應(yīng)用，即有效增量靈敏度是恒定的，并且可以精確測(cè)量單位球體周?chē)悬c(diǎn)的角度。

校準(zhǔn)偏移和靈敏度不匹配誤差

應(yīng)用筆記是在假設(shè)使用理想的加速度計(jì)的情況下完成的。這對(duì)應(yīng)于沒(méi)有0 g偏移且具有完美靈敏度的設(shè)備（對(duì)于模擬傳感器表示為mV/g，對(duì)于數(shù)字傳感器表示為L(zhǎng)SB/g）。盡管傳感器經(jīng)過(guò)修整，但這些設(shè)備本質(zhì)上是機(jī)械的，這意味著系統(tǒng)組裝后零件上的任何靜態(tài)應(yīng)力都可能影響偏移和靈敏度。這與工廠校準(zhǔn)的限制相結(jié)合，可能導(dǎo)致超出應(yīng)用允許極限的誤差。

偏移誤差的影響

為了證明誤差有多大，首先想象一下完美的雙軸解決方案靈敏度，但在x軸上偏移50毫克。在0°時(shí)，x軸讀數(shù)為50mg，y軸讀數(shù)為1g。得到的計(jì)算角度為2.9°，導(dǎo)致誤差為2.9°。在±180°時(shí)，x軸將報(bào)告50 mg，而y軸將報(bào)告-1 g。這將導(dǎo)致計(jì)算出的角度和-2.9°的誤差。對(duì)于該示例，計(jì)算出的角度與實(shí)際角度之間的誤差如圖13所示。由于偏移引起的誤差不僅可以與系統(tǒng)的期望精度相比較大，而且可以變化，因此難以簡(jiǎn)單地校準(zhǔn)誤差角。當(dāng)包含多個(gè)軸的偏移時(shí)，這變得更加復(fù)雜。

圖13：由加速度計(jì)偏移引起的計(jì)算角度誤差。

靈敏度不匹配誤差的影響

主要誤差分量由于雙軸傾斜感應(yīng)應(yīng)用中的加速度計(jì)靈敏度是指感興趣的軸之間存在靈敏度差異（與單軸解決方案相反，其中實(shí)際靈敏度與預(yù)期靈敏度之間的任何偏差導(dǎo)致誤差）。因?yàn)槭褂昧藊軸和y軸的比率，所以如果靈敏度相同，則大部分誤差被消除。

作為加速度計(jì)靈敏度不匹配的影響的示例，假設(shè)使用雙軸解決方案具有完美的偏移調(diào)整，在y軸上具有完美的靈敏度，在x軸上具有+ 5％的靈敏度。這意味著在1g場(chǎng)中，y軸報(bào)告1g，而x軸報(bào)告1.05g。圖14顯示了由于此靈敏度不匹配導(dǎo)致的計(jì)算角度誤差。與偏移誤差類(lèi)似，由于加速度計(jì)靈敏度不匹配引起的誤差在整個(gè)旋轉(zhuǎn)范圍內(nèi)變化，使得在計(jì)算傾斜角度之后難以補(bǔ)償誤差。通過(guò)改變y軸靈敏度進(jìn)一步減少不匹配會(huì)導(dǎo)致更大的誤差

圖14：由于加速度計(jì)靈敏度不匹配導(dǎo)致的計(jì)算角度誤差。

基本校準(zhǔn)技術(shù)

當(dāng)組合由于偏移和靈敏度不匹配引起的誤差時(shí)，誤差會(huì)變得非常大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出可接受范圍傾斜傳感應(yīng)用中的限制。為減少此誤差，應(yīng)校準(zhǔn)偏移和靈敏度，并使用校準(zhǔn)的輸出加速度計(jì)算傾斜角度。當(dāng)包括偏移和靈敏度的影響時(shí)，加速度計(jì)輸出如下：

其中：

AOFF是偏移誤差，以g為單位。

增益是增益加速度計(jì)，理想情況下值為1.

AACTUAL是加速度計(jì)上的實(shí)際加速度和所需的值，以g表示。

簡(jiǎn)單的校準(zhǔn)方法是假設(shè)增益為1并測(cè)量偏移量。然后，該校準(zhǔn)將系統(tǒng)的精度限制為未校準(zhǔn)的靈敏度誤差。可以通過(guò)將感興趣的軸放入0g場(chǎng)并測(cè)量輸出來(lái)完成簡(jiǎn)單的校準(zhǔn)方法，輸出將等于偏移。然后，在處理信號(hào)之前，應(yīng)從加速度計(jì)的輸出中減去該值。這通常被稱(chēng)為不轉(zhuǎn)彎或單點(diǎn)校準(zhǔn)，因?yàn)樵O(shè)備的典型方向?qū)軸和y軸置于0 g場(chǎng)中。如果使用三軸設(shè)備，則z軸應(yīng)包含至少一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)或第二個(gè)點(diǎn)。

更準(zhǔn)確的校準(zhǔn)方法是每個(gè)感興趣的軸使用兩個(gè)點(diǎn)（三個(gè)點(diǎn)最多六個(gè)點(diǎn)） - 軸設(shè)計(jì)）。當(dāng)軸放入+1 g和-1 g字段時(shí)，測(cè)量的輸出如下：

此類(lèi)校準(zhǔn)還有助于最小化橫軸靈敏度效應(yīng)，因?yàn)楫?dāng)對(duì)感興趣的軸進(jìn)行測(cè)量時(shí)，正交軸在0g場(chǎng)中。首先從加速度計(jì)測(cè)量值中減去偏移量，然后將結(jié)果除以增益，即可使用這些值。

其中AOUT和AOFF以g為單位。

AOFF的計(jì)算等式15至等式19中的增益假設(shè)加速度值A(chǔ) + 1g和A-1g以g為單位。如果使用以mg為單位的加速度，則公式17中AOFF的計(jì)算保持不變，但公式18中的增益計(jì)算應(yīng)除以1，000，以說(shuō)明單位的變化。