聊一聊數(shù)字信號(hào)處理中DFT、DTFT和DFS的關(guān)系

大家好，又到了每日學(xué)習(xí)的時(shí)間了，今天咱們來聊一聊數(shù)字信號(hào)處理中DFT、DTFT和DFS的關(guān)系，咱們通過幾幅圖來對(duì)比，探討一下哦。

很多同學(xué)學(xué)習(xí)了數(shù)字信號(hào)處理之后，被里面的幾個(gè)名詞搞的暈頭轉(zhuǎn)向，比如DFT，DTFT，DFS，F(xiàn)FT，F(xiàn)T,FS等，F(xiàn)T和FS屬于信號(hào)與系統(tǒng)課程的內(nèi)容，是對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的處理，這里就不過多討論，只解釋一下前四者的關(guān)系。

首先說明一下，我不是數(shù)字信號(hào)處理專家，因此這里只站在學(xué)習(xí)者的角度以最淺顯易懂的性質(zhì)來解釋問題，而不涉及到任何公式運(yùn)算。

學(xué)過卷積，我們都知道有時(shí)域卷積定理和頻域卷積定理，在這里只需要記住兩點(diǎn)：

1.在一個(gè)域的相乘等于另一個(gè)域的卷積；

2.與脈沖函數(shù)的卷積，在每個(gè)脈沖的位置上將產(chǎn)生一個(gè)波形的鏡像。

下面，就用這兩條性質(zhì)來說明DFT，DTFT，DFS，F(xiàn)FT之間的聯(lián)系：

先看圖片：

首先來說圖（1）和圖（2），對(duì)于一個(gè)模擬信號(hào)，如圖(1)所示，要分析它的頻率成分，必須變換到頻域，這是通過傅立葉變換即FT(Fourier Transform)得到的，于是有了模擬信號(hào)的頻譜，如圖(2)。

注意1：時(shí)域和頻域都是連續(xù)的！

但是，計(jì)算機(jī)只能處理數(shù)字信號(hào)，首先需要將原模擬信號(hào)在時(shí)域離散化，即在時(shí)域?qū)ζ溥M(jìn)行采樣，采樣脈沖序列如圖(3)所示，該采樣序列的頻譜如圖(4)，可見它的頻譜也是一系列的脈沖。

所謂時(shí)域采樣，就是在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行相乘，(1)×(3)后可以得到離散時(shí)間信號(hào)x[n]，如圖(5)所示；由前面的性質(zhì)1，時(shí)域的相乘相當(dāng)于頻域的卷積。

那么，圖(2)與圖(4)進(jìn)行卷積，根據(jù)前面的性質(zhì)2知，會(huì)在各個(gè)脈沖點(diǎn)處出現(xiàn)鏡像，于是得到圖(6)，它就是圖(5)所示離散時(shí)間信號(hào)x[n]的DTFT(Discrete time Fourier Transform)，即離散時(shí)間傅立葉變換，這里強(qiáng)調(diào)的是“離散時(shí)間”四個(gè)字。

注意2：此時(shí)時(shí)域是離散的，而頻域依然是連續(xù)的。

經(jīng)過上面兩個(gè)步驟，我們得到的信號(hào)依然不能被計(jì)算機(jī)處理，因?yàn)轭l域既連續(xù)，又周期。

我們自然就想到，既然時(shí)域可以采樣，為什么頻域不能采樣呢？這樣不就時(shí)域與頻域都離散化了嗎？

沒錯(cuò)，接下來對(duì)頻域在進(jìn)行采樣，頻域采樣信號(hào)的頻譜如圖(8)所示，它的時(shí)域波形如圖(7)?，F(xiàn)在我們進(jìn)行頻域采樣，即頻域相乘，圖(6)×圖(8)得到圖(10)。

那么根據(jù)性質(zhì)1，這次是頻域相乘，時(shí)域卷積了吧，圖(5)和圖(7)卷積得到圖(9)，不出所料的，鏡像會(huì)呈周期性出現(xiàn)在各個(gè)脈沖點(diǎn)處。我們?nèi)D（10）周期序列的主值區(qū)間，并記為X(k)，它就是序列x[n]的DFT(Discrete Fourier Transform)，即離散傅立葉變換。

可見，DFT只是為了計(jì)算機(jī)處理方便，在頻率域?qū)TFT進(jìn)行的采樣并截取主值而已。有人可能疑惑，對(duì)圖(10)進(jìn)行IDFT，回到時(shí)域即圖(9)，它與原離散信號(hào)圖(5)所示的x[n]不同呀，它是x[n]的周期性延拓！

沒錯(cuò)，因此你去查找一個(gè)IDFT的定義式，是不是對(duì)n的取值區(qū)間進(jìn)行限制了呢？這一限制的含義就是，取該周期延拓序列的主值區(qū)間，即可還原x[n]！FFT呢？FFT的提出完全是為了快速計(jì)算DFT而已，它的本質(zhì)就是DFT！我們常用的信號(hào)處理軟件MATLAB或者DSP軟件包中，包含的算法都是FFT而非DFT。DFS,是針對(duì)時(shí)域周期信號(hào)提出的，如果對(duì)圖(9）所示周期延拓信號(hào)進(jìn)行DFS，就會(huì)得到圖(10)，只要截取其主值區(qū)間，則與DFT是完全的一一對(duì)應(yīng)的精確關(guān)系。

這點(diǎn)對(duì)照DFS和DFT的定義式也可以輕易的看出。因此DFS與DFT的本質(zhì)是一樣的，只不過描述的方法不同而已。不知道經(jīng)過上面的解釋，您是否明白各種T的關(guān)系了呢？如果您不是算法設(shè)計(jì)者，其實(shí)只要懂得如何使用FFT分析頻譜即可，博主近期會(huì)更新一篇文章，專門介紹如何利用FFT分析簡單信號(hào)的頻譜。其實(shí)個(gè)人認(rèn)為，糾結(jié)了這么多，就是為了打破現(xiàn)實(shí)模擬世界與計(jì)算機(jī)數(shù)字世界的界限呀！今天就聊到這里，各位，加油。