基于CORDIC的高速Sobel算法實現(xiàn)

圖像邊緣檢測是數(shù)字圖像處理領(lǐng)域中的一項關(guān)鍵技術(shù)[1-3]，廣泛運用在軍事、農(nóng)業(yè)、工業(yè)、醫(yī)學(xué)、航天等領(lǐng)域[4-6]。隨著電子信息技術(shù)的快速發(fā)展，各大相關(guān)領(lǐng)域?qū)D像邊緣檢測技術(shù)提出更高的要求，即：在保證精度的前提下，即時處理大規(guī)模數(shù)據(jù)。

文獻[6]、[7]使用硬件并行技術(shù)和流水線技術(shù),大幅增加了數(shù)據(jù)的吞吐量，但在計算Sobel的梯度值時速度較慢,限制了系統(tǒng)的整體處理速度[6-7]。文獻[8]在文獻[6]、[7]的基礎(chǔ)上，解決了Sobel梯度值計算速度較慢的問題，使系統(tǒng)的整體處理速度提升[6-8]，但該方法犧牲了精度，導(dǎo)致邊緣檢測的效果較差。

針對上述問題，本文采用優(yōu)化的CORDIC算法，將Sobel梯度計算公式轉(zhuǎn)換成數(shù)據(jù)的移位和相加的流水線操作，在保證運算精確度的前提下，大幅提高整體運算速度。

1 Sobel邊緣檢測算法

Sobel算子是一階導(dǎo)數(shù)的邊緣檢測算子，具有2組3×3的矩陣。圖像中的像素點分別和這兩個矩陣做卷積后，即可得到圖像的水平、垂直梯度。根據(jù)式(1)和式(2)得到圖像梯度值后，將該值和預(yù)設(shè)的閾值進行比較，即可判斷該點是不是圖像的邊緣部分。

圖1(a)為待處理的圖像數(shù)據(jù)，圖1(b)、圖1(c)為用于計算x和y方向梯度值的卷積表。

水平梯度Px、垂直梯度Py的計算公式如式(1)所示：

式(1)可以利用兩個行緩沖器(Line_buffer)和流水線型的乘加器完成。如圖2所示，當(dāng)預(yù)存滿兩個行緩沖器后，再等2個時鐘，系統(tǒng)即可實時地得到待處理的圖像數(shù)據(jù)。

如圖3所示，得到待處理的圖像數(shù)據(jù)后，P02和P22直接進行加法運算，P12通過移位操作實現(xiàn)乘2效果。為降低D觸發(fā)器(Reg)之間的邏輯時延，增加系統(tǒng)的工作頻率，本文將P02和P22相加的結(jié)果、P12移位的結(jié)果寄存了一拍后，再進行加法運算。依據(jù)上述原理，對P02、P20和P10進行了類似操作。最后將兩組數(shù)據(jù)做減法，再取一個絕對值即可得到x方向的Sobel計算結(jié)果。y方向的Sobel計算方法如圖4所示，與圖3的原理類似。

最終梯度值可以根據(jù)梯度計算公式算出：

依據(jù)式(2)，即可得到最終梯度的模值|G|，將梯度的模值和閾值進行比較，就可以判斷出該點是否為邊緣點。關(guān)于梯度模值計算公式，文獻[6]和文獻[7]選擇調(diào)用IP核實現(xiàn)平方根運算，該方法在一定程度上保證了計算精度，但是運算速度受限。文獻[8]為解決這個問題，選擇將式(2)等效為|G|=|Px|+|Py|，較好地提高了運算速度，但是運算精度大幅度降低。

為解決上述問題，本文選擇用優(yōu)化的流水線型的CORDIC算法，實現(xiàn)式(2)的運算。該方法既保證了精度，又提高了運算速度。

2 CORDIC算法原理

2.1 圓周系統(tǒng)下的CORDIC算法

為在保證運算精度的前提下，提高Sobel 算法的即時處理速度和數(shù)據(jù)吞吐量，本文選擇使用CORDIC算法對其進行優(yōu)化。CORDIC是將復(fù)雜的計算轉(zhuǎn)換成移位和加法的迭代操作。CORDIC算法有旋轉(zhuǎn)模式和向量模式。在不同的坐標(biāo)系下使用，可以實現(xiàn)不同的功能。因需要實現(xiàn)式(2)，本文選用圓周坐標(biāo)系下的向量模式。

2.2 向量模式

向量模式下通過一系列的角度逼近，可以進行反正切和平方根的計算。旋轉(zhuǎn)模式的完整迭代公式如式(3)所示。其中xi為當(dāng)前的橫坐標(biāo)值，yi為當(dāng)前的縱坐標(biāo)值，zi為當(dāng)前的角度累加值。其中yi控制著判決算子δi的值，yi的值為正時，δi為負；yi的值為負時，δi為正。

3 向量模式下CORDIC算法的優(yōu)化

為提高系統(tǒng)的總體性能，本文對CORDIC算法進行了一定優(yōu)化，最終提高了CORDIC算法的精度和速度。

3.1 覆蓋角度的擴展

如式(6)所示，CORDIC算法的旋轉(zhuǎn)角度有固定的規(guī)律，角度為2-i的反正切。當(dāng)?shù)螖?shù)趨于無窮時，所有角度值之和約等于99.827°。由此可知，覆蓋角的度數(shù)為[-99.827°，99.827°]，不能覆蓋圓周上的所有角度。

考慮到只需求解式(2)，輸入數(shù)據(jù)的符號變化不影響最終計算結(jié)果。因此在式(1)處，直接求取了|Px|、|Py|，通過該操作將所有數(shù)據(jù)計算限制在了第一象限。為減少迭代次數(shù)，還可將輸入數(shù)據(jù)進行進一步的處理。將|Px|和|Py|進行比較，如果|Py|大于|Px|，則將|Py|和|Px|的值互換；如果|Px|的值大于|Py|，則|Py|和|Px|的值保持不變。預(yù)處理后，數(shù)據(jù)的象限限制在[0°，45°]。因此可以減少一級迭代，收斂域也因此變?yōu)閇-57.827°，54.827°]。經(jīng)過上述處理后，式(5)變化成式(7)。

3.2 數(shù)據(jù)位擴展

CORDIC算法的迭代次數(shù)和運算數(shù)據(jù)的位寬對運算結(jié)果的精度有很大的影響。YU Y H在文獻[9]中提出了解決量化誤差(OQE)的方法。

YU Y H指出OQE由近似誤差和舍入誤差組成。近似誤差是由有限個確定旋轉(zhuǎn)角度量化CORDIC旋轉(zhuǎn)角度帶來的量化誤差，由最大向量模值和迭代次數(shù)決定。舍入誤差是因為計算時數(shù)據(jù)位不夠帶來的誤差，由數(shù)據(jù)的位寬決定。

增加數(shù)據(jù)位寬和迭代的次數(shù)都可以提高運算結(jié)果的精度。但是，當(dāng)?shù)螖?shù)達到一定值后，迭代次數(shù)的增加對運算精度的影響變得很小。而增加運算數(shù)據(jù)的位寬將帶來較好的效果，大幅度降低舍入誤差。每增加一位數(shù)據(jù)位寬，舍入誤差將變小1/2[9]。本文在用CORDIC算法實現(xiàn)式(2)時，在保證較大的迭代次數(shù)的前提下，將運算數(shù)據(jù)位擴展3位，大幅度降低了舍入誤差。

在進行數(shù)據(jù)迭代運算時，考慮到采用浮點數(shù)可以降低工作頻率，因此采用了定點數(shù)。如圖5所示，定點數(shù)由符號位(S)、整數(shù)位(I)、小數(shù)位(D)構(gòu)成。

3.3 優(yōu)化后CORDIC算法的實現(xiàn)

圓周模式下的向量模式可以根據(jù)輸入的|Px|和|Py|，直接求解出最終梯度的模值。梯度模值運算模塊的硬件結(jié)構(gòu)圖如圖6所示，由預(yù)處理、CORDIC迭代流水線、后級處理3部分組成。預(yù)處理部分中，將判斷|Px|和|Py|的值是否需要互換。因為迭代次數(shù)已經(jīng)提前確定，縮放因子已知，在預(yù)處理階段的數(shù)值修正部分可以提前對最終結(jié)果進行補償。補償后，將數(shù)據(jù)位數(shù)從24位擴展成27位。擴展后，舍入誤差將降低為之前的1/8，提高了運算的精確度。

預(yù)處理后進入CORDIC迭代部分，迭代部分采用15級的流水線模式。根據(jù)式(3)可知，在求解式(2)時只需要知道|Px|和|Py|的值，因此可舍棄zi的計算，以此節(jié)約一些資源。如圖7所示，迭代部分的每行存在兩個移位寄存器和兩個加/減法器。符號控制信號為Sign，由yi決定。通過式(3)可知，當(dāng)yi為正時，xi處選用加法器，yi處選用減法器；當(dāng)yi為負時，xi處選用減法器，yi處選用加法器。

數(shù)據(jù)通過迭代部分后，進入后級處理部分。后級處理部分將信號緩存一拍后，進行截位處理，然后就可得到x15[26:3]的值，即最終梯度的模值。此外，該設(shè)計采用了流水線結(jié)構(gòu)，提高了吞吐量和最大工作頻率。

4 系統(tǒng)仿真及性能分析

本設(shè)計在ISE14.7軟件下，用Verilog HDL語言進行了實現(xiàn)。此外，使用MATLAB、Modelsim SE 10.1c進行了本設(shè)計的測試。

本文在Xilinx ISE編譯器中編譯好代碼后，通過Modelsim進行了軟件仿真。圖8為本設(shè)計關(guān)鍵路徑的仿真：CORDIC迭代運算的仿真。修正后的|Px|和|Py|采用定點數(shù)的方法進行表示，總計24位，0～12位為小數(shù)位，13～22位為整數(shù)位，23位為符號位。|Px[26:0]|和|Py[26:0]|為|Px|、|Py|擴展3位后的值，分別用x、y進行表示。Kn為最終梯度模值的計算結(jié)果。為了更直觀地表示，輸入值、中間值和輸出結(jié)果均用有符號十進制數(shù)進行表示。根據(jù)仿真結(jié)果可知，采用優(yōu)化后的CORDIC進行式(2)的運算，精確度約為10-4，遠大于文獻[8]的精確度。

仿真后，將文獻[8]的算法和本文的算法進行了對比測試，結(jié)果如圖9所示。通過圖9(b)可以觀察到，使用文獻[8]的加速算法后，因為精確度較低的緣故，不能較好地檢測到邊緣，人像左下方、右上方處的頭發(fā)邊緣和背景混雜在了一起，人像面部左下方、右上方的邊緣檢測效果較差。使用本文的改進算法后，如圖9(c)所示，在保證運算速度的前提下，較好地識別出了圖像的邊緣，較好地檢測出了頭發(fā)和面部的邊緣，與圖9(d)使用MATLAB實現(xiàn)Sobel算法的效果近似。

本文也嘗試使用Xilinx ISE自帶的平方根IP核實現(xiàn)關(guān)鍵路徑的計算。選用Spartan6 XC6SLX16 2CSG324C芯片在Xilinx ISE14.7軟件平臺下，對平方根IP核進行編譯綜合。編譯綜合后，得到ISE計算出的最高工作頻率信息。為測試本文使用算法的性能，在同樣的條件下，對本文的算法也進行了編譯，得到了最高工作頻率信息。最終結(jié)果如表1所示。采用IP核進行關(guān)鍵路徑的計算，最高工作頻率為114.745 MHz。采用優(yōu)化后的CORDIC算法進行關(guān)鍵路徑的計算，最高頻率為187.652 MHz。相比使用IP核的方法，采用優(yōu)化后的CORDIC算法實現(xiàn)關(guān)鍵路徑的計算可以提速63.53％。

5 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)Sobel加速算法的基礎(chǔ)上，在FPGA平臺上使用優(yōu)化的CORDIC算法實現(xiàn)了Sobel算法加速。通過圖9可知，該方法的邊緣檢測效果良好，較好地檢測出了圖像的邊緣。通過表1可知，該方法與調(diào)用IP核相比提高了百分之63.53％的工作頻率。實驗結(jié)果表明，本設(shè)計進一步提高了系統(tǒng)的運算速度，適合在對速度有較高要求的系統(tǒng)中使用。