對(duì)五種改善EMD端點(diǎn)效應(yīng)的方法進(jìn)行分析

引言

1998 年，Huang 等人提出了一種新的信號(hào)處理方法：經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法（Empirical Mode Decomposition,EMD）。它用不同特征尺度的數(shù)據(jù)序列本征模函數(shù)（Intrinsic Mode Function,IMF）分量來逐級(jí)分解信號(hào)。

該方法可以對(duì)一個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)化處理。

在EMD分解中，每個(gè)IMF需要多次“篩選”過程，而每一次篩選過程，需要根據(jù)上、下包絡(luò)計(jì)算出信號(hào)的局部平均值。上（下）包絡(luò)是由信號(hào)的局部極大（?。┲低ㄟ^3次樣條插值得到的。但信號(hào)的端點(diǎn)不可能同時(shí)處于極大值或極小值，因此上、下包絡(luò)在數(shù)據(jù)序列兩端會(huì)發(fā)散，且這種發(fā)散會(huì)隨著運(yùn)算的進(jìn)行而逐漸向內(nèi)，從而使得整個(gè)數(shù)據(jù)序列受到影響，這就是所謂的EMD 方法的端點(diǎn)效應(yīng)。

國(guó)內(nèi)外很多研究者對(duì)改進(jìn)EMD端點(diǎn)效應(yīng)問題進(jìn)行了研究。目前，常用的EMD 端點(diǎn)效應(yīng)處理方法有鏡像法、極值延拓法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)、多項(xiàng)式外延方法、平行延拓法、邊界局部特征尺度延拓法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓算法的運(yùn)算速度慢，在工程應(yīng)用中實(shí)時(shí)性差。所以本文只對(duì)鏡像法、極值延拓法、多項(xiàng)式法、平行延拓法和邊界局部特征尺度延拓法進(jìn)行比較，從而得到對(duì)工程應(yīng)用有指導(dǎo)意義的結(jié)果。

1 EMD方法

EMD方法中假設(shè)：

（1）任何信號(hào)都可以分解為若干個(gè)IMF分量；

（2）各個(gè)IMF分量可以是線性的或非線性的，局部的零點(diǎn)數(shù)和極值點(diǎn)數(shù)相同，且上下包絡(luò)關(guān)于時(shí)間軸局部對(duì)稱；

（3）一個(gè)信號(hào)可包含若干個(gè)IMF分量。

每個(gè)IMF分量的計(jì)算步驟為：

首先，計(jì)算原信號(hào)x（t） 的極值點(diǎn)，然后用三次樣條函數(shù)擬合出極大（小）值包絡(luò)線e+（t）（ e-（t））。原信號(hào)的均值包絡(luò)m1（t） 是上下包絡(luò)線的平均值：

若h11（t） 不滿足IMF 定義的條件，則它不是平穩(wěn)信號(hào)，重復(fù)進(jìn)行上述過程k 次（ k 一般小于10），直到找到滿足IMF的定義的h1k （t） ,則x（t） 的一階IMF分量為：

將r1（t） 作為原始數(shù)據(jù)，再得到第2個(gè)IMF分量c2 （t） ,依此類推，得到n 個(gè)IMF 分量，直到rn （t） 是單調(diào)函數(shù)或常量時(shí)，EMD分解過程停止。

最后，x（t） 經(jīng)EMD分解后得到：

式中rn （t） 為趨勢(shì)項(xiàng)，代表信號(hào)的平均趨勢(shì)或均值。

2 改善端點(diǎn)效應(yīng)的幾種方法

本文在Matlab下實(shí)現(xiàn)了5種常用的改善EMD 端點(diǎn)效應(yīng)的方法，并用于比較測(cè)試，它們分別為：

（1）端點(diǎn)鏡像方法。以信號(hào)兩端的邊界為對(duì)稱，把信號(hào)向外映射，得到原信號(hào)的鏡像，形成一個(gè)閉合的曲線，從而得到完整的包絡(luò)曲線。

（2）極值延拓法。以端點(diǎn)的一個(gè)特征波為依據(jù)，在兩端各延拓兩個(gè)極大值和極小值。

（3）多項(xiàng)式擬合法。對(duì)原信號(hào)的極值點(diǎn)序列，利用端點(diǎn)處3 個(gè)極值點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合計(jì)算出的值作為端點(diǎn)處極值點(diǎn)的近似取值，以確定邊界極值點(diǎn)的位置。

（4）平行延拓法。利用端點(diǎn)附近的兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)（一個(gè)極大值，一個(gè)極小值）處斜率相等這一特性，人為在兩端定義出兩個(gè)極值點(diǎn)。

（5）邊界局部特征尺度延拓法。把調(diào)幅趨勢(shì)和端點(diǎn)處局部極值點(diǎn)的時(shí)間間隔相結(jié)合，在信號(hào)兩端分別添加一對(duì)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)。

3 端點(diǎn)效應(yīng)評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文采用3個(gè)指標(biāo)來評(píng)價(jià)多種端點(diǎn)效應(yīng)處理方法的效果：

（1）計(jì)算EMD 分解后各分量信號(hào)與對(duì)應(yīng)的原信號(hào)之間的相似系數(shù)ρ 信號(hào)的包絡(luò)發(fā)生形狀畸變，引起端點(diǎn)效應(yīng)，從而使各個(gè)分量的分解不準(zhǔn)確?？梢员容^EMD分解后的各IMF分量和原信號(hào)分量之間的相似度，來評(píng)價(jià)各抑制端點(diǎn)效應(yīng)算法的抑制效果。

式中：cov-（ ） 表示協(xié)方差；σ-（ ） 表示方差；IMFi 表示信號(hào)經(jīng)過EMD分解后的第i 個(gè)模態(tài)分量；xi 為相對(duì)應(yīng)的原信號(hào)組成分量。ρ 值越大，說明端點(diǎn)效應(yīng)的抑制越好。

（2）計(jì)算EMD 分解后得到的各IMF 分量和原信號(hào)相應(yīng)的分量之間的平均相對(duì)誤差[9].

式中：N 表示信號(hào)的總個(gè)數(shù)；xi（k） 表示原信號(hào)第i 個(gè)分量；IMFi（k） 表示EMD 分解后得到的相應(yīng)分量。

error_IMFi 越小，說明端點(diǎn)效應(yīng)的抑制越好。

（3）運(yùn)算時(shí)間。保證算法抑制端點(diǎn)效應(yīng)效果的前提下，算法不能過于復(fù)雜，以滿足實(shí)時(shí)性。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

假定測(cè)試信號(hào)是一個(gè)調(diào)頻調(diào)幅非線性仿真信號(hào)，其表達(dá)式為：

式中采樣頻率1 000 Hz,采樣點(diǎn)數(shù)250 點(diǎn)，時(shí)域波形如圖1所示。

為了比較延拓后的分解結(jié)果，將原信號(hào)的組成分量一并給出，圖2是沒有進(jìn)行端點(diǎn)處理的信號(hào)EMD分解結(jié)果，從圖中可以看到，在兩端點(diǎn)處有比較大的失真，并且會(huì)“ 向內(nèi)污染”.圖2~圖7 中虛線為原分量；實(shí)線為EMD的分解結(jié)果。

圖3~圖7分別是用端點(diǎn)鏡像方法、多項(xiàng)式擬合法、極值延拓法、平行延拓法和邊界局部特征尺度延拓法延拓后得到的EMD分解結(jié)果。

由圖可知，這幾種方法都有效改善了EMD 的端點(diǎn)效應(yīng)，其中極值延拓法對(duì)于端點(diǎn)效應(yīng)的改善比較明顯，其他方法得到的結(jié)果，在兩端仍有發(fā)散現(xiàn)象。表1給出了文中所述5種端點(diǎn)抑制方法對(duì)所給信號(hào)處理后的性能評(píng)價(jià)結(jié)果。

由表1給出參數(shù)可看出，對(duì)于給定準(zhǔn)周期的測(cè)試信號(hào)，極值延拓法分解得到相似系數(shù)最大，分解誤差最小，分解精度最高；平行延拓法得到的相似系數(shù)最小，分解誤差最大，分解精度較低。比較運(yùn)行時(shí)間，極值延拓法和平行延拓法計(jì)算速度最快，多項(xiàng)式擬合法耗時(shí)較長(zhǎng)。

5 結(jié)語

在EMD 分解過程中，由于多次對(duì)局部極大值和局部極小值運(yùn)用3次樣條插值，從而產(chǎn)生了引起失真的端點(diǎn)效應(yīng)。對(duì)于本文給出的準(zhǔn)周期的測(cè)試信號(hào)，端點(diǎn)鏡像方法、多項(xiàng)式擬合法、極值延拓法、平行延拓法和邊界局部特征尺度延拓法5種方法都能改善EMD分解的端點(diǎn)效應(yīng)問題。其中，極值延拓法是5種方法中分解效果最好的、運(yùn)算速度最快的延拓方法，在工程技術(shù)應(yīng)用中處理類似的信號(hào)，可以將其作為端點(diǎn)效應(yīng)處理的主要方法。當(dāng)然，工程應(yīng)用中的信號(hào)千差萬別，對(duì)于不同形式的信號(hào)，各種改善EMD 端點(diǎn)效應(yīng)的延拓方法性能各異。在實(shí)際應(yīng)用中，最好根據(jù)所處理信號(hào)的特點(diǎn)選擇合適的延拓方法。本文所用評(píng)價(jià)方法，只對(duì)實(shí)際工程選用合適的延拓方法提供一個(gè)參考。