通過FPGA芯片實現(xiàn)對高效多相結(jié)構(gòu)的采樣率變換器進(jìn)行優(yōu)化

多采樣率技術(shù)已廣泛應(yīng)用于很多領(lǐng)域。在一個信號處理系統(tǒng)中，在不同的地方使用不同的采樣率有利于信號的存儲、傳輸和處理。例如在數(shù)字通信中，網(wǎng)絡(luò)的不同部分可能需要不同的編碼格式，在這些編碼格式的轉(zhuǎn)化過程中，往往涉及到基本的采樣率變換。

FPGA是實現(xiàn)數(shù)字信號處理的一種高效手段。在實現(xiàn)高帶寬信號處理領(lǐng)域，F(xiàn)PGA技術(shù)可以通過一個芯片上的多級運(yùn)算單元來獲得比通用DSP芯片更高的運(yùn)算速度［2］。由于采樣率變換能用一種并行的方法實現(xiàn)，使用FPGA來實現(xiàn)就可以利用其硬件本身的并行性得到較高的效率。

1 有理數(shù)采樣率變換器的原理

從概念上講，采樣率變換器可以通過數(shù)/模轉(zhuǎn)換，再對模擬信號進(jìn)行給定頻率的模/數(shù)轉(zhuǎn)換得到。在實際的系統(tǒng)中，通過在數(shù)字域利用抽取和內(nèi)插運(yùn)算實現(xiàn)是一種更為合理和有效的手段。

抽取是降低采樣率的方法。在時域上，D倍（D為抽取因子）抽取就是從原始序列中每隔D-1個樣點取出一個構(gòu)成新的數(shù)字序列。在頻域上，這一運(yùn)算可以看成是頻譜的壓縮， 即原來以Ω sat1為周期的頻譜變?yōu)橐驭?sat2為周期的頻譜。為避免可能引起的混迭失真，抽取前應(yīng)使原信號通過一個低通濾波器。其抽取的示意圖及實現(xiàn)框圖如圖1所示。

內(nèi)插是提高采樣率的方法。實際的內(nèi)插系統(tǒng)由兩部分構(gòu)成：（1）零值插值器。設(shè)插值因子為I， I倍零值內(nèi)插就是在原始序列任意兩個樣本間加入I-1個零值樣本。在頻域上，頻譜進(jìn)行了擴(kuò)張，即原來以Ω sat1為周期的頻譜變?yōu)橐驭?sat2為周期的頻譜。從Ω c到Ω sat2-Ω c的頻帶被稱為鏡像頻譜。（2）低通濾波器。信號經(jīng)過此濾波器后，鏡像頻譜被濾去，從而得到采樣率提高的信號序列。內(nèi)插圖示及實現(xiàn)框圖如圖2所示。

利用抽取系統(tǒng)和內(nèi)插系統(tǒng)的級連，就可以得到有理數(shù)采樣率轉(zhuǎn)換器的基本方案。一般地，對于 I/D 倍數(shù)的有理數(shù)采樣變換，通過先內(nèi)插后抽取的方法，可以得到如圖3所示的實現(xiàn)框圖。圖3（a）中的第二部分和第三部分是兩個低通濾波器的級連，因而總的濾波效果等效為通帶邊緣較低的低通濾波器，合并后得到框圖3（b）。

然而，對于上述三個系統(tǒng)，利用原始框圖直接實現(xiàn)并不是一個很好的方案。如從圖3可以看出，該系統(tǒng)最主要的運(yùn)算量在濾波器的實現(xiàn)部分，圖3（b）中濾波器的采樣率為 F3=I，F(xiàn)1=DF2， 濾波運(yùn)算是在最高采樣率的部分實現(xiàn)的，這是不經(jīng)濟(jì)的。換一種說法，比如對后兩級的系統(tǒng)，經(jīng)濾波后的序列每D個樣本中僅有一個是實際需要的，而D-1樣本的運(yùn)算被丟棄了。

2 FIR濾波器的多相分解與多采樣率系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)變換

利用FIR濾波器的多相分解［1～2］及多采樣率系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變換［1］，可以得到降低了運(yùn)算代價的采樣率變換器的多相結(jié)構(gòu)。

FIR濾波器的多相分解是指將數(shù)字濾波器H（z）可分解為若干個不同的組。設(shè)H（z）的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：

對于多采樣率網(wǎng)絡(luò)，存在下面幾個等效變換：

T1： 抽取與乘常數(shù)可以換位。

T2： 零值插值和乘常數(shù)可以換位。

T3：兩個信號先分別抽取然后相加，以及先相加然后抽取等效。

T4：抽樣率相同的兩個信號先分別零值內(nèi)插（內(nèi)插因子相等）然后相加，以及先相加然后零值內(nèi)插等效。

T5：如果I和D 互質(zhì)，則抽取與內(nèi)插可以交換。

此外，Nobel關(guān)系式［3］給出了抽取/內(nèi)插與濾波器級連時如圖4所示的等效變換。

Nobel 關(guān)系式的意義在于：在抽取與濾波級連時，首先進(jìn)行抽取運(yùn)算，可以把濾波器的長度降低一個D因子; 內(nèi)插與濾波級連時，首先進(jìn)行濾波運(yùn)算，可以使濾波器的的長度降低一個I因子。

3 采樣率變換器的多相表示結(jié)構(gòu)

通過對圖1中的整數(shù)倍速抽取器系統(tǒng)進(jìn)行多相分解（分解式1），然后依次進(jìn)行T3及Nobel變換（抽?。?，可以得到抽取系統(tǒng)的多相結(jié)構(gòu)。此結(jié)構(gòu)中濾波器將在F2=F1/D的采樣率下進(jìn)行，也就是說，對于給定的芯片和濾波器結(jié)構(gòu)，濾波器能達(dá)到最高時鐘頻率相同時，該結(jié)構(gòu)能處理的帶寬是圖1的D倍，或者說對相同采樣率的數(shù)據(jù)，該結(jié)構(gòu)對濾波器最高時鐘頻率的要求降低為原來的1/D，因而是一種高效的實現(xiàn)方式。

類似地，對圖2中的整數(shù)內(nèi)插系統(tǒng)進(jìn)行多相分解（分解式2），并依次進(jìn)行T4及Nobel變換（零內(nèi)插），以得到整數(shù)內(nèi)插的多相結(jié)構(gòu)，通過變換，將以F1=F2/I的采樣率進(jìn)行濾波運(yùn)算。

分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換器的多相結(jié)構(gòu)有多種實現(xiàn)方案。

（1）如果I與D不互質(zhì)，可以利用已經(jīng)得到的多相結(jié)構(gòu)，然后與抽取或內(nèi)插級連實現(xiàn)。如圖3（b）中可以把前兩部分用圖5的多相結(jié)構(gòu)實現(xiàn)或把后兩部分用圖6的多相結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，具體選擇時可參考D與I的數(shù)值。

（2）如果I與D互質(zhì)，則可以轉(zhuǎn)化為更為高效的多相結(jié)構(gòu)［1，4］。圖7即是I、D互質(zhì)時的一種高效結(jié)構(gòu)。這一結(jié)構(gòu)的推導(dǎo)利用了多相分解的分解式1和分解式2、T1～T5以及兩數(shù)互質(zhì)時的歐幾里德公式（若I、D互質(zhì)，則存在整數(shù)p、q，使得pI+qD=1）。這樣的結(jié)構(gòu)不是唯一的，通過多采樣率系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)變換，還可以得到其他的結(jié)構(gòu)。在此結(jié)構(gòu)中，濾波器運(yùn)算是在F4的采樣率中進(jìn)行的，且有F4=F1/D=F2/I，與最初的形式相比，濾波器的最高時鐘頻率相同時，處理帶寬增大為原來的I×D倍。

該多相結(jié)構(gòu)中的Rm，n（z4）可以由原始濾波器經(jīng)過兩次多相分解而求得。特殊地，如果有濾波器的級數(shù)N=DI，則 Rm，n（z4）=h［（n+1）I-（m+1）T3］，為原始濾波器某一項的系數(shù)。

4 FPGA設(shè)計與驗證

由于整數(shù)倍抽取和內(nèi)插的實現(xiàn)過程可以包含在分?jǐn)?shù)采樣率變換器的實現(xiàn)過程中，因此下面只討論I、D互質(zhì)的有理數(shù)采樣率變換器的實現(xiàn)。

根據(jù)圖7的多相結(jié)構(gòu)，對于I、D互質(zhì)的分?jǐn)?shù)抽樣率轉(zhuǎn)化系統(tǒng)，可以分解為四個模塊：

（1）輸入與延時鏈模塊。這部分的時鐘周期應(yīng)該為T1。

（2）R0～RI-1的延時與抽取模塊。注意：抽取器只是在第0，D，……，N×D個時鐘周期讓信號通過，其他時鐘周期阻隔信號。若已知延時與抽取鏈的功能，則可用一個如圖8（a）所示的多相選擇開關(guān)來實現(xiàn)，而圖8（b）給出了該電路的一種實現(xiàn)方案，其中TClk_T4 =DTclk_T1，T4為模塊3的時鐘周期。

（3）本系統(tǒng)最為關(guān)鍵的部分是第三部分。該部分是運(yùn)算的主體部分，對整個系統(tǒng)的資源利用率和時鐘性能有很大的影響。該模塊需要實現(xiàn)的是I×D個FIR濾波器。對于給定的設(shè)計，這些濾波器的系數(shù)是常數(shù)，可由如下方法得到：

①根據(jù)低通濾波器的要求，用Matlab的FDAtool計算出濾波器的系數(shù)，并使其階數(shù)N=M×I×D，M為正整數(shù)，可根據(jù)濾波器的需要選取。

②利用多相分解公式計算每個濾波器的系數(shù)。

③把所得到的數(shù)字進(jìn)行定點化處理（比如系數(shù)同乘以2 048，取整，待計算出結(jié)果后右移11位）。

對于常系數(shù)的FIR濾波器，在FPGA實現(xiàn)時，有多種可以選擇的方式以降低復(fù)雜性。在本設(shè)計中，采用簡化的加法器圖［3］來實現(xiàn)，避免了使用資源代價較大的通用乘法器，同時提高了系統(tǒng)的整體性能。例如，在測試系統(tǒng)的設(shè)計中，需要計算132×x（n）、28×x（n-1）、126×x（n-2）、13×x（n-3），用圖9方案來實現(xiàn)時，將比用四個通用乘法器節(jié)省更多的LE資源，并且使最高的時鐘頻率得到了提高。表1給出了一個測試系統(tǒng)的資源與性能對比（使用了Altera公司的EP1C3T144C6芯片及Quartus II 5.1版本進(jìn)行綜合）。

（4）第四部分是與第二部分類似的模塊。零內(nèi)插器的特點是某個時鐘周期有用信號通過，其余時鐘周期通過零值，因而內(nèi)插與延時相加模塊也可用一個多相選擇開關(guān)來實現(xiàn)。內(nèi)插與延時相加模塊實現(xiàn)電路圖如圖10所示。

圖11給出了一個D=3、I=4、N為12時的分?jǐn)?shù)采樣率變換的部分仿真結(jié)果（Modelsim 6.1）。其中，濾波器系數(shù)定點化為12位補(bǔ)碼，輸入、輸出數(shù)據(jù)為12位補(bǔ)碼整數(shù)， 測試輸入序列為20kHz的正弦波波形序列，采樣率為600kHz，輸出為800kHz采樣的正弦波序列。通過把輸入輸出序列保存并做FFT變換，可以得到兩者的實際頻率相同的結(jié)論。

利用FIR濾波器的多相分解及多采樣率網(wǎng)絡(luò)變換技術(shù)，本文介紹了一種有理數(shù)采樣率變換器的高效多相結(jié)構(gòu)，并結(jié)合FPGA芯片的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了實現(xiàn)與優(yōu)化。文中的一些方法也適用于其他多采速率系統(tǒng)的設(shè)計。