移頻法頻率細(xì)化的優(yōu)勢及在過程中遇到的問題解析

頻率細(xì)化是70年代發(fā)展起來的一種新技術(shù)，其主要目的是識別譜圖上的細(xì)微結(jié)構(gòu)。從通常的FFT分析方法中我們已經(jīng)知道，在頻譜圖上的有效頻率分布范圍是從0HZ到奈魁斯特頻率fN為止，而譜線間隔（fs/N）決定了頻率分辨能力，N表示數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，這里fs表示采樣頻率，且fN=fs/2。因此，要獲得較高的分辨率可從下面兩個(gè)方面進(jìn)行。第一方面：降低采樣頻率，譜線間隔減小，但這樣會降低奈魁斯特頻率fN，從而導(dǎo)致頻率分析范圍小；第二方面：提高FFT計(jì)算長度N值，但這樣要求較大的內(nèi)存和降低運(yùn)算速度。

１ 頻率細(xì)化過程介紹

細(xì)化技術(shù)是一種一定頻率范圍內(nèi)提高頻率分辨率的測量技術(shù)，也叫細(xì)化傅里葉分析。而頻率細(xì)化是在信號處理和模態(tài)分析中廣泛應(yīng)用的一種技術(shù)，它能夠提高頻率的分辨率，將選定的頻率域上的特性曲線放大，從而使系統(tǒng)的頻率特性能更清楚地顯示出來，如圖１所示。

設(shè)系統(tǒng)的采樣頻率為fs,采樣點(diǎn)數(shù)為NO,則頻率分辨率為：

Δf=fs/NO

從上式可以看出，要進(jìn)行頻率細(xì)化，即提高頻率分辨率，使Δf變小，有兩種方法：增加采樣點(diǎn)數(shù)NO和降低采樣頻率fs,這里只介紹降低采樣頻率的方法。

這種方法主要是基于移頻原理，如圖2所示。

設(shè)想要移頻部分的頻率為fp,其角頻率為wp=2πfp,令f （t）=exp（-jwpt）。時(shí)域信號x（t）與f（t）卷積后，則在頻域上，該信號的fp頻率就移到了原點(diǎn)處。

信號頻率移到低頻后，經(jīng)過低通濾波，就可以用低的采樣頻率進(jìn)行采樣，從而達(dá)到提高頻率分辨率、頻率細(xì)化的目的。具體過程如圖3所示。

2 移頻法頻率細(xì)化過程中幾個(gè)問題的分析

（1）非細(xì)化處理的系統(tǒng)采樣頻率為fs,采樣點(diǎn)數(shù)為NO。對于細(xì)化過程，設(shè)頻率細(xì)化倍數(shù)為Nr,信號經(jīng)過抗混疊濾波器后進(jìn)行A/D采樣，采樣頻率應(yīng)仍為原來的fs,保持不變，采樣點(diǎn)數(shù)則為Nr*NO,這樣就保證了細(xì)化與非細(xì)化處理的基本頻帶范圍保持不變，并且可以細(xì)化這一頻帶中的任何一段。

（2）要細(xì)化的頻率范圍為fl～fu,移頻后，低頻點(diǎn)fl移到原點(diǎn)，則高頻點(diǎn)變?yōu)椋╢u-fl）。這時(shí)數(shù)字低通濾波器的截止頻率應(yīng)大于（fu-fl），并小于低頻重采樣頻率fs/Nr的一半。即截止頻率的范圍為：

（fu-fl）＜fc＜fs/2Nr

且可以得到最大細(xì)化倍數(shù)Ｎ與細(xì)化頻率范圍之間的關(guān)系為：

Nr＜fs/2（fu-fl）

這為設(shè)置細(xì)化倍數(shù)范圍提供了依據(jù)。

（3）數(shù)字低通濾波器的通帶必須平，通帶內(nèi)波動要小，這樣原信號的頻率特性細(xì)化后在幅值上才不會改變；同時(shí)，最好使濾波器的帶外衰減＞-70dB,且-70dB處的頻率＜fs／2Nr,這樣就能保證低頻重新采樣時(shí)抗混疊的效果最好。

（4）細(xì)化與不細(xì)化過程占用時(shí)間的比較：由于采樣點(diǎn)數(shù)NO保持不變，因此細(xì)化處理的FFT時(shí)間與不細(xì)化的FFT時(shí)間一樣，都是 NOLog（NO）/2;細(xì)化過程要進(jìn)行Nr*NO點(diǎn)的高頻采樣和NO點(diǎn)的低頻采樣，而不細(xì)化過程只進(jìn)行NO點(diǎn)的高頻采樣，所以在采樣時(shí)間上，細(xì)化過程要稍長一點(diǎn)。

（5）移頻法頻率細(xì)化與增加采樣點(diǎn)數(shù)頻率細(xì)化的比較：移頻法頻率細(xì)化只進(jìn)行NO個(gè)點(diǎn)的FFT變換，和一些數(shù)組、矩陣的運(yùn)算，它所花的時(shí)間約為：NOLog（NO）/2;而采用增加采樣點(diǎn)數(shù)頻率細(xì)化要進(jìn)行Nr*NO個(gè)點(diǎn)的FFT變換，它所花的時(shí)間約為：（Nr*NO）Log（Nr*No） /2。

移頻是將感興趣的頻段的下限頻率移至原來的零頻率位置，以便有可能將感興趣頻段放大到整個(gè)頻率顯示范圍上，需首先對信號進(jìn)行頻率調(diào)制。這里采用的是復(fù)數(shù)調(diào)制法，如果欲將某一頻率fo移至原來的零頻處，則以原信號x1與 exp（-j2pi*f0*k*？t） 相調(diào)制得：實(shí)部為 x1cos（（2*pi*f0*k）/（N*？f）），虛部為-x1sin（（2*pi*f0*k）/（N*？f））。若令L0=f0/？f（？f---原有的頻率分辨率），即為頻率在原頻譜圖中所對應(yīng)的譜線序號，則實(shí)部和虛部即可以寫為： x1cos（2*pi/N*L0*k）及 -x1sin（2*pi/N*L0*k），合并實(shí)部和虛部可以得到調(diào)制后的信號為 wn=exp（-j*2pi/N），

由于移頻使fl前面的頻段移到頻域的負(fù)軸上，而低通濾波又濾掉了fu后面的高頻部分，因此，這種方法只能進(jìn)行一段頻率的細(xì)化，不能進(jìn)行全頻段的細(xì)化，這是移頻法頻率細(xì)化的缺點(diǎn)。要進(jìn)行全頻段細(xì)化，可以采用增加采樣點(diǎn)數(shù)的方法。

３ 用MATLAB仿真頻率細(xì)化過程

用MATLAB程序仿真圖3這個(gè)過程，主要實(shí)現(xiàn)A/D采樣、移頻、低通濾波、低頻重新采樣、FFT變換等，同時(shí)注意上面幾個(gè)問題的分析。

總信號由302Hz、304Hz、306Hz、308Hz四個(gè)不同頻率、不同幅值的正余弦信號合成。采樣點(diǎn)為512,采樣頻率為5120Hz,則頻率分辨率為10Hz,這在頻域內(nèi)分辨不出這四個(gè)信號。仿真軟件在300～320Hz范圍內(nèi)細(xì)化10倍，則這時(shí)頻率分辨率為1Hz,就可以逐漸看清楚這四個(gè)信號。

x（t）=sin（2*302）+2cos（2π*304）+3sin（2π*306）＋4sin（２π*308）

細(xì)化處理需要5120個(gè)采樣點(diǎn)，仿真時(shí)A/D采樣用對連續(xù)信號x（t）進(jìn)行離散化來代替，離散化的點(diǎn)值就是采樣值，它們組成一個(gè)數(shù)組（矩陣），這是一個(gè)點(diǎn)序列。

采樣完成后，對采樣點(diǎn)進(jìn)行移頻仿真（將300Hz移頻到原點(diǎn)），由以下步驟實(shí)現(xiàn)：

令：F1=300W1=２π*F1

f（t）=exp（-jw1*t）

ｔ取離散化時(shí)刻，Δt=1/fsTk=k*Δt

則f（t）離散化可變?yōu)椋?/p>

f（k）=exp（-jw1*Tk）

=exp[（-j2π*f1*k）/fs]

這也是一個(gè)點(diǎn)序列。

MATLAB將上面兩個(gè)點(diǎn)序列進(jìn)行卷積（矩陣相乘），得到一個(gè)新的點(diǎn)序列，就實(shí)現(xiàn)了移頻過程，即使F1=300Hz 在頻域上移動了0,其它頻率特性依此前移。

MATLAB語言有很方便的濾波器設(shè)計(jì)和數(shù)字濾波功能，可用它設(shè)計(jì)一個(gè)帶內(nèi)波動＜0.1dB,帶外衰減＞-70dB,截止頻率為20Hz的低通濾波器，并將上面的點(diǎn)序列進(jìn)行數(shù)字濾波，得到一個(gè)只在0～20Hz頻段上有特性曲線、其它頻段被濾掉的信號的點(diǎn)序列。

對上面的點(diǎn)序列每隔10點(diǎn)（細(xì)化倍數(shù)）進(jìn)行抽取，實(shí)際上就是對經(jīng)移頻、濾波后的信號進(jìn)行重新采樣。采樣頻率為S120Hz/10,即采樣頻率降低了10倍，抽取得到512個(gè)點(diǎn)。

對這512個(gè)點(diǎn)進(jìn)行FFT變換，就可以得到300Hz～320Hz頻段上已細(xì)化10倍的頻率特性曲線了，結(jié)果如圖4、圖8所示。

用仿真程序分別進(jìn)行2、4、8、10倍的頻率細(xì)化，從運(yùn)行結(jié)果可以看出，細(xì)化倍數(shù)越大，頻率分辨率就越高，頻域波形越看得清楚，這與理論是相符合的。