深度學(xué)習(xí)筆記6：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法之從SGD到Adam

從前面的學(xué)習(xí)中，帶大家一起學(xué)會了如何手動搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的正則化等實(shí)用層面的內(nèi)容。這些都使得我們能夠更深入的理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)制，而并不是初次接觸深度學(xué)習(xí)就上手框架，雖然對外宣稱神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是個(gè)黑箱機(jī)制，但是作為學(xué)習(xí)者我們極度有必要搞清楚算法在每個(gè)環(huán)節(jié)到底都干了些什么。

今天筆者需要講的是深度學(xué)習(xí)的一個(gè)大的主題——優(yōu)化算法。采用何種方式對損失函數(shù)進(jìn)行迭代優(yōu)化，這是機(jī)器學(xué)習(xí)的一大主題之一，當(dāng)一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)問題有了具體的模型和評估策略，所有的機(jī)器學(xué)習(xí)問題都可以形式化為一個(gè)最優(yōu)化問題。這也是為什么我們說優(yōu)化理論和凸優(yōu)化算法等學(xué)科是機(jī)器學(xué)習(xí)一大支柱的原因所在。從純數(shù)學(xué)的角度來看，所有的數(shù)學(xué)模型盡管形式不一，各有頭面，但到最后幾乎到可以歸約為最優(yōu)化問題。所以，有志于奮戰(zhàn)在機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域的各位，學(xué)好最優(yōu)化，責(zé)無旁貸啊。

要說機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)的優(yōu)化算法，梯度下降必然是核心所在。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)展至今，優(yōu)化算法層出不窮，但大底是出不了梯度下降的框框架架。這一篇筆記，筆者就和大家一起學(xué)習(xí)和回顧深度學(xué)習(xí)中常用的優(yōu)化算法。在前面手動搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代碼實(shí)踐中，我們對于損失函數(shù)的優(yōu)化采用了一般的梯度下降法，所以本篇總結(jié)就從梯度下降法開始。

梯度下降法 Gradient Descent

想必大家對于梯度下降是很熟悉了，選擇負(fù)梯度方向進(jìn)行參數(shù)更新算是常規(guī)操作了。話不多說，對于多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如何執(zhí)行梯度下降：

defupdate_parameters_with_gd(parameters,grads,learning_rate):
"""
Updateparametersusingonestepofgradientdescent

Arguments:
parameters--pythondictionarycontainingyourparameterstobeupdated:
parameters['W'+str(l)]=Wl
parameters['b'+str(l)]=bl
grads--pythondictionarycontainingyourgradientstoupdateeachparameters:
grads['dW'+str(l)]=dWl
grads['db'+str(l)]=dbl
learning_rate--thelearningrate,scalar.
Returns:
parameters--pythondictionarycontainingyourupdatedparameters
"""
L=len(parameters)//2#numberoflayersintheneuralnetworks
#Updateruleforeachparameter
forlinrange(L):
parameters['W'+str(l+1)]=parameters['W'+str(l+1)]-learning_rate*grads['dW'+str(l+1)]
parameters['b'+str(l+1)]=parameters['b'+str(l+1)]-learning_rate*grads['db'+str(l+1)]
returnparameters

在上述代碼中，我們傳入含有權(quán)值和偏置的字典、梯度字段和更新的學(xué)習(xí)率作為參數(shù)，按照開頭的公式編寫權(quán)值更新代碼，一個(gè)簡單的多層網(wǎng)絡(luò)的梯度下降算法就寫出來了。

小批量梯度下降法 mini-batch Gradient Descent

在工業(yè)數(shù)據(jù)環(huán)境下，直接對大數(shù)據(jù)執(zhí)行梯度下降法訓(xùn)練往往處理速度緩慢，這時(shí)候?qū)⒂?xùn)練集分割成小一點(diǎn)的子集進(jìn)行訓(xùn)練就非常重要了。這個(gè)被分割成的小的子集就叫做 mini-batch，意為小批量。對每一個(gè)小批量同時(shí)執(zhí)行梯度下降會大大提高訓(xùn)練效率。在實(shí)際利用代碼實(shí)現(xiàn)的時(shí)候，小批量梯度下降算法通常包括兩個(gè)步驟：充分打亂數(shù)據(jù)（shuffle）和分組組合數(shù)據(jù)(partition)。如下圖所示。

shuffle

partition

具體代碼實(shí)現(xiàn)為：

def random_mini_batches(X, Y, mini_batch_size = 64, seed = 0):
  """
  Creates a list of random minibatches from (X, Y)

  Arguments:
  X -- input data, of shape (input size, number of examples)
  Y -- true "label" vector (1 for blue dot / 0 for red dot), of shape (1, number of examples)
  mini_batch_size -- size of the mini-batches, integer

  Returns:
  mini_batches -- list of synchronous (mini_batch_X, mini_batch_Y)
  """

  np.random.seed(seed)    
  m = X.shape[1]         
  mini_batches = []  # Step 1: Shuffle (X, Y)
  permutation = list(np.random.permutation(m))
  shuffled_X = X[:, permutation]
  shuffled_Y = Y[:, permutation].reshape((1,m))  # Step 2: Partition (shuffled_X, shuffled_Y). Minus the end case.
  num_complete_minibatches = math.floor(m/mini_batch_size) 
  for k in range(0, num_complete_minibatches):
    mini_batch_X = shuffled_X[:, 0:mini_batch_size]
    mini_batch_Y = shuffled_Y[:, 0:mini_batch_size]

    mini_batch = (mini_batch_X, mini_batch_Y)
    mini_batches.append(mini_batch)  # Handling the end case (last mini-batch < mini_batch_size)
  if m % mini_batch_size != 0:
    mini_batch_X = shuffled_X[:, 0: m-mini_batch_size*math.floor(m/mini_batch_size)]
    mini_batch_Y = shuffled_Y[:, 0: m-mini_batch_size*math.floor(m/mini_batch_size)]

    mini_batch = (mini_batch_X, mini_batch_Y)
    mini_batches.append(mini_batch)  
  return mini_batches

小批量梯度下降的實(shí)現(xiàn)思路非常清晰，先打亂數(shù)據(jù)在分組數(shù)據(jù)，需要注意的細(xì)節(jié)在于最后一個(gè)小批量所含的訓(xùn)練樣本數(shù)，通常而言最后一個(gè)小批量會少于前面批量所含樣本數(shù)。

隨機(jī)梯度下降 Stochastic Gradient Descent

當(dāng)小批量所含的訓(xùn)練樣本數(shù)為 1 的時(shí)候，小批量梯度下降法就變成了隨機(jī)梯度下降法（SGD）。SGD雖然以單個(gè)樣本為訓(xùn)練單元訓(xùn)練速度會很快，但犧牲了向量化運(yùn)算所帶來的便利性，在較大數(shù)據(jù)集上效率并不高。
我們可以看一下梯度下降和隨機(jī)梯度下降在實(shí)現(xiàn)上的差異：

# GD
X = data_input
Y = labels
parameters = initialize_parameters(layers_dims)
for i in range(0, num_iterations):  # Forward propagation
  a, caches = forward_propagation(X, parameters)  # Compute cost.
  cost = compute_cost(a, Y)  # Backward propagation.
  grads = backward_propagation(a, caches, parameters)  # Update parameters.
  parameters = update_parameters(parameters, grads)

# SGDX = data_input
Y = labels
parameters = initialize_parameters(layers_dims)
for i in range(0, num_iterations):  
  for j in range(0, m):    # Forward propagation
    a, caches = forward_propagation(X[:,j], parameters)    # Compute cost
    cost = compute_cost(a, Y[:,j])    # Backward propagation
    grads = backward_propagation(a, caches, parameters)    # Update parameters.
    parameters = update_parameters(parameters, grads)

所以，從本質(zhì)上看，梯度下降法、小批量梯度下降法和隨機(jī)梯度下降法，并沒有區(qū)別。唯一的區(qū)別就在于它們執(zhí)行一次訓(xùn)練過程所需要用到的訓(xùn)練樣本數(shù)。梯度下降法用到的是全集訓(xùn)練數(shù)據(jù)，隨機(jī)梯度下降則是單個(gè)樣本數(shù)據(jù)，而小批量則是介于二者之間。

帶動量的梯度下降法（momentum）

正如上圖中看到的一樣，我們假設(shè)梯度下降的橫向?yàn)閰?shù) W 的下降方向，而偏置 b 的下降方向?yàn)榭v軸，我們總是希望在縱軸上的震蕩幅度小一點(diǎn)，學(xué)習(xí)速度慢一點(diǎn)，而在橫軸上學(xué)習(xí)速度快一點(diǎn)，無論是小批量梯度下降還是隨機(jī)梯度下降，好像都不能避免這個(gè)問題。為了解決這個(gè)問題，帶動量的梯度下降法來了。帶動量的梯度下降考慮歷史梯度的加權(quán)平均值作為速率進(jìn)行優(yōu)化。執(zhí)行公式如下：

根據(jù)上述公式編寫帶動量的梯度下降法實(shí)現(xiàn)代碼：

defupdate_parameters_with_momentum(parameters,grads,v,beta,learning_rate):
"""
UpdateparametersusingMomentum

Arguments:
parameters--pythondictionarycontainingyourparameters:
parameters['W'+str(l)]=Wl
parameters['b'+str(l)]=bl
grads--pythondictionarycontainingyourgradientsforeachparameters:
grads['dW'+str(l)]=dWl
grads['db'+str(l)]=dbl
v--pythondictionarycontainingthecurrentvelocity:
v['dW'+str(l)]=...
v['db'+str(l)]=...
beta--themomentumhyperparameter,scalar
learning_rate--thelearningrate,scalar

Returns:
parameters--pythondictionarycontainingyourupdatedparameters
v--pythondictionarycontainingyourupdatedvelocities
"""

L=len(parameters)//2#numberoflayersintheneuralnetworks

#Momentumupdateforeachparameter
forlinrange(L):#computevelocities
v['dW'+str(l+1)]=beta*v['dW'+str(l+1)]+(1-beta)*grads['dW'+str(l+1)]
v['db'+str(l+1)]=beta*v['db'+str(l+1)]+(1-beta)*grads['db'+str(l+1)]#updateparameters
parameters['W'+str(l+1)]=parameters['W'+str(l+1)]-learning_rate*v['dW'+str(l+1)]
parameters['b'+str(l+1)]=parameters['b'+str(l+1)]-learning_rate*v['db'+str(l+1)]
returnparameters,v

實(shí)現(xiàn)帶動量的梯度下降的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是動量是考慮歷史梯度進(jìn)行梯度下降的，二是這里的需要指定的超參數(shù)變成了兩個(gè)：一個(gè)是學(xué)習(xí)率 learning_rate，一個(gè)是梯度加權(quán)參數(shù)beta。

Adam算法

Adam 全稱為 Adaptive Moment Estimation，是在帶動量的梯度下降法的基礎(chǔ)上融合了一種稱為 RMSprop（加速梯度下降）的算法而成的。相較于帶動量的梯度下降法，無論是RMSprop 還是 Adam，其中的改進(jìn)思路都在于如何讓橫軸上的學(xué)習(xí)更快以及讓縱軸上的學(xué)習(xí)更慢。RMSprop 和 Adam 在帶動量的梯度下降法的基礎(chǔ)上，引入了平方梯度，并對速率進(jìn)行了偏差糾正。具體計(jì)算公式如下：

實(shí)現(xiàn)代碼如下：

def update_parameters_with_adam(parameters, grads, v, s, t, learning_rate = 0.01,
                beta1 = 0.9, beta2 = 0.999, epsilon = 1e-8):
  """
  Update parameters using Adam

  Arguments:
  parameters -- python dictionary containing your parameters:
          parameters['W' + str(l)] = Wl
          parameters['b' + str(l)] = bl
  grads -- python dictionary containing your gradients for each parameters:
          grads['dW' + str(l)] = dWl
          grads['db' + str(l)] = dbl
  v -- Adam variable, moving average of the first gradient, python dictionary
  s -- Adam variable, moving average of the squared gradient, python dictionary
  learning_rate -- the learning rate, scalar.
  beta1 -- Exponential decay hyperparameter for the first moment estimates 
  beta2 -- Exponential decay hyperparameter for the second moment estimates 
  epsilon -- hyperparameter preventing division by zero in Adam updates

  Returns:
  parameters -- python dictionary containing your updated parameters 
  v -- Adam variable, moving average of the first gradient, python dictionary
  s -- Adam variable, moving average of the squared gradient, python dictionary
  """

  L = len(parameters) // 2         
  v_corrected = {}            
  s_corrected = {}             

  # Perform Adam update on all parameters
  for l in range(L):
    v["dW" + str(l+1)] = beta1 * v["dW" + str(l+1)] + (1 - beta1) * grads['dW'+str(l+1)]
    v["db" + str(l+1)] = beta1 * v["db" + str(l+1)] + (1 - beta1) * grads['db'+str(l+1)]    # Compute bias-corrected first moment estimate. Inputs: "v, beta1, t". Output: "v_corrected".  
    v_corrected["dW" + str(l+1)] = v["dW" + str(l+1)] / (1 - beta1**t)
    v_corrected["db" + str(l+1)] = v["db" + str(l+1)] / (1 - beta1**t)    # Moving average of the squared gradients. Inputs: "s, grads, beta2". Output: "s".
    s["dW" + str(l+1)] = beta2 * s["dW" + str(l+1)] + (1 - beta2) * (grads["dW" + str(l+1)])**2
    s["db" + str(l+1)] = beta2 * s["db" + str(l+1)] + (1 - beta2) * (grads["db" + str(l+1)])**2


    # Compute bias-corrected second raw moment estimate. Inputs: "s, beta2, t". Output: "s_corrected".
    s_corrected["dW" + str(l+1)] = s["dW" + str(l+1)] / (1 - beta2**t)
    s_corrected["db" + str(l+1)] = s["db" + str(l+1)] / (1 - beta2**t)    # Update parameters. Inputs: "parameters, learning_rate, v_corrected, s_corrected, epsilon". Output: "parameters".

    parameters["W" + str(l+1)] = parameters["W" + str(l+1)] - learning_rate * v_corrected["dW" + str(l+1)] / (np.sqrt(s_corrected["dW" + str(l+1)]) + epsilon)
    parameters["b" + str(l+1)] = parameters["b" + str(l+1)] - learning_rate * v_corrected["db" + str(l+1)] / (np.sqrt(s_corrected["db" + str(l+1)]) + epsilon)  
  return parameters, v, s

除了以上這些算法，還有一些像 Adadelta 之類的算法我們沒有提到，有需要了解的同學(xué)可以自行查找相關(guān)資料。最后用一個(gè)圖來展示各種優(yōu)化算法的效果：

本文由《自興動腦人工智能》項(xiàng)目部 凱文 投稿。