幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)是什么？有什么作用？詳細資料討論

不同平均數(shù)的比較；圖片來源：維基百科

大概是最常見的數(shù)據(jù)分析任務

你有一組數(shù)字。你希望用更少的數(shù)字概括它們，最好是只用一個數(shù)字。因此，你將這組數(shù)字加起來，然后除以數(shù)字的數(shù)目。哇，你得到了“平均數(shù)”，沒錯吧？

也許。

和流行的觀點不同，從數(shù)學上說，平均數(shù)通常不是一樣東西。意思是：沒有可以恰當?shù)胤Q作“平均數(shù)”的數(shù)學運算。我們通常所說的平均數(shù)是“算術平均數(shù)”，具體計算過程如前所述。我們稱其為“平均數(shù)”，是因為我們期望它符合“平均數(shù)”的口頭定義：一個典型的、正態(tài)的中間值。我們常常是對的，但正確的頻率比我們想象的要低。

概述統(tǒng)計量

算術平均數(shù)僅僅是得到“平均”值的許多方法的其中之一。技術一點地說，這些屬于概述統(tǒng)計量、集中趨勢測度、位置測度。

中位數(shù)大概是第二出名的概述統(tǒng)計量。由于中位數(shù)是數(shù)據(jù)集中間的值，因此常常比均值更平均。我這里不討論中位數(shù)，不過在許多情形下，算術平均數(shù)被濫用在中位數(shù)更合適的地方。更多關于中位數(shù)的內(nèi)容，可以參考下面三篇文章：

https://www.linkedin.com/pulse/20140715160509-29681087-median-vs-average-household-income/

http://wkuappliedeconomics.org/indblogs/mean-vs-median-income-which-one-to-use-and-what-it-means-for-south-central-kentucky/

https://medium.com/%40JLMC/understanding-three-simple-statistics-for-data-visualizations-2619dbb3677a

本文將重點討論知名度相對較低的幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)。

畢達哥拉斯平均數(shù)

平方平均數(shù)和畢達哥拉斯平均數(shù)；圖片來源：維基百科

算術平均數(shù)是3種畢達哥拉斯平均數(shù)之一（名稱源自研究這些性質(zhì)的畢達哥拉斯及其學派）。另外兩種畢達哥拉斯平均數(shù)是幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)。

為了了解它們的基本功能，讓我們從熟悉的算術平均數(shù)開始。

算術平均數(shù)

算術平均數(shù)的名字取得很合適：我們累加數(shù)據(jù)集中的所有數(shù)字，接著除以數(shù)據(jù)集包含的數(shù)字數(shù)目。

不過，加法沒有什么特別的。它只不過是一種簡單的數(shù)學運算。在數(shù)字之間存在可加性（additive）關系的數(shù)據(jù)集上，算術平均數(shù)效果很好。這樣的關系經(jīng)常被稱為線性，因為如果我們將所有數(shù)字按升序或降序排列，數(shù)字傾向于落在一根直線上。一個簡單而理想化的例子是公差為3的等差數(shù)列：

然而，不是所有的數(shù)據(jù)集都適宜用這種關系描述的。有些數(shù)據(jù)集內(nèi)部存在乘法或指數(shù)關系，例如，公比為3的等比數(shù)列：

我們看到，算術平均數(shù)（156）并不特別接近我們的數(shù)據(jù)集中的大多數(shù)數(shù)字。實際上，它是中位數(shù)（27）的5倍。

將數(shù)據(jù)繪制在一根數(shù)軸上，能夠更明顯地看到這一扭曲。

所以，我們做什么？

引入……

幾何平均數(shù)

由于數(shù)據(jù)集中數(shù)字之間的關系是相乘，我們通過乘法和取方根（總共有幾個數(shù)字就開幾次方根）來得到幾何平均數(shù)。

我們可以看到，在等比數(shù)列上，幾何平均數(shù)更能代表數(shù)據(jù)集的中間值。事實上，在這個等比數(shù)列數(shù)據(jù)集上，它等于中位數(shù)。

從單根數(shù)軸上也可以看到這一點：

幾何平均數(shù)的真實世界應用

實際上，有很多實際場景適合使用幾何平均數(shù)，因為類似相乘的關系在真實世界中很常見。

一個經(jīng)典的例子是復利問題。

假設我們有一筆5年期存款，本金為$100,000，每年的利率是變動的：

年利率：1%、9%、6%、2%、15%

我們想要找到平均年利率，并據(jù)此計算5年后本金和利息的總和。我們嘗試“平均”這些利率：

(.01 + .09 + .06 + .02 + .15) ÷ 5 = .066 = 6.6%

然后我們將平均利率代入復利計算公式：

100000 * (1.066 ** 5 - 1) + 100000 = 137653.11

比較以下不使用平均利率，直接計算的結(jié)果：

100000 * 1.01 * 1.09 * 1.06 * 1.02 * 1.15 = 136883.70

可以看到，我們的簡便計算方法誤差接近$1,000。

我們犯了一個常見的錯誤：我們將加法操作應用于相乘過程，得到了不精確的結(jié)果。

現(xiàn)在，讓我們試試幾何平均數(shù)：

1.01 * 1.09 * 1.06 * 1.02 * 1.15 = 1.368837042

1.368837042開5次方根 = 1.064805657

將幾何平均數(shù)代入復利計算公式：

100000 * (1.0648 ** 5 - 1) + 100000 = 136883.70

這個數(shù)字正好等于我們逐年計算所得的結(jié)果。

我們使用了合適的平均數(shù)，并得到了正確的結(jié)果。

幾何平均數(shù)還適合什么場景呢？

幾何平均數(shù)的一個很酷的特性是，你可以對尺度完全不同的數(shù)字取平均數(shù)。

例如，假設我們想比較兩間咖啡店來源不同的在線評價。問題在于，來源一的評價使用五星制，而來源二的評分評價使用百分制：

咖啡店A

來源一：4.5

來源二：68

咖啡店B

來源一：3

來源二：75

如果我們直接根據(jù)原始分值計算算術平均數(shù)：

咖啡店 A = (4.5 + 68) / 2 = 36.25

咖啡店 B = (3 + 75) / 2 = 39

根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，我們得出結(jié)論咖啡店B是贏家。

如果我們對數(shù)字有一點敏感性，我們會知道在應用算術平均數(shù)得到精確的結(jié)果之前，我們首先需要標準化（normalize）數(shù)據(jù)集中的值至同一尺度。

所以，我們將來源一中的評價乘以20，將其從五星尺度拉伸到來源二的百分制尺度：

# 咖啡店A

4.6 * 20 = 90

(90 + 68) / 2 = 79

# 咖啡店B

3 * 20 = 60

(60 + 75) / 2 = 67.5

我們發(fā)現(xiàn)，其實咖啡店A才是贏家。

然而，幾何平均數(shù)，允許我們在不考慮尺度問題的前提下得到一樣的結(jié)論：

咖啡店A = (4.5 * 68) 的平方根 = 17.5

咖啡店B = (3 * 75) 的平方根 = 15

算術平均數(shù)被尺度較大的數(shù)字支配了，以至于得出了錯誤的結(jié)果。這是因為算術平均數(shù)期望數(shù)字間的加法關系，而沒有考慮尺度和比例問題。所以需要在應用算術平均數(shù)之前將數(shù)字轉(zhuǎn)換為同一尺度。

另一方面，幾何平均數(shù)，很容易就能處理比例問題，因為它本質(zhì)上是乘法關系。這是一個極為有用的性質(zhì)，但注意我們損失了什么：我們不再具有可解釋的尺度了。在這樣的情況下，幾何平均數(shù)其實是無單位的（unitless）。

例如，以上的幾何平均數(shù)既不意味著百分制中的17.5分，也不意味著五星制中的15星。它們不過是無單位的數(shù)字，互相之間比例一致（技術上說，它們的尺度是原尺度5 & 100的幾何平均數(shù)，也就是22.361）。不過，如果我們只需比較兩間咖啡店評價的高低，那么這不會成為一個問題。

幾何平均數(shù)回顧

幾何平均數(shù)對值相乘，而不是相加，接著取n次方根，而不是除以n。

它基本上是在說：如果我們的數(shù)據(jù)集中的數(shù)字都是一樣的，那么這個數(shù)字應該是什么，才能得到和實際數(shù)據(jù)集一樣的乘積？

這使它非常適合描述相乘關系，例如比率，即使這些比率的尺度不同。（因此，它經(jīng)常用來計算財經(jīng)指數(shù)和其他指數(shù)。）

缺點：應用幾何平均數(shù)時，可能會丟失有意義的尺度和單位。另外，它對離散值的不敏感性可能會遮蔽可能具有較大影響的大數(shù)值。

和生活中的大多數(shù)事情一樣，極少有牢不可破的規(guī)則說必須使用幾何平均數(shù)（復利等少數(shù)情形除外）。有一些啟發(fā)式的規(guī)則和經(jīng)驗規(guī)則，但無疑需要判斷力和科學的懷疑，才能應用合理的經(jīng)驗。

在最后的總結(jié)中我們將繼續(xù)討論這些，不過現(xiàn)在讓我們引入最后一種畢達哥拉斯平均數(shù)……

調(diào)和平均數(shù)

算術平均數(shù)需要加法，幾何平均數(shù)則利用乘法，調(diào)和平均數(shù)使用倒數(shù)。

我們可以用語言描述調(diào)和平均數(shù)：數(shù)據(jù)集的倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)。

聽起來當中包含很多倒數(shù)，但實際上不過是一些簡單的步驟：

對數(shù)據(jù)集中的所有數(shù)字取倒數(shù)

找到這些倒數(shù)的算術平均數(shù)

對上一步所得取倒數(shù)

源自維基百科的一個簡單例子：1、4、4的調(diào)和平均數(shù)是2：

注意，由于0沒有倒數(shù)，因此調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)一樣，無法處理包含0的數(shù)據(jù)集。

好，我們已經(jīng)明白數(shù)學部分如何工作了。不過調(diào)和平均數(shù)適用于哪些場景呢？

調(diào)和平均數(shù)的現(xiàn)實世界應用

為了回答上面的問題，我們需要回答：倒數(shù)適用于哪些場景？

由于倒數(shù)和除法類似，不過是偽裝的乘法（乘法不過是偽裝的加法），我們意識到：倒數(shù)幫助我們更方便地除以分數(shù)。

例如，5 ÷ 3/7等于多少？如果你還記得初等數(shù)學，你大概會將5乘以7/3（3/7的倒數(shù)）。

不過有一個等價的方法，將5和3/7縮放至共同的分母：

5/1 ÷ 3/7 = 35/7 ÷ 3/7 = 35 ÷ 3 = 112/3 = 11.66667

類似之前使用幾何平均數(shù)作為快捷路徑，在未標準化的情況下找到不同尺度評分的相加算術平均數(shù)的關系，調(diào)和平均數(shù)幫助我們在不操心共同分母的情況下找到乘/除關系。

因此，調(diào)和平均數(shù)很自然地成為幾何平均數(shù)之上的另一層乘/除。因此，它有助于處理包含長度或周期不同的比率的數(shù)據(jù)集。

（你可能在想：“等一下，我原以為幾何平均數(shù)用在平均利率和不同尺度的比率上！”你想的沒錯。你也不是第一個為此感到困惑的人。我自己寫下下面的內(nèi)容正是為了厘清我自己的思考和理解。我希望下面的例子讓這個主題更清楚了，在文章后面的總結(jié)部分也會回顧所有的區(qū)別。）

平均速度

現(xiàn)實世界中，使用調(diào)和平均數(shù)的經(jīng)典例子是以不同的速度通過物理空間。

考慮一次去便利店并返回的行程：

去程速度為30 mph

返程時交通有一些擁堵，所以速度為10 mph

去程和返程走的是同一路線，也就是說距離一樣（5 miles）

整個行程的平均速度是多少？

同樣，我們可以不假思索地直接應用30 mph和10 mph的算術平均數(shù)，然后自豪地宣布結(jié)果是20 mph。

但是再想一想：由于你在一個方向上的速度較高，因此你更快地完成了去程的5 miles，在那個速度上花了整個行程中更少的時間，所以整個行程期間你的平均速度不會是30 mph和10 mph的中點，它應該更接近10 mph，因為你更多的時間是以10 mph的速度行駛。

為了正確地應用算術平均數(shù)，我們需要判定以每種速率行駛所花的時間，然后以適當?shù)臋嘀丶訖嗨阈g平均數(shù)的計算：

去程：5 / (30/60) = 10 minutes

返程：5 / (10/60) = 30 minutes

總行程：10 + 30 = 40 minutes

加權算術平均數(shù)：(30 * 10/40) + (10 * 30/40) = 15 mph

所以，我們看到，真正的平均速度是15 mph，比使用未加權的算術平均數(shù)計算所得低了5 mph（或者25%）。

你大概猜到了我們下面要做什么……

讓我們試著使用調(diào)和平均數(shù)：

2 / (1/30 + 1/10) = 15

真正的行程平均速度，自動根據(jù)在每個方向上使用的時間進行調(diào)整，是15 mph！

有一些地方需要注意：

可以直接應用調(diào)和平均數(shù)的前提是不同速度行駛的總距離是相等的。如果距離不同，我們需要使用加權調(diào)和平均數(shù)，或加權算術平均數(shù)。

當距離不等時，算術平均數(shù)仍然以不同速度行駛的時間作為加權，而調(diào)和平均數(shù)則以不同速度行駛的距離作為加權（因為通過取倒數(shù)，已經(jīng)隱式地考慮了不同速度的時間比例）。

畢達哥拉斯平均數(shù)大部分的復雜性和麻煩源于比率的本質(zhì)以及我們對比率的哪方面更感興趣。例如，算術平均數(shù)總是用分母的單位表示。在行程問題中，比率是每小時的英里數(shù)，因此，算術平均數(shù)給出的結(jié)果是以分母（某種意義上隱藏的）單位表示，小時：(30m / 1hr + 10m / 1hr) ÷ 2 = 20m/1hr = 20 mph。如果我們在每個方向上所花的時間是一樣的，那么這個結(jié)果會是精確的。然而，我們知道，在每個方向上所花的時間并不一樣。相反，調(diào)和平均數(shù)通過取倒數(shù)翻轉(zhuǎn)這些比率，將我們實際感興趣的數(shù)字放入分母，接著取算術平均數(shù)，并再次翻轉(zhuǎn)，給出我們要求的平均速度。（可以使用財經(jīng)的P/E率更深入地探討這一問題，請參閱論文Using the Price-to-Earnings Harmonic Mean to Improve Firm Valuation Estimates。）

幾何平均數(shù)適用于復利問題的原因是，利率的周期是相等的：每種利率一年。如果周期是可變的，也就是說每種利率的持續(xù)時間不同，那么我們同樣需要使用某種權重。

幾何平均數(shù)可以處理相乘關系，例如復利問題和不同評分尺度上的比率，而調(diào)和平均數(shù)則通過神奇的倒數(shù)容納了另一層次的乘/除關系，例如可變周期或長度。

類似復利問題和幾何平均數(shù)，這是一個準確、客觀正確的調(diào)和平均數(shù)的應用案例。不過，事情并不總是如此清晰。有其他準確的、可以在數(shù)學上論證的調(diào)和平均數(shù)的應用，包括物理、財經(jīng)、水文學，甚至（源自傳統(tǒng)）棒球統(tǒng)計。和數(shù)據(jù)科學關系更密切的：調(diào)和平均數(shù)經(jīng)常用在評估機器學習模型的準確率和召回中。但是，在更多的情況下，調(diào)和平均數(shù)的應用需要判斷力，需要你對數(shù)據(jù)和手頭問題的靈活理解。

總結(jié)

1. 3種畢達哥拉斯平均數(shù)密切相關

例如，我們已經(jīng)看到：

不同尺度評分的幾何平均數(shù)有時保留了這些值標準化至同一尺度后的算術平均數(shù)的次序。

調(diào)和平均數(shù)等價于行程速度的加權算術平均數(shù)（權重為相對行程時間）

在下篇中，我們將看到，數(shù)據(jù)集的幾何平均數(shù)等價于數(shù)據(jù)集中每個數(shù)字的對數(shù)的算術平均數(shù)。所以，正如調(diào)和平均數(shù)不過是算術平均數(shù)加上一些倒數(shù)變換，幾何平均數(shù)不過是算術平均數(shù)加上對數(shù)變換。

2. 畢達哥拉斯平均數(shù)遵循嚴格的次序

根據(jù)相應的公式，調(diào)和平均數(shù)總是小于幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)總是小于算術平均數(shù)。

這三種平均數(shù)是彼此接近還是互相遠離，取決于數(shù)據(jù)的分布。以上規(guī)則唯一的例外是，在數(shù)據(jù)集中所有數(shù)字相等的極端情形下，3種平均數(shù)同樣相等。也就是說，以下不等關系成立：

調(diào)和平均數(shù) ≤ 幾何平均數(shù) ≤ 算術平均數(shù)

從本節(jié)開頭的畢達哥拉斯平均數(shù)的幾何描述中也能看到這一點。

認識到這一次序關系有助于理解何時應用哪種平均數(shù)，以及不同平均數(shù)對結(jié)果的影響。

讓我們回顧之前的相加和相乘數(shù)據(jù)集，這次我們將畫出所有三種平均數(shù)：

很明顯，幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)看起來要比這一線性、相加數(shù)據(jù)集的中間低不少。這是因為這兩種平均數(shù)對較小的數(shù)字而不是較大的數(shù)字更敏感（讓它們相對而言對較大的離散值不敏感）。

這里，幾何平均數(shù)準確地位于數(shù)據(jù)集的中點，而調(diào)和平均數(shù)則向低端扭曲，算術平均數(shù)則受較大的離散值的影響，向高端扭曲。

描繪一個集中趨勢用調(diào)和平均數(shù)表達最佳的數(shù)據(jù)集并不容易，因此我將直接轉(zhuǎn)入下一部分……

3. 強硬的規(guī)則，一些啟發(fā)式的方法，和許多判斷的空間

不同尺度的比率：使用幾何平均數(shù)（或在標準化的數(shù)據(jù)上應用算術平均數(shù)）。

周期一致的復合比率：使用幾何平均數(shù)。

不同周期或長度上的比率：使用調(diào)和平均數(shù)（或加權平均數(shù)）。

了解比率的哪一邊你更感興趣，以決定應用哪種平均數(shù)。算術平均數(shù)是以分母的單位表達的（顯式或隱式）。調(diào)和平均數(shù)讓你可以倒置比率，讓結(jié)果以原本分子的單位表達。

如果數(shù)據(jù)體現(xiàn)出相加結(jié)構：算術平均數(shù)通常是安全的選擇。

如果數(shù)據(jù)體現(xiàn)出相乘結(jié)構和/或包含較大的離散值：幾何平均數(shù)或調(diào)和平均數(shù)可能更合適（中位數(shù)可能也比較合適）。

任何決定都有缺陷和折衷：

使用幾何平均數(shù)可能損失有意義的尺度或單位。

包含0的數(shù)據(jù)集無法應用幾何平均數(shù)或調(diào)和平均數(shù)，包含負數(shù)的數(shù)據(jù)集意味著無法應用幾何平均數(shù)。

使用幾何平均數(shù)或調(diào)和平均數(shù)時，受眾可能不熟悉這兩個概念。

經(jīng)常，更實用、更易解釋的方法是：

存在較大的離散值時直接使用中位數(shù)

移除離散值

使用加權算術平均數(shù)或統(tǒng)計學變換，而不是難懂的畢達哥拉斯平均數(shù)

統(tǒng)計計算語言R內(nèi)置矩陣求逆和三次樣條插值的方法，卻沒有內(nèi)置計算簡單的幾何平均數(shù)或調(diào)和平均數(shù)的函數(shù)，這可能多少暗示了這兩種平均數(shù)狹窄的使用場景。（不過Google sheets和Excel倒是包含這兩種平均數(shù)。）

如果要用一句話概括整篇文章，那么：

理解數(shù)據(jù)的本質(zhì)，仔細思考你用來描述數(shù)據(jù)的概述統(tǒng)計量，才能避免用錯平均數(shù)的風險。

請留言分享你使用這兩種不那么常見的畢達哥拉斯平均數(shù)的案例和經(jīng)歷（以及你發(fā)現(xiàn)的本文的錯誤）。