基于權(quán)重系聯(lián)的線性自動(dòng)編碼器

現(xiàn)代的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常具有海量參數(shù)，甚至高于訓(xùn)練數(shù)據(jù)的大小。這就意味著，這些深度網(wǎng)絡(luò)有著強(qiáng)烈的過擬合傾向。緩解這一傾向的技術(shù)有很多，包括L1、L2正則、及早停止、組歸一化，以及dropout。在訓(xùn)練階段，dropout隨機(jī)丟棄隱藏神經(jīng)元及其連接，以打破神經(jīng)元間的共同適應(yīng)。盡管dropout在深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練中取得了巨大的成功，關(guān)于dropout如何在深度學(xué)習(xí)中提供正則化機(jī)制，目前這方面的理論解釋仍然很有限。

最近，約翰·霍普金斯大學(xué)的Poorya Mianjy、Raman Arora、Rene Vidal在ICML 2018提交的論文On the Implicit Bias of Dropout，重點(diǎn)研究了dropout引入的隱式偏置。

基于權(quán)重系聯(lián)的線性自動(dòng)編碼器

為了便于理解dropout的作用機(jī)制，研究人員打算在簡(jiǎn)單模型中分析dropout的表現(xiàn)。具體而言，研究人員使用的簡(jiǎn)單模型是只包含一個(gè)隱藏層的線性網(wǎng)絡(luò)。該網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)是找到最小化期望損失（平方損失）的權(quán)重矩陣U、V：

上式中，x為輸入，y為標(biāo)注輸出，D為輸入x的分布，h表示隱藏層。

學(xué)習(xí)算法為帶dropout的隨機(jī)梯度下降，其目標(biāo)為：

其中，dropout率為1-θ，具體的算法為：

這一算法的目標(biāo)等價(jià)于（推導(dǎo)過程見論文附錄A.1）：

其中，λ = (1-θ)/θ

研究人員又令U = V，進(jìn)一步簡(jiǎn)化模型為權(quán)重系聯(lián)的單隱藏層線性自動(dòng)編碼器。相應(yīng)地，該網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)為：

研究人員證明了，如果矩陣U是以上目標(biāo)的全局最優(yōu)解，那么U的所有列范數(shù)相等。這意味著，dropout傾向于給所有隱藏節(jié)點(diǎn)分配相等的權(quán)重，也就是說，dropout給整個(gè)網(wǎng)絡(luò)加上了隱式的偏置，傾向于讓隱藏節(jié)點(diǎn)都具有類似的影響，而不是讓一小部分隱藏節(jié)點(diǎn)具有重要影響。

上圖可視化了參數(shù)λ的不同取值的效果。該網(wǎng)絡(luò)為單隱藏層線性自動(dòng)編碼器，搭配一維輸入、一維輸出，隱藏層寬度為2。當(dāng)λ = 0時(shí)，該問題轉(zhuǎn)換為平方損失最小化問題。當(dāng)λ > 0時(shí)，全局最優(yōu)值向原點(diǎn)收縮，所有局部極小值均為全局最小值（證明過程見論文第4節(jié)）。當(dāng)λ增大時(shí)，全局最優(yōu)值進(jìn)一步向原點(diǎn)收縮。

單隱藏層線性網(wǎng)絡(luò)

接著，研究人員將上述結(jié)果推廣到了單隱藏層線性網(wǎng)絡(luò)。回憶一下，這一網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)為：

和權(quán)重系聯(lián)的情形類似，研究人員證明了，如果矩陣對(duì)（U, V）是以上目標(biāo)的全局最優(yōu)解，那么，‖ui‖‖vi‖ = ‖u1‖‖v1‖，其中，i對(duì)應(yīng)隱藏層的寬度。

研究人員進(jìn)一步證明，前面提到的單隱藏層線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)等價(jià)于正則化的矩陣分解（regularized matrix factorization）：

利用矩陣分解這一數(shù)學(xué)工具，研究人員證明了全局最佳值可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)找到：

試驗(yàn)

研究人員試驗(yàn)了一些模型，以印證前面提到的理論結(jié)果。

上圖可視化了dropout的收斂過程。和之前的可視化例子類似，模型為單隱藏層線性自動(dòng)編碼器，一維輸入、一維輸出，隱藏層寬度為2。輸入取樣自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。綠點(diǎn)為初始迭代點(diǎn)，紅點(diǎn)為全局最優(yōu)點(diǎn)。從圖中我們可以看到，在不同的λ取值下，dropout都能迅速收斂至全局最優(yōu)點(diǎn)。

研究人員還在一個(gè)淺層線性網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行了試驗(yàn)。該網(wǎng)絡(luò)的輸入x ∈ ?80，取樣自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。網(wǎng)絡(luò)輸出y ∈ ?120，由y = Mx生成，其中M ∈ ?120x80均勻取樣自右、左奇異子空間（指數(shù)譜衰減）。下圖展示了不同參數(shù)值（λ ∈ {0.1, 0.5, 1}）與不同隱藏層寬度（r ∈ {20, 80}）的組合。藍(lán)色曲線為dropout不同迭代次數(shù)下對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值，紅線為目標(biāo)的最優(yōu)值?？偣策\(yùn)行了50次，取平均數(shù)。

上：r = 20；下：r = 80

上圖最后一列為“重要性評(píng)分”的方差。重要性評(píng)分的計(jì)算方法為：‖uti‖‖vti‖，其中t表示時(shí)刻（迭代），i表示隱藏層節(jié)點(diǎn)。從上圖我們看到，隨著dropout的收斂，“重要性評(píng)分”的方差單調(diào)下降，最終降至0. 且λ較大時(shí)，下降較快。

結(jié)語

這項(xiàng)理論研究確認(rèn)了dropout是一個(gè)均質(zhì)地分配權(quán)重的過程，以阻止共同適應(yīng)。同時(shí)也從理論上解釋了dropout可以高效地收斂至全局最優(yōu)解的原因。

研究人員使用的是單隱藏層的線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因此，很自然地，下一步的探索方向?yàn)椋?/p>

更深的線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

使用非線性激活的淺層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，例如ReLU（ReLU可以加速訓(xùn)練）