L2損失函數(shù)的效果是否真的那么好呢？其他損失函數(shù)表現(xiàn)如何？

盡管早在上世紀80年代末，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就在手寫數(shù)字識別上表現(xiàn)出色。直到近些年來，隨著深度學(xué)習(xí)的興起，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)才在計算機視覺領(lǐng)域呈現(xiàn)指數(shù)級的增長。現(xiàn)在，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)幾乎在所有計算機視覺和圖像處理的任務(wù)中都有應(yīng)用。

相比各種層出不窮的用于計算機視覺和圖像處理的新網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，這一領(lǐng)域神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)相對而言并不那么豐富多彩。大多數(shù)模型仍然使用L2損失函數(shù)（均方誤差）。然而，L2損失函數(shù)的效果是否真的那么好呢？其他損失函數(shù)表現(xiàn)如何？下面我們將簡單介紹常用的圖像處理損失函數(shù)，并比較其在典型圖像處理任務(wù)上的表現(xiàn)。

L1、L2損失函數(shù)

最容易想到的損失函數(shù)的定義，就是逐像素比較差異。為了避免正值和負值相互抵消，我們可以對像素之差取絕對值或平方。

取絕對值就得到了L1損失函數(shù)：

取平方則得到了L2損失函數(shù)：

和L1相比，L2因為取平方的關(guān)系，會放大較大誤差和較小誤差之間的差距，換句話說，L2對較大誤差的懲罰力度更大，而對較小誤差更為容忍。

除此之外，L1和L2基本上差不多。

實際上，Nvidia的研究人員Hang Zhao等嘗試過交替使用L1和L2損失函數(shù)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)（arXiv:1511.08861v3），發(fā)現(xiàn)隨著訓(xùn)練的進行，在測試集上的L2損失都下降了。

橙：前半段L1、后半段L2；藍：前半段L2、后半段L1

順便提下，從上圖可以看到，前半段L2損失陷入了局部極小值。

不管是L1損失函數(shù)，還是L2損失函數(shù)，都有兩大缺陷：

假定噪聲的影響和圖像的局部特性是獨立的。然而，人類的視覺系統(tǒng)對噪聲的感知受局部照度、對比、結(jié)構(gòu)的影響。

假定噪聲接近高斯白噪聲，然而這一假定并不總是成立。

SSIM、MS-SSIM損失函數(shù)

為了將人類視覺感知納入考量，可以使用基于SSIM或MS-SSIM的損失函數(shù)。SSIM、MS-SSIM是綜合了人類主觀感知的指標。

SSIM（structural similarity，結(jié)構(gòu)相似性）的直覺主要是：人眼對結(jié)構(gòu)（structure）信息很敏感，對高亮度區(qū)域（luminance）和“紋理”比較復(fù)雜（contrast）的區(qū)域的失真不敏感。MS-SSIM（Multi-Scale SSIM，多尺度SSIM）則額外考慮了分辨率這一主觀因素（例如，高分辨率的視網(wǎng)膜顯示器上顯而易見的失真，在低分辨率的手機上可能難以察覺）。

相應(yīng)地，基于SSIM的損失函數(shù)的定義為：

不過，由于損失函數(shù)通常配合卷積網(wǎng)絡(luò)使用，這就意味著計算損失函數(shù)的時候其實只用計算中央像素的損失，即：

通過上述中央像素損失函數(shù)訓(xùn)練所得的卷積核，仍將應(yīng)用于圖像中的每個像素。

同理，基于MS-SSIM的損失函數(shù)為：

另外，我們知道，損失函數(shù)除了要準確地表達模型的目標之外，還需要是可微的，這樣才能通過基于梯度下降的方法在反向傳播階段訓(xùn)練。顯然，L1和L2是可微的。

事實上，基于SSIM和MS-SSIM的損失函數(shù)也同樣是可微的。這里省略具體的推導(dǎo)過程，直接給出結(jié)論。

對基于SSIM的損失函數(shù)而言：

其中，l和cs分別為SSIM的第一項和第二項，其梯度為：

其中，Gσ_G為像素的高斯系數(shù)。這里我們看到，盡管之前的損失函數(shù)只考慮了中央像素，但因為在計算梯度的時候，實際上需要像素的高斯系數(shù)，因此誤差仍然能夠反向傳播至所有像素。

相應(yīng)地，基于MS-SSIM的損失函數(shù)的梯度計算公式為：

不過，由于基于MS-SSIM的損失函數(shù)需要在每個尺度上都重復(fù)算一遍梯度，會大大拖慢訓(xùn)練速度（每一次迭代都相當(dāng)于M次迭代），因此實踐中往往轉(zhuǎn)而采用某個逼近方法計算。例如，使用M組不同的Gσ_G值作為替代，每組值為前一組的1/2.

評測

Hang Zhao等在JPEG去噪、去馬賽克，超分辨率重建，JPEG去區(qū)塊效應(yīng)等場景對比了不同損失函數(shù)的效果。

去噪、去馬賽克

上圖中的BM3D代表CFA-BM3D，為當(dāng)前最先進的降噪算法。我們看到，在天空這樣的平坦區(qū)域（d），L2損失函數(shù)出現(xiàn)了污跡失真（splotchy artifact）。

超分辨率

仔細觀察下圖蝴蝶翅膀的黑帶處，可以看到L2出現(xiàn)了光柵失真（grating artifacts）。

同樣，下圖女孩的面部，也可以觀察到L2的光柵失真。

去區(qū)塊

仔細觀察建筑物邊緣的區(qū)塊，可以看到L1比L2去區(qū)塊效果要好。

天空區(qū)域的區(qū)塊效應(yīng)更明顯，相應(yīng)地，L1在去區(qū)塊方面表現(xiàn)優(yōu)于L2這點就更明顯了。

更多去區(qū)塊的例子印證了我們上面的觀察。

混合損失函數(shù)

你應(yīng)該已經(jīng)注意到了，上面的對比圖中有一個“Mix”，而且事實上它是看起來效果最好的那個。這個“Mix”其實是Hang Zhao等提出的混合了MS-SSIM和L1得到的損失函數(shù)：

這個混合損失函數(shù)的定義很簡單，基本上就是MS-SSIM和L1的加權(quán)和，只不過因為MS-SSIM反向傳播誤差時需要用到G高斯分布參數(shù)，因此在L1部分也分素相乘相應(yīng)的分布參數(shù)而已。

Hang Zhao等經(jīng)過一些試驗，將α定為0.84，使兩部分損失的貢獻大致相等（試驗發(fā)現(xiàn)，α的微小變動對結(jié)果的影響不顯著）。

以上我們已經(jīng)從視覺上演示了MS-SSIM+L1混合損失函數(shù)效果最佳。定量測試也表明，在多種圖像處理任務(wù)上，基于多種圖像質(zhì)量指標，總體而言，混合損失函數(shù)的表現(xiàn)最好。

網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)

上述試驗所用的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)為全卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）：

輸入為31x31x3.

第一個卷積層為64x9x9x3.

第二個卷積層為64x5x5x64.

輸出卷積層為3x5x5x64.

內(nèi)卷積層的激活函數(shù)為PReLU。

數(shù)據(jù)集

訓(xùn)練集取自MIT-Adobe FiveK數(shù)據(jù)集，共700張RGB圖像，尺寸調(diào)整為999x666. 測試集取自同一數(shù)據(jù)集，共40張圖像。

結(jié)語

總結(jié)一下以上評測：

在很多場景下，L2損失函數(shù)的表現(xiàn)并不好。有時可以嘗試下同樣簡單的L1損失函數(shù)，說不定能取得更好的效果。

由于未考慮到主觀感知，很多場景下，基于SSIM或MS-SSIM的損失函數(shù)能取得比L1、L2更好的效果。

結(jié)合MS-SSIM和L1通常會有奇效。

總之，雖然L2損失函數(shù)是用于圖像處理的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)事實上的標準，但也不可迷信，不假思索地選用L2可能會錯過更優(yōu)的選擇。