用有限元分析對圣維南原理進行探究

基本上所有的結(jié)構(gòu)工程師都會使用到圣維南原理。大多數(shù)結(jié)構(gòu)力學(xué)教科書都收錄了基于該原理的各種公式，但至今尚未對其進行嚴格證明。圣維南原理指出，只要載荷的合力正確，那么在遠離載荷作用區(qū)的地方，載荷的精確分布就不重要。在本文中，我們將采用有限元分析對圣維南原理進行探究。

圣維南原理的歷史

1855 年，法國科學(xué)家圣維南（Barré de Saint-Venant）發(fā)表了一個著名原理，但與其說這是一個嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)命題，不如說是一個觀察發(fā)現(xiàn)：

“如果作用在彈性體一小塊表面上的力被作用于同一塊表面上的靜力等效力系替代，這種替換僅使局部表面產(chǎn)生顯著的應(yīng)力變化，而在比應(yīng)力變化表面的線性尺寸更遠的地方，其影響可忽略不計。”

B. Saint-Venant, Mém. savants étrangers, vol. 14, 1855.

圣維南肖像。圖像來源于公有領(lǐng)域，通過 Wikimedia Commons 共享。

在應(yīng)用力學(xué)領(lǐng)域，Boussinesq、Love、von Mises、Toupin 等科學(xué)家都對這一原理進行了精準的敘述，并給出了數(shù)學(xué)證明。但是對于很多一般性問題，論證圣維南原理具有很大難度，所以對該課題的研究仍在繼續(xù)（有些論據(jù)相當鮮明）。

簡單案例：遠距離應(yīng)力分析

讓我們從一個簡單的案例開始：對矩形薄板施加軸向拉力，與載荷作用邊相隔一段距離處有一個圓孔。假如我們要分析孔的應(yīng)力集中，那么實際的載荷分布有多重要呢？

我們對右側(cè)邊界施加了三種不同類型的載荷：

100 MPa 的恒定軸向應(yīng)力

峰值振幅為 150 MPa 的對稱拋物線應(yīng)力分布

等于上述兩種載荷工況合力的中心點載荷

如下方繪圖所示，載荷施加方式不影響孔周圍的應(yīng)力分布。當然，關(guān)鍵在于孔距離載荷足夠遠。

三種載荷工況對應(yīng)的 Von Mises 應(yīng)力分布。

該場景也可以使用箭頭圖來繪制主應(yīng)力。此圖將應(yīng)力場繪制為通量，從而清晰地展示了應(yīng)力重新分布的變化。

三種載荷工況的主應(yīng)力繪圖。請注意，使用點載荷時出現(xiàn)了一個奇異點。

通過繪制應(yīng)力曲線，我們發(fā)現(xiàn)當圓孔與受力邊相距一定距離后，三種工況的曲線就會聚在一起，這個距離大約等于板的寬度。

頂邊上的應(yīng)力隨與受力邊界間距的變化而變化。距離為通過板寬進行標準化后的值。

如果孔向載荷作用邊靠近，結(jié)果就會不同。這時，孔周圍的應(yīng)力狀況取決于應(yīng)力分布。更有意思的是，孔到三個應(yīng)力場趨向一致的位置的距離是到載荷邊界距離的兩倍。應(yīng)用圣維南原理的前提是應(yīng)力可以自由地重新分布。然而在此例中，孔在一定程度上阻礙了應(yīng)力重新分布。

孔離受力邊更近時，頂邊的應(yīng)力分布。

值得注意的是，圣維南原理指出：當距離大約等于載荷作用區(qū)的線性尺寸量級時，應(yīng)力狀態(tài)沒有差別。不過，要考慮的受載區(qū)卻未必是真正加載的地方！這個說法聽起來或許很奇怪，我們可以這樣想：當孔距離較遠時，我們可根據(jù)參考書（我的參考書為 4.32），而不是使用有限元解來計算應(yīng)力集中系數(shù)。參考書中有一個隱含假設(shè)：在第一個載荷工況中，載荷是均勻分布的。因此，即便載荷實際上只施加到一小塊邊界上，該例中的臨界距離仍與整個邊界尺寸都有關(guān)。

如果使用有限元方法（FEM）來求解問題，孔可以任意接近載荷。唯一的限制是，從物理的角度來看，載荷分布是明確定義的。不過，只要我們對重新分布做出假設(shè)，就會存在關(guān)于載荷分布的隱含假設(shè)，而這個假設(shè)可能與實際情況不同。

零力系與應(yīng)變能密度

我們在上文中解釋了在特定的適當距離之外，應(yīng)力大小，其大小與載荷大小無關(guān)。因此，在處理線彈性時，我們總是可以疊加載荷工況。當證明圣維南原理時，很容易沿著這個思路總結(jié)出一個原則：由無合力或力矩的載荷系統(tǒng)引起的應(yīng)力在一定距離之外很小，該距離與載荷作用邊界的尺寸是同一數(shù)量級。

所以，我們將對兩個合力相同的載荷系統(tǒng)的差別所導(dǎo)致的應(yīng)力進行研究。近代的大多數(shù)證明都以這類零力系的應(yīng)變能密度的衰減的估計值為基礎(chǔ)。

回到上面的問題，我們可以計算各個載荷工況的差別，借此對由應(yīng)力場的差別造成的應(yīng)力或應(yīng)變能密度的衰減現(xiàn)象進行準確的研究。

合力為零的載荷工況的應(yīng)變能密度的對數(shù)。

合力為零的載荷工況對應(yīng)的薄板應(yīng)變能密度。為了使能量僅僅取決于與載荷的距離而變化，對垂直方向的能量進行了積分。

應(yīng)變能密度的對數(shù)衰減率與同載荷作用邊界的距離或多或少呈線性關(guān)系。這實際上符合現(xiàn)代證明的預(yù)測——應(yīng)變能密度的指數(shù)衰減。我們還能清晰地看到圓孔是如何短暫降低衰減率的。

對薄壁結(jié)構(gòu)應(yīng)用圣維南原理

眾所周知，對于殼體、梁和桁架之類的薄壁結(jié)構(gòu)，我們不能按處理“結(jié)實”物體的方式來應(yīng)用圣維南原理。因為薄壁結(jié)構(gòu)內(nèi)的載荷路徑少得多，所以擾動傳播的距離比想象中遠。上文的圓孔案例也出現(xiàn)了這種現(xiàn)象，只是薄壁結(jié)構(gòu)更加顯著。

在本文中，我們選擇研究一個符合 IPE100 截面標準的梁。梁末端受到軸向應(yīng)力的作用，應(yīng)力大小在兩個橫截面方向均呈線性分布。

使用等值線和箭頭來表示載荷分布。

由于載荷具有對稱性，因此其合力為零，所有軸線周圍的力矩也為零。橫截面高 100 mm，如果圣維南原理的標準形式對其適用，那么在距離末端截面約 100 mm 的地方應(yīng)力應(yīng)該很小。

梁內(nèi)的有效應(yīng)力。紅色等值線表示低于施加的峰值應(yīng)力的 5% 的應(yīng)力。

事實證明，為了使應(yīng)力低于施加的峰值應(yīng)力的 5%，應(yīng)力必須沿梁移動近一米的距離，而上翼緣和下翼緣需要通過薄腹板傳遞力矩來保持平衡，這就造成應(yīng)力重新分布的效率非常低。

如果你十分熟悉梁的非均勻扭轉(zhuǎn)理論，比如翹曲理論或弗拉索夫理論，就會意識到施加的載荷有很大的雙力矩。雙力矩是一個橫截面量，其物理大小等于力 X 長度 2。

或許在此例中（只是我個人的推測），圣維南原理有效的條件不僅是力和力矩為零，還有雙力矩為零。這一點可以通過增加四個可抵消雙力矩的點載荷來實現(xiàn)。該分析的結(jié)果如下圖所示。

繪圖顯示了添加了四個點載荷，雙力矩變?yōu)榱愫蟮挠行?yīng)力?，F(xiàn)在 5% 的應(yīng)力等值線十分靠近載荷作用邊界。

我們沒有特意選擇施加點載荷的最優(yōu)位置，點載荷產(chǎn)生了極大的（實際為奇異的）局部應(yīng)力。不過，應(yīng)力很快下降，超出 100 mm 左右后都小于 5%。5% 的下限仍然是針對所施加的分布載荷而言，并沒有根據(jù)新的局部應(yīng)力進行調(diào)整。增加點載荷之后，應(yīng)變能密度的對數(shù)衰減率加快了兩倍。

有限元分析中的圣維南原理

很多情況下，你可以直觀地認為圣維南原理適用于有限元離散化問題。在本文中，我們主要探討分布載荷和不相容網(wǎng)格。

分布載荷

雖然我們在有限元模型中將應(yīng)力設(shè)為連續(xù)的邊界載荷，但總要將應(yīng)力施加在網(wǎng)格節(jié)點上。如下方案例所示，根據(jù)虛功原理載荷分布到單元內(nèi)部節(jié)點。

線性分布載荷以及如何將其施加在邊長為 L 的二階拉格朗日單元節(jié)點上。

不過，只要合力和力矩相同，相同的節(jié)點載荷可以對應(yīng)無數(shù)種載荷分布。顯然，這類情況的有限元問題都擁有相同的解。不過，我們可以根據(jù)圣維南原理推斷，只要相距一定距離，這類載荷本質(zhì)上應(yīng)該產(chǎn)生相同的應(yīng)力場。

由于載荷重新分布的區(qū)域尺寸是基于單元面的，因此線性尺寸本質(zhì)上是結(jié)構(gòu)內(nèi)部的一個單元層。所以，單元最外層的解可能與實際載荷不符，內(nèi)部的解則相同。

舉個例子，我們對一塊矩形板施加了應(yīng)力呈指數(shù)分布的邊界載荷，并采用細化網(wǎng)格進行了計算，應(yīng)力結(jié)果如下圖所示。

軸向應(yīng)力分布的等值線圖。

不出所料，受圣維南原理的影響，在離載荷作用邊一定距離的地方，應(yīng)力場重新分布成了純彎曲狀態(tài)。不過，這不是本次討論的核心。我們研究的是上方的應(yīng)力分布與使用粗化網(wǎng)格得到的應(yīng)力分布之間的差別。

采用三種不同網(wǎng)格對應(yīng)的軸向應(yīng)力誤差。注意三者尺度不同。網(wǎng)格越細，誤差越小，這符合預(yù)期。

可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過第一個單元層之后，誤差快速減少。圖中實際上是網(wǎng)格的收斂性和符合圣維南原理的應(yīng)力重新分布的共同效果。

不相容網(wǎng)格

當兩個相互連接的單元的形函數(shù)不匹配時，會出現(xiàn)不相容網(wǎng)格。這類問題最常見于使用一致對和連續(xù)性條件來連接裝配的情況。為了舉例說明，我們選擇對一根包含故意不匹配的網(wǎng)格的直桿進行研究。通過施加簡單的載荷工況，比如單軸拉伸，我們就能研究由過渡導(dǎo)致的應(yīng)力擾動。

不相容網(wǎng)格過渡處的軸向應(yīng)力。圖片使用了二階單元。

左右兩側(cè)的節(jié)點傳遞的力并不符合應(yīng)力不變的假設(shè)。這種情況也可以被看作局部載荷在等于單元大小的區(qū)域上進行重新分布。根據(jù)圣維南原理，我們推斷在“單元大小”的距離之外，擾動會逐漸消失。下面我們研究一下軸向網(wǎng)格細化后，將會出現(xiàn)什么情況。

應(yīng)力誤差大于 0.1% 的區(qū)域。在軸向上使用了三種不同的離散化。

結(jié)果證明，擾動區(qū)域在垂直于過渡邊界的方向上不受離散化的影響。這與圣維南原理的推斷完全一致。

結(jié)束語

因為不可知詳細的載荷分布，所以如果不使用圣維南原理，很多結(jié)構(gòu)分析都難以進行。

在形式上，原理只對線彈性材料有效。在實踐中，我們每天也會直覺地將其應(yīng)用于其他類型的仿真。舉例來說，如果“帶孔板”案例中的材料是彈塑性的，只要屈服應(yīng)力大于邊界應(yīng)力，且孔周圍只有彈性變形，我們就會預(yù)測兩個分布載荷生成相同的結(jié)果。不過，因為點載荷周圍的材料發(fā)生了屈服，所以點載荷總是生成不同的解。