機(jī)器學(xué)習(xí)經(jīng)典損失函數(shù)比較

所有的機(jī)器學(xué)習(xí)算法都或多或少的依賴于對目標(biāo)函數(shù)最大化或者最小化的過程。我們常常將最小化的函數(shù)稱為損失函數(shù)，它主要用于衡量模型的預(yù)測能力。在尋找最小值的過程中，我們最常用的方法是梯度下降法，這種方法很像從山頂下降到山谷最低點的過程。

雖然損失函數(shù)描述了模型的優(yōu)劣為我們提供了優(yōu)化的方向，但卻不存在一個放之四海皆準(zhǔn)的損失函數(shù)。損失函數(shù)的選取依賴于參數(shù)的數(shù)量、局外點、機(jī)器學(xué)習(xí)算法、梯度下降的效率、導(dǎo)數(shù)求取的難易和預(yù)測的置信度等方面。這篇文章將介紹各種不同的損失函數(shù)，并幫助我們理解每種函數(shù)的優(yōu)劣和適用范圍。

由于機(jī)器學(xué)習(xí)的任務(wù)不同，損失函數(shù)一般分為分類和回歸兩類，回歸會預(yù)測給出一個數(shù)值結(jié)果而分類則會給出一個標(biāo)簽。這篇文章主要集中于回歸損失函數(shù)的分析。

1.均方誤差、平方損失——L2損失

均方誤差（MSE）是回歸損失函數(shù)中最常用的誤差，它是預(yù)測值與目標(biāo)值之間差值的平方和，其公式如下所示：

下圖是均方根誤差值的曲線分布，其中最小值為預(yù)測值為目標(biāo)值的位置。我們可以看到隨著誤差的增加損失函數(shù)增加的更為迅猛。

2.平均絕對誤差——L1損失函數(shù)

平均絕對誤差（MAE）也是一種常用的回歸損失函數(shù)，它是目標(biāo)值與預(yù)測值之差絕對值的和，表示了預(yù)測值的平均誤差幅度，而不需要考慮誤差的方向（注：平均偏差誤差MBE則是考慮的方向的誤差，是殘差的和），其公式如下所示：

平均絕對誤差和均方誤差（L1&L2）比較

通常來說，利用均方差更容易求解，但平方絕對誤差則對于局外點更魯棒，下面讓我們對這兩種損失函數(shù)進(jìn)行具體的分析。

無論哪一種機(jī)器學(xué)習(xí)模型，目標(biāo)都是找到能使目標(biāo)函數(shù)最小的點。在最小值處每一種損失函數(shù)都會得到最小值。但哪種是更好的指標(biāo)呢？讓我們用具體例子看一下，下圖是均方根誤差和平均絕對誤差的比較（其中均方根誤差的目的是與平均絕對誤差在量級上統(tǒng)一）:

左邊的圖中預(yù)測值與目標(biāo)值很接近，誤差與方差都很小，而右邊的圖中由于局外點的存在使得誤差變得很大。

由于均方誤差（MSE）在誤差較大點時的損失遠(yuǎn)大于平均絕對誤差（MAE），它會給局外點賦予更大的權(quán)重，模型會致力減小局外點造成的誤差，從而使得模型的整體表現(xiàn)下降。

所以當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中含有較多的局外點時，平均絕對誤差（MAE）更為有效。當(dāng)我們對所有觀測值進(jìn)行處理時，如果利用MSE進(jìn)行優(yōu)化則我們會得到所有觀測的均值，而使用MAE則能得到所有觀測的中值。與均值相比，中值對于局外點的魯棒性更好，這就意味著平均絕對誤差對于局外點有著比均方誤差更好的魯棒性。

但MAE也存在一個問題，特別是對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來說，它的梯度在極值點處會有很大的躍變，及時很小的損失值也會長生很大的誤差，這不利于學(xué)習(xí)過程。為了解決這個問題，需要在解決極值點的過程中動態(tài)減小學(xué)習(xí)率。MSE在極值點卻有著良好的特性，及時在固定學(xué)習(xí)率下也能收斂。MSE的梯度隨著損失函數(shù)的減小而減小，這一特性使得它在最后的訓(xùn)練過程中能得到更精確的結(jié)果。

在實際訓(xùn)練過程中，如果局外點對于實際業(yè)務(wù)十分重要需要進(jìn)行檢測，MSE是更好的選擇，而如果在局外點極有可能是壞點的情況下MAE則會帶來更好的結(jié)果。（注：L1和L2一般情況下與MAE和MSE性質(zhì)相同）

總結(jié)：L1損失對于局外點更魯棒，但它的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)使得尋找最優(yōu)解的過程低效；L2損失對于局外點敏感，但在優(yōu)化過程中更為穩(wěn)定和準(zhǔn)確。

但現(xiàn)實中還存在兩種損失都很難處理的問題。例如某個任務(wù)中90%的數(shù)據(jù)都符合目標(biāo)值——150，而其余的10%數(shù)據(jù)取值則在0-30之間。那么利用MAE優(yōu)化的模型將會得到150的預(yù)測值而忽略的剩下的10%（傾向于中值）；而對于MSE來說由于局外點會帶來很大的損失，將使得模型傾向于在0-30的方向取值。這兩種結(jié)果在實際的業(yè)務(wù)場景中都是我們不希望看到的。

那怎么辦呢？

讓我們來看看其他的損失函數(shù)吧！

3.Huber損失——平滑平均絕對誤差

Huber損失相比于平方損失來說對于局外點不敏感，但它同樣保持了可微的特性。它基于絕對誤差但在誤差很小的時候變成了平方誤差。我們可以使用超參數(shù)δ來調(diào)節(jié)這一誤差的閾值。當(dāng)δ趨向于0時它就退化成了MAE,而當(dāng)δ趨向于無窮時則退化為了MSE，其表達(dá)式如下，是一個連續(xù)可微的分段函數(shù)：

對于Huber損失來說，δ的選擇十分重要，它決定了模型處理局外點的行為。當(dāng)殘差大于δ時使用L1損失，很小時則使用更為合適的L2損失來進(jìn)行優(yōu)化。

Huber損失函數(shù)克服了MAE和MSE的缺點，不僅可以保持損失函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，同時可以利用MSE梯度隨誤差減小的特性來得到更精確的最小值，也對局外點具有更好的魯棒性。

但Huber損失函數(shù)的良好表現(xiàn)得益于精心訓(xùn)練的超參數(shù)δ。

4.Log-Cosh損失函數(shù)

對數(shù)雙曲余弦是一種比L2更為平滑的損失函數(shù)，利用雙曲余弦來計算預(yù)測誤差：

其優(yōu)點在于對于很小的誤差來說log(cosh(x))與（x**2）/2很相近，而對于很大的誤差則與abs(x)-log2很相近。這意味著logcosh損失函數(shù)可以在擁有MSE優(yōu)點的同時也不會受到局外點的太多影響。它擁有Huber的所有優(yōu)點，并且在每一個點都是二次可導(dǎo)的。二次可導(dǎo)在很多機(jī)器學(xué)習(xí)模型中是十分必要的，例如使用牛頓法的XGBoost優(yōu)化模型（Hessian矩陣）。

但是Log-cosh損失并不是完美無缺的，它還是會在很大誤差的情況下梯度和hessian變成了常數(shù)。

5.分位數(shù)損失（Quantile Loss）

在大多數(shù)真實世界的預(yù)測問題中，我們常常希望得到我們預(yù)測結(jié)果的不確定度。通過預(yù)測出一個取值區(qū)間而不是一個個具體的取值點對于具體業(yè)務(wù)流程中的決策至關(guān)重要。

分位數(shù)損失函數(shù)在我們需要預(yù)測結(jié)果的取值區(qū)間時是一個特別有用的工具。通常情況下我們利用最小二乘回歸來預(yù)測取值區(qū)間主要基于這樣的假設(shè)：取值殘差的方差是常數(shù)。但很多時候?qū)τ诰€性模型是不滿足的。這時候就需要分位數(shù)損失函數(shù)和分位數(shù)回歸來拯救回歸模型了。它對于預(yù)測的區(qū)間十分敏感，即使在非常數(shù)非均勻分布的殘差下也能保持良好的性能。下面讓我們用兩個例子看看分位數(shù)損失在異方差數(shù)據(jù)下的回歸表現(xiàn)。

上圖是兩種不同的數(shù)據(jù)分布，其中左圖是殘差的方差為常數(shù)的情況，而右圖則是殘差的方差變化的情況。我們利用正常的最小二乘對上述兩種情況進(jìn)行了估計，其中橙色線為建模的結(jié)果。但是我們卻無法得到取值的區(qū)間范圍，這時候就需要分位數(shù)損失函數(shù)來提供。

上圖中上下兩條虛線基于0.05和0.95的分位數(shù)損失得到的取值區(qū)間。從圖中可以清晰地看到建模后預(yù)測值得取值范圍。分位數(shù)回歸的目標(biāo)在于估計給定預(yù)測值的條件分位數(shù)。實際上分位數(shù)回歸就是平均絕對誤差的一種拓展（當(dāng)分位數(shù)為第50個百分位時其值就是平均絕對誤差）

分位數(shù)值得選擇在于我們是否希望讓正的或者負(fù)的誤差發(fā)揮更大的價值。損失函數(shù)會基于分位數(shù)γ對過擬合和欠擬合的施加不同的懲罰。例如選取γ為0.25時意味著將要懲罰更多的過擬合而盡量保持稍小于中值的預(yù)測值。γ的取值通常在0-1之間，圖中描述了不同分位數(shù)下的損失函數(shù)情況，明顯可以看到對于正負(fù)誤差不平衡的狀態(tài)。

我們可以利用分位數(shù)損失函數(shù)來計算出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或者樹狀模型的區(qū)間。下圖是計算出基于梯度提升樹回歸器的取值區(qū)間。90%的預(yù)測值起上下邊界分別是用γ值為0.95和0.05計算得到的。

在文章的最后，我們利用sinc(x)模擬的數(shù)據(jù)來對不同損失函數(shù)的性能進(jìn)行了比較。在原始數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上加入而高斯噪聲和脈沖噪聲（為了描述魯棒性）。下圖是GBM回歸器利用不同的損失函數(shù)得到的結(jié)果，其中ABCD圖分別是MSE,MAE,Huber,Quantile損失函數(shù)的結(jié)果：

我們可以看到MAE損失函數(shù)的預(yù)測值受到?jīng)_擊噪聲的影響更小，而MSE則有一定的偏差；Huber損失函數(shù)對于超參數(shù)的選取不敏感，同時分位數(shù)損失在對應(yīng)的置信區(qū)間內(nèi)給出了較好的估計結(jié)果。

希望小伙伴們能從這篇文章中更深入地理解損失函數(shù)，并在未來的工作中選擇合適的函數(shù)來更好更快地完成工作任務(wù)。

最后，附上本文中幾種損失函數(shù)的簡圖，回味一番：