“信號與系統(tǒng)”課程內(nèi)容可以概括為:兩個(gè)對象,三種分析方法,三大變換。其中,兩個(gè)對象是指信號(包括連續(xù)時(shí)間信號和離散時(shí)間信號)和系統(tǒng)(包括連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng));三種分析方法是指時(shí)域分析方法、頻域分析方法和復(fù)頻域分析方法(后兩種稱為變換域);三大變換指即傅里葉變換,拉普拉斯變換和Z變換。
我們用這些方法,去研究,如何描述一個(gè)信號、如何分析信號的特性、如何對信號進(jìn)行運(yùn)算;如何描述一個(gè)系統(tǒng)、如何求解系統(tǒng)的輸出(響應(yīng))、如何分析系統(tǒng)的特性。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí),是我們以后研究信號處理、系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。
時(shí)域分析包括三個(gè)內(nèi)容:一、信號與系統(tǒng)的一些基本概念;二、信號的時(shí)域分析方法;三、系統(tǒng)的時(shí)域分析方法。
一、信號與系統(tǒng)的一些基本概念
包括兩個(gè)內(nèi)容:信號及其描述與分類、系統(tǒng)及其描述與分類。如下圖1所示。
圖1
其中,“信號的分類”和“系統(tǒng)的分類”是兩個(gè)重點(diǎn)。
在我們的課程中,用“函數(shù)”來表示信號??梢詮牟煌嵌葋韺π盘栠M(jìn)行分類。
信號的分類包括:
圖2
重點(diǎn)說其中兩個(gè):
連續(xù)時(shí)間信號、離散時(shí)間信號與模擬信號、數(shù)字信號
前者著眼點(diǎn)在于自變量是否連續(xù),而后者著眼點(diǎn)在于函數(shù)值是否連續(xù)。通常,我們把自變量和函數(shù)取值都連續(xù)的信號稱為模擬信號,而把自變量和函數(shù)取值都離散的信號稱為數(shù)字信號。
功率信號、能量信號
這是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容。
若信號的能量E滿足:0
若信號的平均功率P滿足:0
注意:二者是互不相容的,也就是說,能量信號的平均功率一定是零;而功率信號的總能量一定是無窮大。
大部分周期信號是功率信號,而持續(xù)時(shí)間有限的非周期信號一般是能量信號。注意這并不是絕對的。
系統(tǒng)的分類包括:
圖3
重點(diǎn)和難點(diǎn)有兩個(gè):
線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)的判定
時(shí)變系統(tǒng)、時(shí)不變系統(tǒng)的判定
這兩個(gè)內(nèi)容,上一篇文章中做了詳細(xì)分析。參見系統(tǒng)線性、時(shí)不變性的判定——“信號與系統(tǒng)”重點(diǎn)難點(diǎn)解析之一
二、信號的時(shí)域分析方法
信號的時(shí)域分析,包括三個(gè)內(nèi)容,如下圖:
圖4
(一)常用信號及其基本特性
重點(diǎn)和難點(diǎn):單位沖激信號
(二)信號的時(shí)域運(yùn)算
重點(diǎn)和難點(diǎn):信號的翻轉(zhuǎn)、展縮、平移
(三)卷積積分/卷積和
重點(diǎn)和難點(diǎn):卷積的定義、性質(zhì)、計(jì)算
復(fù)習(xí)建議:
(1)深刻理解函數(shù)與信號的關(guān)系
這部分內(nèi)容,涉及到數(shù)學(xué)中函數(shù),要理解信號的物理意義及其與函數(shù)的關(guān)系,特別注意各類信號都有其對應(yīng)的物理模型。
(2)注意信號之間的關(guān)系
本章介紹的信號很多,梳理后可分為兩大類信號。一類是普通函數(shù)描述的信號,核心是復(fù)指數(shù)信號,由它派生出直流信號、實(shí)指數(shù)信號、虛指數(shù)信號、正弦信號等,第二類是由奇異函數(shù)描述的信號,重點(diǎn)是沖激信號,由它微分可產(chǎn)生沖激偶信號,一些列高階導(dǎo)數(shù)沖激信號,積分可產(chǎn)生階躍信號、斜波信號。
三、系統(tǒng)的時(shí)域分析方法
系統(tǒng)的時(shí)域分析可以歸納為兩個(gè)大問題,如下圖所示。
圖5
(一)方程的建立
即用數(shù)學(xué)模型來描述系統(tǒng),連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)用微分方程,離散時(shí)間系統(tǒng)用差分方程。我們的研究對象為LTI(線性時(shí)不變)系統(tǒng),所以描述系統(tǒng)的方程為常系數(shù)線性微分/差分方程。這部分內(nèi)容不是重點(diǎn)。
(二)響應(yīng)的求解及分析
包括四個(gè)方面:
1、零輸入響應(yīng)
2、單位沖激響應(yīng)h(t)/單位樣值響應(yīng)h(n)
3、零狀態(tài)響應(yīng)
4、響應(yīng)模式分析
下面講以下幾個(gè)問題:
第一, 時(shí)域分析的兩大前提:
第一個(gè)前提,任意信號可以分解為沖激信號和(這部分不展開講,見圖2);第二個(gè)前提,討論的系統(tǒng)具有線性時(shí)不變系統(tǒng),故系統(tǒng)響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和,零狀態(tài)響應(yīng)又可表示為沖激響應(yīng)的和。簡言之,就是“信號的分解,響應(yīng)的合成”。
圖6
第二,關(guān)于零時(shí)刻:
零時(shí)刻:開始研究系統(tǒng)的時(shí)刻,也即是激勵加入的時(shí)刻。0-時(shí)刻:激勵加入之前的瞬時(shí)、0+時(shí)刻:激勵加入之后的瞬時(shí)。
0-狀態(tài):0-時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài);0+狀態(tài):0+時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)。
起始點(diǎn)的跳變——從0-到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換,是一個(gè)難點(diǎn)問題??梢詤⒖脆嵕锝滩?。
第三,響應(yīng)的求解也就是方程的求解。
高數(shù)中學(xué)習(xí)過的微分方程的求解方法(經(jīng)典法):
全解(全響應(yīng))=齊次解+特解。
信號與系統(tǒng)課中:
全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)。
這兩者有和區(qū)別與聯(lián)系?
零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng):是從“是誰來產(chǎn)生/引起這部分響應(yīng)”這個(gè)角度來分。零輸入響應(yīng),是輸入為零,由系統(tǒng)的初始儲能產(chǎn)生的響應(yīng);零狀態(tài)響應(yīng),是系統(tǒng)初始儲能為零,由外加激勵產(chǎn)生的響應(yīng)。
齊次解、特解:是從“響應(yīng)模式的形式由誰決定”這個(gè)角度來分。齊次解的函數(shù)形式只與系統(tǒng)本身特性有關(guān),由系統(tǒng)的特征模式?jīng)Q定,稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng);特解的函數(shù)形式由外加激勵信號的形式?jīng)Q定,稱為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)。
見下圖所示例題。
圖7
歸納如下:
自然響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)中由系統(tǒng)特征根決定的那一部分
強(qiáng)迫響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)中由輸入信號特征模式?jīng)Q定的那一部分
換句話說:
零輸入響應(yīng)=一部分自然響應(yīng)
零狀態(tài)響應(yīng)=另一部分自然響應(yīng)+強(qiáng)迫響應(yīng)
第四,單位沖激響應(yīng)/單位樣值響應(yīng)
是特殊的零狀態(tài)響應(yīng),特殊在哪呢?系統(tǒng)初始儲能為零,僅由單位沖激信號所產(chǎn)生的響應(yīng)。
求解方法:連續(xù)系統(tǒng),用沖激平衡法;離散系統(tǒng),用遞推法。
第五,提醒大家,響應(yīng)的時(shí)域求解方法不是重點(diǎn)(這里講的系統(tǒng)響應(yīng)的求解,也都可以用拉氏變換、z變換的方法求解)。
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原文標(biāo)題:“信號與系統(tǒng)”時(shí)域分析知識脈絡(luò)
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