歸納總結(jié)時域分析的主要內(nèi)容

“信號與系統(tǒng)”課程內(nèi)容可以概括為：兩個對象，三種分析方法，三大變換。其中，兩個對象是指信號（包括連續(xù)時間信號和離散時間信號）和系統(tǒng)（包括連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)）；三種分析方法是指時域分析方法、頻域分析方法和復(fù)頻域分析方法（后兩種稱為變換域）；三大變換指即傅里葉變換，拉普拉斯變換和Z變換。

我們用這些方法，去研究，如何描述一個信號、如何分析信號的特性、如何對信號進行運算；如何描述一個系統(tǒng)、如何求解系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）、如何分析系統(tǒng)的特性。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，是我們以后研究信號處理、系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)。

時域分析包括三個內(nèi)容：一、信號與系統(tǒng)的一些基本概念；二、信號的時域分析方法；三、系統(tǒng)的時域分析方法。

一、信號與系統(tǒng)的一些基本概念

包括兩個內(nèi)容：信號及其描述與分類、系統(tǒng)及其描述與分類。如下圖1所示。

圖1

其中，“信號的分類”和“系統(tǒng)的分類”是兩個重點。

在我們的課程中，用“函數(shù)”來表示信號?？梢詮牟煌嵌葋韺π盘栠M行分類。

信號的分類包括：

圖2

重點說其中兩個：

連續(xù)時間信號、離散時間信號與模擬信號、數(shù)字信號

前者著眼點在于自變量是否連續(xù)，而后者著眼點在于函數(shù)值是否連續(xù)。通常，我們把自變量和函數(shù)取值都連續(xù)的信號稱為模擬信號，而把自變量和函數(shù)取值都離散的信號稱為數(shù)字信號。

功率信號、能量信號

這是一個難點內(nèi)容。

若信號的能量E滿足：0

若信號的平均功率P滿足：0

注意：二者是互不相容的，也就是說，能量信號的平均功率一定是零；而功率信號的總能量一定是無窮大。

大部分周期信號是功率信號，而持續(xù)時間有限的非周期信號一般是能量信號。注意這并不是絕對的。

系統(tǒng)的分類包括：

圖3

重點和難點有兩個：

線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)的判定

時變系統(tǒng)、時不變系統(tǒng)的判定

這兩個內(nèi)容，上一篇文章中做了詳細(xì)分析。參見系統(tǒng)線性、時不變性的判定——“信號與系統(tǒng)”重點難點解析之一

二、信號的時域分析方法

信號的時域分析，包括三個內(nèi)容，如下圖：

圖4

（一）常用信號及其基本特性

重點和難點：單位沖激信號

（二）信號的時域運算

重點和難點：信號的翻轉(zhuǎn)、展縮、平移

（三）卷積積分/卷積和

重點和難點：卷積的定義、性質(zhì)、計算

復(fù)習(xí)建議：

（1）深刻理解函數(shù)與信號的關(guān)系

這部分內(nèi)容，涉及到數(shù)學(xué)中函數(shù)，要理解信號的物理意義及其與函數(shù)的關(guān)系，特別注意各類信號都有其對應(yīng)的物理模型。

（2）注意信號之間的關(guān)系

本章介紹的信號很多，梳理后可分為兩大類信號。一類是普通函數(shù)描述的信號，核心是復(fù)指數(shù)信號，由它派生出直流信號、實指數(shù)信號、虛指數(shù)信號、正弦信號等，第二類是由奇異函數(shù)描述的信號，重點是沖激信號，由它微分可產(chǎn)生沖激偶信號，一些列高階導(dǎo)數(shù)沖激信號，積分可產(chǎn)生階躍信號、斜波信號。

三、系統(tǒng)的時域分析方法

系統(tǒng)的時域分析可以歸納為兩個大問題，如下圖所示。

圖5

（一）方程的建立

即用數(shù)學(xué)模型來描述系統(tǒng)，連續(xù)時間系統(tǒng)用微分方程，離散時間系統(tǒng)用差分方程。我們的研究對象為LTI（線性時不變）系統(tǒng)，所以描述系統(tǒng)的方程為常系數(shù)線性微分/差分方程。這部分內(nèi)容不是重點。

（二）響應(yīng)的求解及分析

包括四個方面：

1、零輸入響應(yīng)

2、單位沖激響應(yīng)h(t)/單位樣值響應(yīng)h(n)

3、零狀態(tài)響應(yīng)

4、響應(yīng)模式分析

下面講以下幾個問題：

第一， 時域分析的兩大前提：

第一個前提，任意信號可以分解為沖激信號和（這部分不展開講，見圖2）；第二個前提，討論的系統(tǒng)具有線性時不變系統(tǒng)，故系統(tǒng)響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和，零狀態(tài)響應(yīng)又可表示為沖激響應(yīng)的和。簡言之，就是“信號的分解，響應(yīng)的合成”。

圖6

第二，關(guān)于零時刻：

零時刻：開始研究系統(tǒng)的時刻，也即是激勵加入的時刻。0-時刻：激勵加入之前的瞬時、0+時刻：激勵加入之后的瞬時。

0-狀態(tài)：0-時刻系統(tǒng)的狀態(tài)；0+狀態(tài)：0+時刻系統(tǒng)的狀態(tài)。

起始點的跳變——從0-到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換，是一個難點問題?？梢詤⒖脆嵕锝滩?。

第三，響應(yīng)的求解也就是方程的求解。

高數(shù)中學(xué)習(xí)過的微分方程的求解方法（經(jīng)典法）：

全解（全響應(yīng)）=齊次解+特解。

信號與系統(tǒng)課中：

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)。

這兩者有和區(qū)別與聯(lián)系？

零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)：是從“是誰來產(chǎn)生/引起這部分響應(yīng)”這個角度來分。零輸入響應(yīng)，是輸入為零，由系統(tǒng)的初始儲能產(chǎn)生的響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)，是系統(tǒng)初始儲能為零，由外加激勵產(chǎn)生的響應(yīng)。

齊次解、特解：是從“響應(yīng)模式的形式由誰決定”這個角度來分。齊次解的函數(shù)形式只與系統(tǒng)本身特性有關(guān)，由系統(tǒng)的特征模式?jīng)Q定，稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)；特解的函數(shù)形式由外加激勵信號的形式?jīng)Q定，稱為系統(tǒng)的強迫響應(yīng)。

見下圖所示例題。

圖7

歸納如下：

自然響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)中由系統(tǒng)特征根決定的那一部分

強迫響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)中由輸入信號特征模式?jīng)Q定的那一部分

換句話說：

零輸入響應(yīng)=一部分自然響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)=另一部分自然響應(yīng)+強迫響應(yīng)

第四，單位沖激響應(yīng)/單位樣值響應(yīng)

是特殊的零狀態(tài)響應(yīng)，特殊在哪呢？系統(tǒng)初始儲能為零，僅由單位沖激信號所產(chǎn)生的響應(yīng)。

求解方法：連續(xù)系統(tǒng)，用沖激平衡法；離散系統(tǒng)，用遞推法。

第五，提醒大家，響應(yīng)的時域求解方法不是重點（這里講的系統(tǒng)響應(yīng)的求解，也都可以用拉氏變換、z變換的方法求解）。