半導(dǎo)體雷射之發(fā)光線寬

從前面的例子中，可以知道線寬增強(qiáng)因子會(huì)讓半導(dǎo)體雷射在動(dòng)態(tài)操作時(shí)譜線變寬，接下來我們要討論的是半導(dǎo)體雷射在穩(wěn)態(tài)操作下的發(fā)光線寬。

同樣的，假設(shè)在一單模操作的雷射中，雷射光在共振腔中沿著z方向行進(jìn)，我們可以將雷射光的電場(chǎng)表示為：

其中E（t）代表了電場(chǎng)對(duì)時(shí)間變化較緩慢的包絡(luò)，可表示為

w為雷射光的振蕩角頻率，I（t）是指光場(chǎng)強(qiáng)度和光子數(shù)目成正比，我們可以將其正規(guī)化并使其代表雷射共振腔內(nèi)的平均光子數(shù)目，而Φ（t）是指此電場(chǎng)包絡(luò)的相位，我們可以用相量圖（phasor plot）來表示此電場(chǎng)如圖4-16所示，E（t）以w的角頻率在旋轉(zhuǎn)。假設(shè)有一隨機(jī)的自發(fā)輻射△E改變了原本E的狀態(tài)到E+△E，其中

為方便起見，△E的大小被正規(guī)化為1。因此電場(chǎng)的相位被改變了△Φ，而影響△Φ的因素有兩個(gè)，表示成

第一個(gè)影響△Φ的因素是由于自發(fā)輻射△E的加入使得電場(chǎng)相位隨之改變的部分△Φ，這項(xiàng)自發(fā)輻射的因素會(huì)對(duì)所有種類的雷射產(chǎn)生影響，由圖4-16可知

而第二個(gè)影響△Φ的因素是光場(chǎng)強(qiáng)度的改變（△I）使得相位發(fā)生改變△Φ”，這項(xiàng)因素特別會(huì)對(duì)半導(dǎo)體雷射產(chǎn)生影響，因?yàn)樵鲆婧驼凵渎识紩?huì)受到載子濃度與光場(chǎng)強(qiáng)度變化的影響，因此我們可以使用上式得到：

在這里我們忽略（4-113）式中的負(fù)號(hào)只取其變化量的大小，相位改變量△Φ可表示為：

（4-130）式只是一個(gè)自發(fā)輻射所造成的相位改變量，若將上式在時(shí)間t之內(nèi)對(duì)所有的自發(fā)輻射積分并取平均值，我們可以得到平均的總相位變化量：

其中Rsp為貢獻(xiàn)到雷射模態(tài)的自發(fā)輻射速率（因此我們略掉自發(fā)放射因子β）。同理：

上式中因?yàn)镮代表雷射共振腔中眾多的光子數(shù)目，因此a2e/4I2趨近于零。

接下來要計(jì)算雷射發(fā)光的強(qiáng)度頻譜以獲取半導(dǎo)體雷射之發(fā)光線寬，我們可以將電場(chǎng)相關(guān)函數(shù)作傅立葉轉(zhuǎn)換來計(jì)算強(qiáng)度頻譜：

若換成光強(qiáng)度，則上式變?yōu)椋?/p>

因?yàn)樽园l(fā)輻射的事件是隨機(jī)發(fā)生的，我們可以假設(shè)相位變化的機(jī)率P（△Φ）是Gaussian形式的機(jī)率分布函數(shù)，因此：

若定義同調(diào)（coherent）時(shí)間tc為

將上式和（4-132）式比較可知：

因此，（4-134）式可表示為

上式為L(zhǎng)orentzian函數(shù)的型式，其半高寬或線寬為：

或是

其中Rsp/4兀I為一般雷射線寬的量子極限，被稱為Schawlow-Townes線寬，而在半導(dǎo)體雷射中線寬增強(qiáng)因子使得原本雷射線寬以平方的倍數(shù)來增加線寬，這也是ae這個(gè)參數(shù)的名稱緣由。