弛豫頻率與截止頻率計算

（4-25） 式為我們可以量測得到的半導(dǎo)體雷射調(diào)制響應(yīng)。將之取對數(shù)乘上10之后，其單位即為dB，如圖42所示。當(dāng)小信號頻率遠(yuǎn)小于弛豫頻率時，（4-25）式可以近似成1，也就是小信號的輸出振幅和穩(wěn)態(tài)時所獲得的振幅相同，相位也一致。當(dāng)小信號頻率接近弛豫頻率時，我們可以發(fā)現(xiàn)調(diào)制響應(yīng)的曲線中會出現(xiàn)一個峰值，此峰值的頻率可以借由計算（4-25）式的分母中找到最小值獲得：

而在W=Wp時，調(diào)制響應(yīng)的峰值為：

由上二式可知，峰值的頻率與調(diào)制響應(yīng)峰值的大小與Wr/Ω相關(guān)，在一般常用的半導(dǎo)體雷射中，弛豫頻率通常都遠(yuǎn)大于阻尼常數(shù)，因此Wr/Ω遠(yuǎn)大于1，使得峰值的頻率即可代表為弛豫頻率，而調(diào)制響應(yīng)峰值的大小則趨近于Wr/Ω。因此，弛豫頻率可以代表此雷射系統(tǒng)的共振頻率，當(dāng)雷射操作于此頻率時，小信號的輸出會有最大的振幅，不過在相位方面也會伴隨著劇烈的變化。

相反的，若雷射系統(tǒng)中的阻尼常數(shù)愈來愈大，將會使得調(diào)制響應(yīng)的峰值下降，如圖4-2中Wr/Ω=1的情況，共振現(xiàn)象變得不明顯，而峰值頻率也會小于弛豫頻率。這是因為阻尼常數(shù)會使得系統(tǒng)的振蕩振幅迅速衰減，導(dǎo)致調(diào)制響應(yīng)的表現(xiàn)趨于平緩，關(guān)于阻尼常數(shù)的意義，會在稍后章節(jié)討論。

在調(diào)制響應(yīng)中，若輸入小信號的頻率遠(yuǎn)大于弛豫頻率，（4-25）式將會趨近于零，這表示在此高頻率操作的情況下，雷射的輸出小信號振幅跟不上輸入信號的變化，使得雷射系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)。為了定義雷射的系統(tǒng)何時會趨于穩(wěn)態(tài)，我們定義當(dāng)輸出小信號振幅降為低頻振幅的一半時的頻率范圍為此雷射的操作頻寬，而此頻率被稱為3dB頻率（W3dB）或

是截止頻率（cut-off frequency,Wc）。因此根據(jù)定義：

假設(shè)Wc2Ω2

則

由此可知雷射系統(tǒng)操作的截止頻率和弛豫頻率成正比，獲取半導(dǎo)體雷射的弛豫頻率即可預(yù)測此雷射的操作頻寛。若不用角頻率的型式，根據(jù)（4-18）式，我們可得：

因為光子增加的速率等于注入載子在閾值條件以上減少的速率，即：

其中Vp為雷射光學(xué)模態(tài)的體積，將上式代入（4-32）式，我們可以替換得另一種弛豫頻率的表示式：

其中Va為主動層的體積，

我們也可以將上式中電流的部分替換成雷射的輸出功率，由于：

代入（4-34）式可得：

上式給我們一個很重要的訊息，當(dāng)半導(dǎo)體雷射的輸出功率增加時，弛豫頻率會跟著增加，當(dāng)然雷射系統(tǒng)的操作頻寬會隨之增加。如圖4-3所示，在理想的情況下，半導(dǎo)體雷射之弛豫頻率和輸出功率的根號成正比；而在相同的主動層結(jié)構(gòu)下，若雷射的共振腔愈短或是DBR反射率愈低，其弛豫頻率愈高，這是因為共振腔愈短代表光子生命期也愈短，根據(jù)（4-32）式可知，其弛豫頻率反而會變大。

我們也可以將弛豫頻率表示式中的微分增益系數(shù)替換掉，由于：

因此，

此外，由（4-33）式，

將（4-38）式與（4-39）式代入（4-32）式中，可得：

若透明電流密度很小，即Jth>>Jtr，則上式可近似為：

此式說明了半導(dǎo)體雷射的閾值電流愈小或操作電流愈高，其弛豫頻率愈高。