弛豫頻率與截止頻率計(jì)算

（4-25） 式為我們可以量測(cè)得到的半導(dǎo)體雷射調(diào)制響應(yīng)。將之取對(duì)數(shù)乘上10之后，其單位即為dB，如圖42所示。當(dāng)小信號(hào)頻率遠(yuǎn)小于弛豫頻率時(shí)，（4-25）式可以近似成1，也就是小信號(hào)的輸出振幅和穩(wěn)態(tài)時(shí)所獲得的振幅相同，相位也一致。當(dāng)小信號(hào)頻率接近弛豫頻率時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)調(diào)制響應(yīng)的曲線中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)峰值，此峰值的頻率可以借由計(jì)算（4-25）式的分母中找到最小值獲得：

而在W=Wp時(shí)，調(diào)制響應(yīng)的峰值為：

由上二式可知，峰值的頻率與調(diào)制響應(yīng)峰值的大小與Wr/Ω相關(guān)，在一般常用的半導(dǎo)體雷射中，弛豫頻率通常都遠(yuǎn)大于阻尼常數(shù)，因此Wr/Ω遠(yuǎn)大于1，使得峰值的頻率即可代表為弛豫頻率，而調(diào)制響應(yīng)峰值的大小則趨近于Wr/Ω。因此，弛豫頻率可以代表此雷射系統(tǒng)的共振頻率，當(dāng)雷射操作于此頻率時(shí)，小信號(hào)的輸出會(huì)有最大的振幅，不過(guò)在相位方面也會(huì)伴隨著劇烈的變化。

相反的，若雷射系統(tǒng)中的阻尼常數(shù)愈來(lái)愈大，將會(huì)使得調(diào)制響應(yīng)的峰值下降，如圖4-2中Wr/Ω=1的情況，共振現(xiàn)象變得不明顯，而峰值頻率也會(huì)小于弛豫頻率。這是因?yàn)樽枘岢?shù)會(huì)使得系統(tǒng)的振蕩振幅迅速衰減，導(dǎo)致調(diào)制響應(yīng)的表現(xiàn)趨于平緩，關(guān)于阻尼常數(shù)的意義，會(huì)在稍后章節(jié)討論。

在調(diào)制響應(yīng)中，若輸入小信號(hào)的頻率遠(yuǎn)大于弛豫頻率，（4-25）式將會(huì)趨近于零，這表示在此高頻率操作的情況下，雷射的輸出小信號(hào)振幅跟不上輸入信號(hào)的變化，使得雷射系統(tǒng)趨于穩(wěn)態(tài)。為了定義雷射的系統(tǒng)何時(shí)會(huì)趨于穩(wěn)態(tài)，我們定義當(dāng)輸出小信號(hào)振幅降為低頻振幅的一半時(shí)的頻率范圍為此雷射的操作頻寬，而此頻率被稱為3dB頻率（W3dB）或

是截止頻率（cut-off frequency,Wc）。因此根據(jù)定義：

假設(shè)Wc2Ω2

則

由此可知雷射系統(tǒng)操作的截止頻率和弛豫頻率成正比，獲取半導(dǎo)體雷射的弛豫頻率即可預(yù)測(cè)此雷射的操作頻寛。若不用角頻率的型式，根據(jù)（4-18）式，我們可得：

因?yàn)楣庾釉黾拥乃俾实扔谧⑷胼d子在閾值條件以上減少的速率，即：

其中Vp為雷射光學(xué)模態(tài)的體積，將上式代入（4-32）式，我們可以替換得另一種弛豫頻率的表示式：

其中Va為主動(dòng)層的體積，

我們也可以將上式中電流的部分替換成雷射的輸出功率，由于：

代入（4-34）式可得：

上式給我們一個(gè)很重要的訊息，當(dāng)半導(dǎo)體雷射的輸出功率增加時(shí)，弛豫頻率會(huì)跟著增加，當(dāng)然雷射系統(tǒng)的操作頻寬會(huì)隨之增加。如圖4-3所示，在理想的情況下，半導(dǎo)體雷射之弛豫頻率和輸出功率的根號(hào)成正比；而在相同的主動(dòng)層結(jié)構(gòu)下，若雷射的共振腔愈短或是DBR反射率愈低，其弛豫頻率愈高，這是因?yàn)楣舱袂挥檀砉庾由谝灿蹋鶕?jù)（4-32）式可知，其弛豫頻率反而會(huì)變大。

我們也可以將弛豫頻率表示式中的微分增益系數(shù)替換掉，由于：

因此，

此外，由（4-33）式，

將（4-38）式與（4-39）式代入（4-32）式中，可得：

若透明電流密度很小，即Jth>>Jtr，則上式可近似為：

此式說(shuō)明了半導(dǎo)體雷射的閾值電流愈小或操作電流愈高，其弛豫頻率愈高。