隨著系統(tǒng)功能的日益復(fù)雜，以自適應(yīng)控制為代表的先進(jìn)控制理論與算法越來越多地被投入到工程應(yīng)用當(dāng)中。而隨著大家對被控物理系統(tǒng)特性本身和控制理論更加深入的研究，像魯棒控制、模型預(yù)測控制、模糊邏輯控制，甚至是強化學(xué)習(xí)，都逐漸成為了控制工程師口袋中的武器。

然而對于傳統(tǒng)的嵌入式應(yīng)用而言，成本上的考量使得硬件算力的進(jìn)一步提升成為一種奢望，也從一定程度上限制了更加“智能”的控制算法的應(yīng)用。例如在自動駕駛或者自主系統(tǒng)控制領(lǐng)域頗為流行的非線性模型預(yù)測控制，很難直接應(yīng)用于算力更加緊張，但也更廣泛的傳統(tǒng)嵌入式場景當(dāng)中，工程師們也只能去選擇更加“簡化”的控制算法來實現(xiàn)部署，這也是為什么在傳統(tǒng)的嵌入式控制場景中，基于經(jīng)典線性控制理論的PID 控制器依然很流行。

但隨著被控對象系統(tǒng)的動態(tài)越來越復(fù)雜，其非線性程度、外部擾動和不確定性越來越高，PID 明顯力不從心。相比于直接使用類似非線性模型預(yù)測控制這類運算復(fù)雜、對硬件算力要求極高的控制算法，工程師們開始越來越多地探索如何在傳統(tǒng) PID 控制中添加一些“自適應(yīng)”因素，讓其能夠在有限的硬件資源限制下，盡可能地響應(yīng)和處理真實物理系統(tǒng)中的未知干擾與不確定性，從而也能達(dá)到更好的控制效果。

MathWorks 作為工具廠商也在積極響應(yīng)用戶類似的需求，在過去的幾個版本中，陸續(xù)添加了諸如模型參考自適應(yīng)控制、自抗擾控制和模型預(yù)測控制等功能（詳見之前的文章《讓閉環(huán)控制器的參數(shù)調(diào)節(jié)事半功倍-SimulinkControl Design更新探討》）。在今天的文章中，我們將重點討論在24b 版本中新添加的滑?？刂疲⊿liding Mode Control, SMC）模塊支持以及相關(guān)案例。

滑?？刂疲⊿MC）是一種以其魯棒性和高效性著稱的非線性控制策略。自 20 世紀(jì) 50 年代首次提出以來，滑?？刂埔蚱湓谔幚聿淮_定性系統(tǒng)和外部擾動方面的卓越性能，逐漸成為自動控制領(lǐng)域的重要研究方向?；？刂频淖畲髢?yōu)勢在于其對系統(tǒng)參數(shù)變化和外部干擾的強魯棒性，這使得它在實際應(yīng)用中能夠有效應(yīng)對各種不確定性（包括不限于系統(tǒng)的非線性特性、外部擾動等等）。此外，滑?？刂平Y(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)，且能夠提供快速的動態(tài)響應(yīng)，在傳統(tǒng)嵌入式應(yīng)用硬件算力受限的情況下依然適用。在現(xiàn)代控制系統(tǒng)中，滑?？刂票粡V泛應(yīng)用于電機控制、機器人系統(tǒng)、車輛動態(tài)控制以及航空航天等領(lǐng)域。

滑?？刂圃砀攀?/p>

聽起來滑?？刂茻o所不能是不是？它是如何保證上述這些優(yōu)勢的？這就需要簡單介紹一下它的原理。

滑?？刂剖且环N特殊的變結(jié)構(gòu)控制，它與常規(guī)控制的區(qū)別在于控制的不連續(xù)性，其核心思想是根據(jù)系統(tǒng)所期望的動態(tài)特性來設(shè)計一個滑模面（Sliding Surface），通過控制器使系統(tǒng)狀態(tài)從滑模面之外向其快速收斂并保持在該面上。系統(tǒng)一旦到達(dá)滑模面，控制器通過反饋控制將保證系統(tǒng)沿該面到達(dá)系統(tǒng)原點（目標(biāo)穩(wěn)態(tài)工況）。由于系統(tǒng)的特性和參數(shù)只取決于設(shè)計的滑模面而與外界干擾沒有關(guān)系，所以滑?？刂凭哂泻軓姷聂敯粜?。

文字看起來比較繞？我們用下面的公式來幫助理解。

考慮用如下公式表征的一般非線性系統(tǒng)，

其中，代表系統(tǒng)固有的動態(tài)特性，代表控制輸入對系統(tǒng)的影響，則反應(yīng)了隨時間影響系統(tǒng)行為的外部干擾。

該公式反映了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性，控制輸入和外部未知干擾的耦合。如前面我們提到的，SMC 是一種變結(jié)構(gòu)的控制，其在兩種不同的結(jié)構(gòu)之間切換，從數(shù)學(xué)上描述為：

在這里，我們分別定義了兩組不同的控制輸入和，分別用于系統(tǒng)處于滑模面的不同側(cè)。假設(shè)系統(tǒng)有 nu?個控制輸入，則 nu?個 Sk?便可以組成滑模面函數(shù)?S(x)。

為了保證狀態(tài)變量能夠收斂于滑模面，并保持其軌跡始終沿著滑模面，合理設(shè)計控制輸入u和滑模面S(x)至關(guān)重要。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后，滑模面函數(shù)能夠滿足S(x)=0，要使得如前述公式所示的一般非線性系統(tǒng)能夠達(dá)到并穩(wěn)定在滑模面中，我們必須要求滑模面與其導(dǎo)數(shù)滿足如下關(guān)系：

我們可以用如下的平面圖來解釋這樣的關(guān)系，假設(shè)圖中的直線表示滑模面S(x)，其導(dǎo)數(shù)必須與S(x)呈相反的符號，才能保證系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定在S(x)上。

圖1 滑模面的二維等效解釋

那么如何來快速定義控制輸入和滑模面呢？顯然如果沒有工具加持，大多數(shù)情況下我們依然無從下手。在最新的 MATLAB R2024b 版本中，用戶可以使用 SlidingMode Controller (Reaching Law)[1]模塊，使用一種動態(tài)調(diào)整控制動作（趨近率，ReachingLaw）以有效地將系統(tǒng)狀態(tài)引導(dǎo)到滑模面，從而實現(xiàn)滑?？刂啤Ｔ谠撃K中，我們支持兩類滑動模態(tài)模式，以幫助用戶快速定義滑模面函數(shù)和控制輸入。

第一類：調(diào)節(jié)模式，當(dāng)我們希望將系統(tǒng)穩(wěn)定在一個固定工況點時使用此模式，此時系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量 x為零，

第二類，跟蹤模式，通常情況下，閉環(huán)控制希望的是讓系統(tǒng)的狀態(tài)跟隨一個參考的軌跡指令 xref。

易見，第一類問題是第二類問題的一種特殊情況。在上述公式中，滑動系數(shù)矩陣 C決定了滑模面S(x)的形狀，我們可以用它來定義滑模面 S(x)。h(s(x)) 則被叫做趨近率（Reaching Law），它表征了系統(tǒng)以什么樣的動態(tài)特性收斂并保持在滑模面上，我們用它來定義控制輸入 u，Reaching Law 有幾種不同的方式，在現(xiàn)有模塊中提供了三種方式：

恒定速率（Constant rate）：系統(tǒng)以恒定速率達(dá)到滑模面，較大的恒定速率可以使得系統(tǒng)更快地收束到滑模面，但可能會引發(fā)執(zhí)行器控制飽和或者控制不穩(wěn)定。

指數(shù)速率（Exponential）：通過給恒定速率添加比例增益項以避免恒定速率引發(fā)的問題，比例增益項使得系統(tǒng)狀態(tài)偏離滑模面較大時提供更快的收斂速率，而在偏差變小時作用減弱。

功率比（Power Rate）：不同于固定常數(shù)的比例增益，通過增加一個0到1之間的系數(shù) 來平滑調(diào)節(jié)系統(tǒng)狀態(tài)與滑模面偏差不同時的收斂速度，以兼顧收斂速度和平穩(wěn)性。

典型案例分析之一彈簧阻尼系統(tǒng)

公式介紹完了，相信大家能夠了解滑?？刂频幕驹?，知道在滑?？刂浦校钪匾氖嵌x滑模面S(x)和控制輸入 u，也知道 MATLAB/Simulink 現(xiàn)在有“即插即用”的模塊來幫助我們定義。但如果要向其它人解釋什么滑模面S(x)，以及如何通過調(diào)節(jié)它來提升滑?？刂频男阅?，作者在寫到這里的時候也跟大家一樣都是一頭霧水。因為相比于那些傳統(tǒng)的控制理論，這個不是平面，卻又叫做“面” S(x)的實在是太過抽象，干憑冥想理解它著實不容易。我們需要一個簡單的物理場景來具像化它，幫助我們理解。在 MATLAB R2024b的幫助文檔中就給出這樣一個例子，SlidingMode Control Design for Mass-Spring-Damper System[2]，下面就讓我們一起來探討一下。

我們考慮如下一個簡單的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，視為質(zhì)點的質(zhì)量為 M 的質(zhì)量塊，在彈性系數(shù)為 K，阻尼系數(shù)為 D 的約束下，被大小為 F 的力驅(qū)動（視為控制輸入）。

圖2 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)示例

我們可以很輕易地得到反映其動態(tài)的系統(tǒng)方程，

其中，x 代表質(zhì)量塊的橫向位移，即圖中的y，那么 x ?和 x自然代表它的速度和加速度。

等一下，這個系統(tǒng)動態(tài)的方程跟我們一開始定義的一般非線性系統(tǒng)表征不太一樣，為了保持一致，我們需要先做一些修改，

我們在系統(tǒng)中定義兩個變量，橫向位移為 x?，速度為 x?，則系統(tǒng)動態(tài)可以表示為

其中，，。 為何選了這樣一個系統(tǒng)？因為如果我們將系統(tǒng)中的兩個狀態(tài)分別置于平面坐標(biāo)系的橫軸和豎軸上，它就會形成一個“平面”。

圖3 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)相平面

由圖上我們可以知道，系統(tǒng)的“軌跡”（兩個狀態(tài)變量的變化），永遠(yuǎn)是跟隨著圖中藍(lán)色的箭頭來行進(jìn)，即位移絕對值達(dá)到最大值時，速度都是零。那么在圖中，我們可以找到這樣一條分割線，x?+x?= 0，無論當(dāng)系統(tǒng)的工作狀態(tài)處于分割線左邊或者右邊時，都會向這條線“收斂?！?/p>

圖4 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)滑模面

顯然，圖中這條線就滿足之前我們對滑模面S(x)的討論，在這個例子中，我們便可以定義S(x)=x?+x?，此時滑模系數(shù)矩陣 C=[11]?。

在定義好滑模面S(x)之后，我們只需要確定滑?？刂破鞯幕瑒幽B(tài)方式以及趨近率方式，即可確定控制輸入 u。我們希望系統(tǒng)能夠在任何的外部干擾作用下，質(zhì)量滑塊都能沿著滑模面穩(wěn)定在原點附近，所以我們選擇“調(diào)節(jié)模式”作為滑動模態(tài)方式，并選擇指數(shù)速率作為趨近率。

當(dāng)然這些設(shè)置在 MATLAB 中都非常容易實現(xiàn)，只需要在 Sliding ModeController (Reaching Law) 模塊的對應(yīng)位置給定參數(shù)即可。

圖5Simulink SMC 模塊設(shè)置

我們希望控制器能在系統(tǒng)存在外部輸入干擾的情況下，讓質(zhì)量滑塊穩(wěn)定在原點，建立如下 Simulink 模型來查看仿真結(jié)果。

圖6Simulink SMC閉環(huán)模型

在圖5 的 SMC 模塊設(shè)置中，除了我們已經(jīng)介紹過的參數(shù)，還出現(xiàn)了一個參數(shù)叫做“Boundary Layer”，這就涉及到滑?？刂频囊淮笕秉c-“顫振”。還是考慮圖4所示的滑模面，滑?？刂频睦硐肭闆r是當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時，不再離開滑模面，沿著其移動。但在實際物理系統(tǒng)中，“誤差”不可避免地存在，所以實際上系統(tǒng)狀態(tài)在到達(dá)滑模面時，并不“嚴(yán)格”沿著其移動，而會在其附近“來回晃動”（如圖中藍(lán)色折現(xiàn)所示）。

圖7 滑模面實際工況示例

我們在一開始概述的時候講到，滑模控制與常規(guī)控制的區(qū)別在于控制的不連續(xù)性，其在滑模面兩邊的控制輸入完全不同，在滑模面附近晃動會使得系統(tǒng)的控制輸入呈現(xiàn)“高頻開關(guān)”的狀態(tài)，從而導(dǎo)致“顫振”現(xiàn)象的發(fā)生。

圖8SMC控制輸入“顫振”現(xiàn)象

為了防止這種現(xiàn)象的發(fā)生，我們需要設(shè)定一個合理的“邊界”，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)沒有偏離滑模面到邊界值時，視為其仍然在滑模面上，不做控制輸入的切換，實現(xiàn)一定程度上的“滯回”作用（如圖中虛線所示）。

圖9SMC 模塊中Boundary Layer的設(shè)定意義

圖10 不同Boundary Layer 參數(shù)下的輸入顫振對比

典型案例分析之二變參數(shù)機械臂控制

現(xiàn)實世界中的真實物理系統(tǒng)當(dāng)然遠(yuǎn)比上述的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)復(fù)雜得多，外部干擾對系統(tǒng)本身的影響也大得多。簡單的被控對象可以幫我們充分理解滑?？刂频脑硪约皟?yōu)缺點，并幫助我們應(yīng)用在更加貼近物理實際的場景當(dāng)中。在 24b 的幫助文檔中，還內(nèi)置了另外一個更加復(fù)雜的 SMC 機械臂應(yīng)用案例，SlidingMode Control Design for a Robotic Manipulator [3]。

示例中，我們考慮帶有兩個關(guān)節(jié)的機械臂，并且其本身的動態(tài)特性（狀態(tài)方程中的矩陣參數(shù)）與標(biāo)稱值是有偏移的，當(dāng)下圖中機械臂狀態(tài)矩陣的估計器（Estimator）無法準(zhǔn)確估計真實的機械臂系統(tǒng)時，SMC暫展示出了良好的控制性能，能夠應(yīng)對系統(tǒng)中的未知干擾與不確定性。

圖11 機械臂滑?？刂剖纠?/p>

因為篇幅的關(guān)系，此案例就不作詳細(xì)介紹了，各位可以參閱幫助文檔鏈接，在軟件中打開模型進(jìn)一步研究。

寫在最后

MathWorks 在近些年來的版本中持續(xù)關(guān)注著廣大用戶對于非線性控制的需求，陸續(xù)添加了許多“即插即用”的控制算法模塊(如前文提到的自控擾控制、模型參數(shù)自適應(yīng)控制、極值搜索控制、模型預(yù)測控制等等)，使得控制工程師們不必糾結(jié)于如何用代碼實現(xiàn)相對成熟的控制理論本身，而是把精力更多地放在充分了解自身的被控物理對象特性，有理有據(jù)地調(diào)節(jié)控制算法中的參數(shù)，從而快速實現(xiàn)并基于自動代碼生成無縫部署到嵌入式硬件中。

除了本文提到的滑?？刂疲谛掳姹局?，MATLAB/Simulink 還發(fā)布了迭代學(xué)習(xí)控制(Iterative LearningControl, ILC)模塊，幫助有需要的用戶快速實現(xiàn)并部署該算法。 我們也樂于聽到大家的心聲，如果您有更多關(guān)于先進(jìn)控制算法的使用需求和場景，不妨通過留言告訴我們，幫助 MATLAB/Simulink 持續(xù)提升!