進位計數(shù)制及其轉換方法過程詳解

一、什么是進位計數(shù)制

數(shù)制也稱計數(shù)制,是指用一組固定的符號和統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)值的方法。按進位的原則進行計數(shù)的方法,稱為進位計數(shù)制。比如，在十進位計數(shù)制中,是按照“逢十進一”的原則進行計數(shù)的。

常用進位計數(shù)制：

1、十進制(Decimal notation)，有10個基數(shù)：0 ~~ 9 ，逢十進一；

2、二進制(Binary notation)，有2 個基數(shù)：0 ~~ 1 ，逢二進一；

3、八進制(Octal notation)，有8個基數(shù)：0 ~~ 7 ，逢八進一；

4、十六進制數(shù)(Hexdecimal notation)，有16個基數(shù)：0 ~~ 9，A，B，C，D，E，F(xiàn) (A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15) ，逢十六進一。

二、進位計數(shù)制的基數(shù)與位權

"基數(shù)"和"位權"是進位計數(shù)制的兩個要素。

1、基數(shù)：

所謂基數(shù)，就是進位計數(shù)制的每位數(shù)上可能有的數(shù)碼的個數(shù)。例如，十進制數(shù)每位上的數(shù)碼，有"0"、"1"、"3",…，"9"十個數(shù)碼，所以基數(shù)為10。

2、位權：

所謂位權，是指一個數(shù)值的每一位上的數(shù)字的權值的大小。例如十進制數(shù)4567從低位到高位的位權分別為100、101、102、103。因為：

4567＝4x103＋5x 102＋6x 101 ＋7x100

3、數(shù)的位權表示：

任何一種數(shù)制的數(shù)都可以表示成按位權展開的多項式之和。

比如：十進制數(shù)的435．05可表示為：

435．05＝4x102＋3x 101＋5x100＋0x10－1 ＋5x 10－2

位權表示法的特點是：每一項＝某位上的數(shù)字X基數(shù)的若干冪次；而冪次的大小由該數(shù)字所在的位置決定。

三、二進制數(shù)

計算機中為何采用二進制：二進制運算簡單、電路簡單可靠、邏輯性強。

1、定義：

按“逢二進一”的原則進行計數(shù)，稱為二進制數(shù)，即每位上計滿2 時 向高位進一。

2、特點：

每個數(shù)的數(shù)位上只能是０，１兩個數(shù)字；二進制數(shù)中最大數(shù)字是１，最小數(shù)字是０；基數(shù)為２；

比如：10011010與00101011是兩個二進制數(shù)。

3、二進制數(shù)的位權表示：

(1101.101)2＝1x23＋1x 22＋0x 21＋1x 20＋1x2－1 ＋0x 2－2＋1x2－3

4、二進制數(shù)的運算規(guī)則：

加法運算

① 0＋0＝0 ③ 1＋1＝10

② 0＋1＝1＋0＝1

乘法運算

① 0×0＝0 ③ 1×1＝1

② 0×1＝1×0＝0

四、八進制數(shù)

1、定義：

按“逢八進一”的原則進行計數(shù)，稱為八進制數(shù)，即每位上計滿8時向高位進一。

2、特點：

每個數(shù)的數(shù)位上只能是０、１、2、3、4、5、6、7八個數(shù)字；八進制數(shù)中最大數(shù)字是7，最小數(shù)字是０；基數(shù)為8；

比如：(1347)8與(62435)8是兩個八進制數(shù)。

3、八進制數(shù)的位權表示：

(107．13)8＝1x 82＋0x 81＋7x 80＋1x8－1 ＋3x 8－2

五、十六進制數(shù)

1、定義：

按“逢十六進一”的原則進行計數(shù)，稱為十六進制數(shù)，即每位上計滿16時向高位進一。

2、特點：

每個數(shù)的數(shù)位上只能是０、１、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六個數(shù)碼；十六進制數(shù)中最大數(shù)字是F，即15，最小數(shù)字是０；基數(shù)為16；

比如：(109)16與(2FDE)16是兩個十六進制數(shù)。

3、十六進制數(shù)的位權表示：

(109．13)16＝1x 162＋0x161＋9x 160＋1x16－1 ＋3x 16－2

(2FDE)16＝2x 163＋15x 162＋13x 161＋14x 160

六、常用計數(shù)制間的對應關系

二進制數(shù)、八進制數(shù)、十六進制數(shù)及十進制數(shù)是現(xiàn)代數(shù)字系統(tǒng)中常用的四種數(shù)制，這幾種進位制計數(shù)制之間的對應關系如表1所列。

表1 常用計數(shù)制數(shù)的表示方法

七、數(shù)制間的轉換

1、十進制數(shù)轉換成非十進制數(shù)

（1）十進制整數(shù)轉換成非十進制整數(shù)

①為什么要進行數(shù)制間的轉換？

將數(shù)由一種數(shù)制轉換成另一種數(shù)制稱為數(shù)制間的轉換。

因為日常生活中經常使用的是十進制數(shù)，而在計算機中采用的是二進制數(shù)。所以在使用計算機時就必須把輸入的十進制數(shù)換算成計算機所能夠接受的二進制數(shù)。計算機在運行結束后，再把二進制數(shù)換算成人們所習慣的十進制數(shù)輸出。這兩個換算過程完全由計算機自動完成。

②轉換方法

十進制整數(shù)化為非十進制整數(shù)采用“余數(shù)法”，即除基數(shù)取余數(shù)。

把十進制整數(shù)逐次用任意十制數(shù)的基數(shù)去除，一直到商是0 為止，然后將所得到的余數(shù)由下而上排列即可。

②十進制小數(shù)轉換成非十進制小數(shù)轉換方法

十進制小數(shù)轉換成非十進制小數(shù)采用“進位法”，即乘基數(shù)取整數(shù)。

把十進制小數(shù)不斷的用其它進制的基數(shù)去乘，直到小數(shù)的當前值等于0或滿足所要求的精度為止，最后所得到的積的整數(shù)部分由上而下排列即為所求。

2、非十進制數(shù)轉換成十進制數(shù)

非十進制數(shù)轉換成十制數(shù)采用“位權法”，即把各非十進制數(shù)按位權展開，然后求和。

3、二、八、十進制數(shù)之間轉換

（1）二進制 數(shù)與八進制數(shù)之間的轉換轉換方法

①把二進制數(shù)轉換為八進制數(shù)時，按“三位并一位”的方法進行。

以小數(shù)點為界，將整數(shù)部分從右向左每三位一組，最高位不足三位時，添0補足三位；小數(shù)部分從左向右，每三位一組，最低有效位不足三位時，添0補足三位。然后，將各組的三位二進制數(shù)按權展開后相加，得到一位八進制數(shù)。

②將八進制數(shù)轉換成二進數(shù)時，采用“一位拆三位”的方法進行。

即 把八進制數(shù)每位上的數(shù)用相應的三位二進制數(shù)表示。

③二進制數(shù)與十六進制數(shù)之間的轉換轉換方法

a、把二進制數(shù)轉換為十六進制數(shù)時，按“四位并一位”的方法進行。

以小數(shù)點為界，將整數(shù)部分從右向左每四位一組，最高位不足四位時，添0補足四位；小數(shù)部分從左向右，每四位一組最低有效位不足四位時，添0補足四位。然后，將各組的四位二進制數(shù)按權展開后相加，得到一位十六進制數(shù)。

b、將十六進制數(shù)轉換成二進數(shù)時，采用“一位拆四位”的方法進行。

即 把十六進制數(shù)每位上的數(shù)用相應的四位二進制數(shù)表示。