MATLAB中的矩陣索引

作者：Steve Eddins 和 Loren Shure，MathWorks

對(duì)矩陣進(jìn)行索引是從矩陣中選擇或修改部分元素的一種方式。MATLAB 有幾種索引樣式，它們不僅功能強(qiáng)大、靈活，而且可讀性強(qiáng)、表現(xiàn)力強(qiáng)。矩陣是 MATLAB 用來(lái)組織和分析數(shù)據(jù)的一個(gè)核心組件，索引是以可理解的方式有效操作矩陣的關(guān)鍵。

對(duì)于 MATLAB 用戶(hù)來(lái)說(shuō)，索引往往與另一個(gè)術(shù)語(yǔ)密切相關(guān)：向量化。向量化意味著使用 MATLAB 矩陣和向量運(yùn)算而不是標(biāo)量運(yùn)算，這通常會(huì)生成更短的代碼，更具數(shù)學(xué)表現(xiàn)力和可讀性，有時(shí)執(zhí)行速度還會(huì)更快。

對(duì)向量進(jìn)行索引

我們從向量和下標(biāo)的簡(jiǎn)單情況開(kāi)始。

 v = [16 5 9 4 2 11 7 14];

下標(biāo)可以是單個(gè)值：

 v(3)     % 提取第三個(gè)元素
  ans =
      9

下標(biāo)本身也可以是另一個(gè)向量。

 v([1 5 6])      % 提取第一個(gè)、第五個(gè)和第六個(gè)元素
  ans =
      16   2   11

MATLAB 中的冒號(hào)表示法提供一種從 v 中提取一系列元素的簡(jiǎn)單方法。

 v(3:7)     % 提取第三個(gè)至第七個(gè)元素
  ans =
      9   4   2   11   7

交換 v 的兩個(gè)“半部分”以創(chuàng)建新向量。

v2 = v([5:8 1:4])     % 提取并交換 v 的兩個(gè)“半部分”
  v2 =
     2   11   7   14   16   5   9   4

特殊的 end 運(yùn)算符是引用 v 的最后一個(gè)元素的簡(jiǎn)便快捷方法。

  v(end)     % 提取最后一個(gè)元素
  ans =
      14

end 運(yùn)算符可用于表示一個(gè)范圍。

  v(5:end)     % 提取第五個(gè)到最后一個(gè)元素
  ans =
      2   11   7   14

您甚至可以使用 end 進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算。

  v(2:end-1)     % 提取第二個(gè)到倒數(shù)第二個(gè)元素
  ans =
      5   9   4   2   11   7

將冒號(hào)運(yùn)算符和 end 結(jié)合使用可以實(shí)現(xiàn)多種效果，例如提取每第 k 個(gè)元素或翻轉(zhuǎn)整個(gè)向量。

  v(1end)   % 提取所有奇數(shù)元素
  ans =
      16   9   2   7
  v(end1)   % 反轉(zhuǎn)元素的順序
  ans =
      14   7   11   2   4   9   5   16

通過(guò)使用等號(hào)左側(cè)的索引表達(dá)式，您可以替換向量的某些元素。

  v([2 3 4]) = [10 15 20]   % 替換 v 的某些元素
  v =
    16   10   15   20   2   11   7   14

通常，右側(cè)的元素?cái)?shù)必須與左側(cè)的索引表達(dá)式所引用的元素?cái)?shù)相同。然而，您始終可以在右側(cè)使用標(biāo)量。這稱(chēng)為標(biāo)量擴(kuò)展。

  v([2 3]) = 30   % 用 30 替換第二個(gè)和第三個(gè)元素
  v =
    16   30   30   20   2   11   7   14

請(qǐng)牢記：MATLAB 使用從 1 開(kāi)始的索引。在對(duì)矩陣進(jìn)行索引時(shí)，有些語(yǔ)言使用從 0 開(kāi)始的索引。其他語(yǔ)言，如 MATLAB，使用從 1 開(kāi)始的索引。MATLAB 使用的表示法可能與您在數(shù)學(xué)教科書(shū)中看到的相同。MATLAB 為什么使用從 1 開(kāi)始的索引？MATLAB 創(chuàng)始人 Cleve Moler 對(duì)此解釋道，“這就是數(shù)學(xué)的表示方式?！?/p>

使用兩個(gè)下標(biāo)對(duì)矩陣進(jìn)行索引 現(xiàn)在考慮對(duì)矩陣進(jìn)行索引。我們將在示例中使用幻方。

  A = magic(4)
  A =
          16           2           3          13
           5          11          10           8
           9           7           6          12
           4          14          15           1

通常，對(duì)矩陣進(jìn)行索引需要使用兩個(gè)下標(biāo) - 第一個(gè)下標(biāo)表示行，第二個(gè)下標(biāo)表示列。

最簡(jiǎn)單的形式是選擇一個(gè)元素。

  A(2,4)   % 提取第 2 行第 4 列中的元素
  ans =
       8

更常見(jiàn)的是，其中的一個(gè)或兩個(gè)下標(biāo)可以是向量。

  A(2:4,1:2)
  ans =
           5          11
           9           7
           4          14

下標(biāo)位置中的單個(gè)“:”是 1:end 的簡(jiǎn)寫(xiě)表示法，通常用于選擇整行或整列。

  A(3,:)   % 提取第三行
  ans =
     9   7   6   12
  A(:,end)   % 提取最后一列
  ans =
         13
          8
         12
          1

有時(shí)人們對(duì)如何從矩陣中選擇分散的元素感到困惑。例如，假設(shè)您要從 A 中提取元素 (2,1)、(3,2) 和 (4,4)。

矩陣中的分散元素。

我們?nèi)绾伪硎具@種輸出？

表達(dá)式 A([2 3 4], [1 2 4]) 不會(huì)實(shí)現(xiàn)想要的效果。下圖說(shuō)明雙下標(biāo)索引的工作原理。

從矩陣中提取分散的元素需要不同索引樣式，下一個(gè)主題將講述這方面內(nèi)容。

線(xiàn)性索引

表達(dá)式 A(14) 的作用是什么？

當(dāng)僅使用單下標(biāo)對(duì)矩陣 A 進(jìn)行索引時(shí)，MATLAB 會(huì)將 A 視為其元素排列在一個(gè)長(zhǎng)長(zhǎng)的列向量中（對(duì) A 中的列逐列從上到下進(jìn)行索引），如下所示：

16

5

9

...

8

12

1

提示：MATLAB 采用列優(yōu)先 - 線(xiàn)性索引逐列從上到下開(kāi)始進(jìn)行索引。

表達(dá)式 A(14) 只提取隱式列向量的第 14 個(gè)元素。以這種方式對(duì)只使用單下標(biāo)的矩陣進(jìn)行索引通常稱(chēng)為線(xiàn)性索引。 右圖中每個(gè)矩陣元素的左上角均顯示線(xiàn)性索引。從圖中可以看出，A(14) 等同于 A(2,4)。

單下標(biāo)可以是包含多個(gè)線(xiàn)性索引的向量，如在以下示例中：

  A([6 12 15])
  ans =
      11   15   12

再次考慮只提取 A 的元素 (2,1)、(3,2) 和 (4,4)。您可以使用線(xiàn)性索引來(lái)提取這些元素。

  A([2 7 16])
  ans =
      5   7   1

此示例很容易理解，但一般情況下如何計(jì)算線(xiàn)性索引？MATLAB 提供了名為 sub2ind 的函數(shù)，用于將行下標(biāo)和列下標(biāo)轉(zhuǎn)換為線(xiàn)性索引。您可以通過(guò)以下方式使用它來(lái)提取所需的元素：

  idx = sub2ind(size(A), [2 3 4], [1 2 4])
  ans =
      2   7   16
  A(idx)
  ans =
      5   7   1

邏輯索引

另一種索引變體是邏輯索引，它是一種緊湊而富有表現(xiàn)力的表示法，適用于包括圖像處理在內(nèi)的許多應(yīng)用。在邏輯索引中，使用單個(gè)邏輯數(shù)組來(lái)表示矩陣下標(biāo)。

您可以使用以下邏輯數(shù)組示例：

 A > 12 

這些是矩陣中邏輯表達(dá)式為真的位置，在本例中是任何大于 12 的位置。 表達(dá)式 A(A > 12) 提取對(duì)應(yīng)于邏輯數(shù)組的非零值的矩陣元素。輸出始終以列向量形式出現(xiàn)。

A(A > 12) 


ans =


    16
    14
    15
    13

許多以 is 開(kāi)頭的 MATLAB 函數(shù)返回邏輯數(shù)組，對(duì)于邏輯索引非常有用。例如，通過(guò)在一行代碼中結(jié)合使用 isnan、邏輯索引和標(biāo)量擴(kuò)展，可以將數(shù)組中的所有 NaN 元素替換為另一個(gè)值。

 B(isnan(B)) = 0

MATLAB 有許多返回邏輯數(shù)組的字符串?dāng)?shù)組函數(shù)，例如 contains、startsWith 和 matches。您可以使用這些函數(shù)對(duì)使用邏輯索引的文本進(jìn)行操作。例如，您可以提取包含“Skylab”的所有太空計(jì)劃名稱(chēng)

>> names

??

>> names(contains(names,"Skylab"))

邏輯索引與 find 函數(shù)密切相關(guān)。表達(dá)式 A(A > 5) 等效于 A(find(A > 5))。邏輯索引表達(dá)式在簡(jiǎn)單情況下執(zhí)行速度更快，但如果您需要計(jì)算中的其他項(xiàng)的索引值，則可以使用 find 函數(shù)。例如，假設(shè)您要用零臨時(shí)替換 NaN 值，執(zhí)行一些計(jì)算，然后將 NaN 值放回其原始位置。在此示例中，計(jì)算是使用 filter2 進(jìn)行二維過(guò)濾。您需要使用以下表達(dá)式：

  nan_locations = find(isnan(A)); 


  A(nan_locations) = 0; 


  A = filter2(ones(3,3), A); 


  A(nan_locations) = NaN;

我們希望本文中的這些示例能幫助您了解如何簡(jiǎn)潔高效地表達(dá)算法。在您的 MATLAB 編程中使用這些方法和相關(guān)函數(shù)使您能夠創(chuàng)建簡(jiǎn)潔、可讀和向量化的代碼。