量子計算場景實用秘籍：開物SDK之“高階函數(shù)降階”

現(xiàn)實應用場景往往具有復雜的多變量交互作用和非線性行為，在數(shù)學上均屬于高階問題，存在于實際應用中的各個領域，如圖像處理中的去噪和超分辨率、工程設計與優(yōu)化、金融工程中的期權定價和投資組合優(yōu)化、醫(yī)療領域中的治療方案優(yōu)化和藥物代謝過程等。

在現(xiàn)實應用中，解決高階問題充滿挑戰(zhàn)。一是容易陷入局部最優(yōu)解。高階問題通常涉及大量變量和約束，導致解空間變得龐大和復雜，且存在多個局部最優(yōu)解。因此，在尋找全局最優(yōu)解的過程中，避免陷入局部最優(yōu)解變得尤為關鍵，這增加了求解的難度。二是對計算資源需求高。這包括但不限于處理時間、內(nèi)存容量和處理器性能。隨著變量數(shù)量的增加，求解所需的時間可能會以指數(shù)級增長，這不僅對硬件設施提出了更高的要求，也對算法的優(yōu)化提出了挑戰(zhàn)。三是對解的精度要求高，小的誤差可能會導致解的質量顯著下降，最終影響結果的可靠性、有效性。

幸運的是，現(xiàn)實中的復雜應用場景通常是由最基礎的低階數(shù)學問題演化出來的?；A的數(shù)學問題通過不斷組合和擴展，形成了復雜的應用場景。

比如，圖像處理是從像素操作（基礎矩陣運算）出發(fā)，發(fā)展出圖像濾波、邊緣檢測等基本圖像處理技術。在此基礎上，運用基礎卷積運算和激活函數(shù)，提取出圖像高層次特征，使其能夠處理復雜的圖像分類、目標檢測等任務，也構成了卷積神經(jīng)網(wǎng)絡（CNN）的基本框架。進一步，集成學習和深度學習技術通過多層網(wǎng)絡結構和反向傳播算法，結合多個學習器，大幅提升了模型的處理能力和預測精度，最終形成強大的圖像處理與計算機視覺系統(tǒng)。

再舉一個簡單的例子，現(xiàn)實生活中的五顏六色，構成了豐富多彩的世界，但這么多階的復雜顏色分類，其實都可以歸結為最基礎的“紅黃藍”三原色。通過三原色的多種組合，才演化出更高階的、更細分的具象色彩。

由于高階問題很復雜，所以直接求解非常困難，但降階（二次化）可以將高階函數(shù)轉換為基礎的二次函數(shù)，從而簡化優(yōu)化問題，使其更容易求解。

例如網(wǎng)絡安全問題中的RSA加密算法的破解，借助降階，用QUBO（二次無約束二值優(yōu)化）可以建模整數(shù)分解問題，隨著量子比特的增加，用量子計算破解RSA算法將更容易。此外，銀行業(yè)務中通過設置信用評分卡的合理閾值，以使銀行的最終收入最多的復雜問題，也能利用QUBO建模進行求解，得到高收益的銀行卡設置方案。

面對不同行業(yè)場景下的實際問題的高階函數(shù)，基于玻色量子自研的開物SDK都可以實現(xiàn)輕松降階，將HOBO（高階二值優(yōu)化）通過添加約束條件轉化為QUBO問題，簡化問題難度，大幅加快解決NP-Hard組合優(yōu)化問題的速度。

降階思路：

HOBO可以通過添加約束條件轉化為QUBO問題。

具體來說，即通過變量替換，令y=x0x1，將原式中的單項式階數(shù)降低，并添加y=x0x1的約束。

銀行信用評分卡設置的降階案例

當大家借用充電寶的時候，都會顯示一個信用評分的免押金彈窗，這是我們能看得見的一種信用等級評分。當我們在申請銀行信用卡或相關的貸款等業(yè)務中，銀行對客戶授信之前，需要先通過各種審核規(guī)則對客戶的信用等級進行評定，通過評定后的客戶才能獲得信用或貸款資格，這是我們看不見的一種信用等級評分。

在銀行業(yè)，規(guī)則審核過程實際是經(jīng)過一重或者多重組合規(guī)則后對客戶進行打分，這些規(guī)則就被稱為“信用評分卡”，每個信用評分卡又有多種閾值設置（有且只有一個閾值生效），這就使得不同的信用評分卡在不同的閾值下，對應不同的通過率和壞賬率，一般通過率越高，壞賬率也會越高，反之，通過率越低，壞賬率也越低。

對銀行來說，通過率越高，通過貸款資格審核的客戶數(shù)量就越多，相應的銀行獲得的利息收入就會越多，但高通過率一般對應著高壞賬率，而壞賬意味著資金的損失風險，因此銀行最終的收入可以定義為：

最終收入= 貸款利息收入-壞賬損失

我們將該問題進行做如下簡化：假設貸款資金為100萬元，銀行貸款利息收入率為8%，要為3種信用評分卡選取閾值。三種信用卡組合后，總通過率為所有信用卡的通過率相乘，壞賬率為三種評分卡對應壞賬率的平均值。也就是說，貸款利息收入=貸款資金×利息收入率×總通過率×（1－總壞賬率）

那么，如何設置合理的閾值，使得最終收入最多？

實際上使用QUBO建?？梢赃M行求解，得到高收益的銀行卡設置方案。

設y1j，y2j，y3j分別代表信用卡的第1、2、3種信用評分卡選擇第j個閾值，選擇則取1，不選則取0，h1j,h2j,h3j分別是第1、2、3種信用評分卡選擇第j個閾值的壞賬率。那么最終的收益率可以表達為：

表達式中出現(xiàn)了高次項：y1iy2jy3k已經(jīng)是三次項，需要借助降階把它變成二次項。

設置輔助變量qij，用它替換公式中的y1iy2j并約束qij=y1iy2j。 借助新增的輔助變量和約束，原問題就轉化為了二次問題。而要使得約束成立的方式是在原式中添加懲罰項，即Rosenberg二次懲罰項:

最終新的多項式為

其中k是懲罰項系數(shù)。

其它降階方法

對于特定的情況，也存在一些特殊的降階方法。

如當某一高次項的系數(shù)為負數(shù)時，可以使用不同的二次化方法：

其中ba是輔助變量。

當b1b2...bn=1時，說明對所有的都滿足bi=1，由于ba的取值只受b1,b2...bn影響，所以容易驗證當ba取1時等式右側QUBO值更低。當?shù)仁接覀热∽畹椭禃r正好與等式左側相等，取值為-1。

當b1b2...bn=0時，說明存在bi都滿足bi=0，ba取1代入等式右側得到

所以容易驗證當ba取0時等式右側QUBO值更低。當?shù)仁接覀热∽畹椭禃r正好與等式左側相等，取值為0。

舉例：

可以等價替換為:

相比于上述方法，該方法可以用一個輔助變量將1個n次項變?yōu)?次，只增加1個輔助變量。但是應用范圍要小。

針對不同的應用場景，還存在一些其它特定的降階方法。

總結

對于現(xiàn)實生活中的不同行業(yè)不同場景下的復雜問題，高階函數(shù)的降階求解是一種通用型求解思維，基于玻色量子自研的開物SDK，用戶只需關注建立與場景所對應的數(shù)學模型，SDK提供的方法可以自動完成降階，用戶不用關心背后的復雜度，大大降低用戶使用相干光量子計算機求解問題的難度。