如何區(qū)分fir與iir的系統(tǒng)函數(shù)

在數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域，F(xiàn)IR（有限沖激響應(yīng)）和IIR（無限沖激響應(yīng)）濾波器是兩種常見的濾波器類型。它們?cè)谠O(shè)計(jì)、性能和應(yīng)用方面具有顯著差異。

1. 定義

1.1 FIR濾波器

FIR（Finite Impulse Response）濾波器是一種線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)，其輸出信號(hào)是輸入信號(hào)的有限長(zhǎng)度沖激響應(yīng)的線性組合。FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以表示為：

H(z) = b0 + b1z^(-1) + b2z^(-2) + ... + bN*z^(-N)

其中，b0, b1, ..., bN是濾波器的系數(shù)，N是濾波器的長(zhǎng)度，z是Z變換的單位根。

1.2 IIR濾波器

IIR（Infinite Impulse Response）濾波器也是一種線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)，但其輸出信號(hào)是輸入信號(hào)的無限長(zhǎng)度沖激響應(yīng)的線性組合。IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以表示為：

H(z) = (a0 + a1z^(-1) + a2z^(-2) + ... + aMz^(-M)) / (1 + aM+1z^(-1) + aM+2z^(-2) + ... + aNz^(-N))

其中，a0, a1, ..., aM是分子系數(shù)，aM+1, aM+2, ..., aN是分母系數(shù)，M和N分別表示分子和分母的長(zhǎng)度。

2. 特點(diǎn)

2.1 FIR濾波器的特點(diǎn)

2.1.1 穩(wěn)定性

FIR濾波器具有固有的穩(wěn)定性，因?yàn)槠浞帜甘冀K為1，不會(huì)引入極點(diǎn)。這意味著FIR濾波器不會(huì)發(fā)生振蕩或不穩(wěn)定的現(xiàn)象。

2.1.2 線性相位

FIR濾波器可以設(shè)計(jì)為具有線性相位特性，即輸出信號(hào)的相位與輸入信號(hào)的頻率成線性關(guān)系。這使得FIR濾波器在處理信號(hào)時(shí)不會(huì)引入相位失真。

2.1.3 易于設(shè)計(jì)

FIR濾波器的設(shè)計(jì)相對(duì)簡(jiǎn)單，可以通過窗函數(shù)法、頻率采樣法等方法實(shí)現(xiàn)。這些方法可以直觀地控制濾波器的頻率響應(yīng)特性。

2.1.4 靈活性

FIR濾波器具有較高的靈活性，可以通過調(diào)整濾波器的長(zhǎng)度和系數(shù)來實(shí)現(xiàn)不同的濾波效果。

2.2 IIR濾波器的特點(diǎn)

2.2.1 穩(wěn)定性

IIR濾波器的穩(wěn)定性取決于其極點(diǎn)的位置。如果所有極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)，則IIR濾波器是穩(wěn)定的。然而，IIR濾波器的設(shè)計(jì)需要考慮極點(diǎn)的位置，以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.2.2 非線性相位

IIR濾波器通常具有非線性相位特性，即輸出信號(hào)的相位與輸入信號(hào)的頻率不成線性關(guān)系。這可能導(dǎo)致信號(hào)在處理過程中產(chǎn)生相位失真。

2.2.3 設(shè)計(jì)復(fù)雜性

IIR濾波器的設(shè)計(jì)相對(duì)復(fù)雜，需要考慮極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置，以實(shí)現(xiàn)所需的頻率響應(yīng)特性。常用的設(shè)計(jì)方法包括脈沖響應(yīng)法、雙線性變換法等。

2.2.4 高通濾波特性

IIR濾波器在實(shí)現(xiàn)高通濾波器時(shí)具有優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樗鼈兛梢栽谳^低的濾波器階數(shù)下實(shí)現(xiàn)較高的截止頻率。

3. 設(shè)計(jì)方法

3.1 FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法

3.1.1 窗函數(shù)法

窗函數(shù)法是一種常用的FIR濾波器設(shè)計(jì)方法。首先確定濾波器的理想頻率響應(yīng)，然后通過窗函數(shù)對(duì)其進(jìn)行加權(quán)，以控制濾波器的過渡帶特性。常用的窗函數(shù)包括漢明窗、漢寧窗、布萊克曼窗等。

3.1.2 頻率采樣法

頻率采樣法通過在理想頻率響應(yīng)的特定頻率點(diǎn)上進(jìn)行采樣，然后通過插值方法得到濾波器的系數(shù)。這種方法適用于實(shí)現(xiàn)帶通、帶阻等濾波器。

3.1.3 最小二乘法

最小二乘法通過最小化濾波器系數(shù)與理想頻率響應(yīng)之間的誤差來設(shè)計(jì)FIR濾波器。這種方法可以用于實(shí)現(xiàn)各種類型的濾波器，但計(jì)算復(fù)雜度較高。