數(shù)據(jù)表示與編碼的奧秘：為什么8位數(shù)據(jù)范圍是-128到127？

很表面很淺薄的問題。

簡單說愛怎么規(guī)定就怎么規(guī)定，甚至-1到254都行。無非是顯示時(shí)通過編碼表做個(gè)轉(zhuǎn)換的問題而已。

不過，當(dāng)初選擇“補(bǔ)碼”這種編碼形式，卻并不像表面看起來那么淺薄。背后的道道可多著呢。

首先，8位二進(jìn)制一共可以提供256個(gè)“碼點(diǎn)”；那么我們就總可以用這些“碼點(diǎn)”來編碼256種符號(hào)。

這種編碼方案有很多。最著名的大概就是ASCII碼方案了，這個(gè)方案規(guī)定了英文字符（區(qū)分大小寫）、0~9這10個(gè)數(shù)字、標(biāo)點(diǎn)符號(hào)以及一些控制字符如何編碼：

但ASCII碼用來編碼字符效果不錯(cuò)；拿來存儲(chǔ)數(shù)字卻極為浪費(fèi)。比如它需要三個(gè)字節(jié)才能表示123。

為了編碼數(shù)字，我們需要一個(gè)更有效的方案。

一種很自然的想法是，我們就直接把二進(jìn)制對(duì)應(yīng)的數(shù)字值拿來用，這就是最好的編碼方案！

于是，8個(gè)二進(jìn)制位就可以表示0~255之間的所有數(shù)字——用ASCII碼三個(gè)字節(jié)才能表示的123，直接用二進(jìn)制編碼就是01111011，一個(gè)字節(jié)足夠了。

這個(gè)方案只能表示正數(shù)；遇到負(fù)數(shù)怎么辦呢？

簡單，第一個(gè)二進(jìn)制位拿出來當(dāng)符號(hào)位，剩下七位仍然當(dāng)數(shù)字用，就能表示±127之間的任何數(shù)字了。

這個(gè)方案就叫“原碼”；其中不帶符號(hào)位的就是無符號(hào)數(shù)（unsigned）。

原碼是一種很初級(jí)的編碼方案，它僅僅解決了編碼問題——從此數(shù)字有辦法二進(jìn)制表示了。

但我們?cè)谟?jì)算機(jī)內(nèi)部表示數(shù)字是用來計(jì)算的；那么想用原碼計(jì)算的話，那可就麻煩了……

我們知道，最初CPU的內(nèi)部最重要的核心器件叫ALU（Arithmetic and Logic Unit算術(shù)邏輯單元），其中的A就是數(shù)學(xué)。

ALU的核心是加法器，這是個(gè)隨參與計(jì)算的數(shù)值的二進(jìn)制位數(shù)指數(shù)增長的數(shù)字電路。較早期的CPU里面絕大多數(shù)的邏輯門都被拿來做這個(gè)加法器了。

加法器顧名思義只能拿來做加法。

但是沒關(guān)系，如果你調(diào)過機(jī)械表，就知道從8點(diǎn)調(diào)到1點(diǎn)的方式有兩種：一種是往后撥7個(gè)小時(shí)，一種是往前撥5個(gè)小時(shí)。

換句話說，在時(shí)鐘鐘面上，8-7和8+(12-7)效果相同，最終得到的都是1.

類似的，1個(gè)字節(jié)的加減法，如果計(jì)算結(jié)果超過255就會(huì)造成溢出，溢出的高位二進(jìn)制數(shù)據(jù)無處存放自動(dòng)丟棄，計(jì)算結(jié)果就出錯(cuò)了——但反過來想，這不恰恰就是一個(gè)邏輯鐘面嗎？

顯然，我們也可以利用這個(gè)性質(zhì)做減法：減32完全可以當(dāng)成加(256-32)來算嘛；而由于二進(jìn)制的特點(diǎn)，256-32恰好又等于32這個(gè)數(shù)值取反。

類似的，有符號(hào)數(shù)其實(shí)是一個(gè)符號(hào)位和7個(gè)二進(jìn)制位，7個(gè)二進(jìn)制位能表示的最大數(shù)是127；因此減32就可以用加(128-32)代替（和表盤上的12點(diǎn)/0點(diǎn)一樣）。

于是，減法器就可以不做，一個(gè)加法器就足夠用了——省了好大一坨門電路，CPU的制造成本一下子就去了一大塊。

既然最終減法一定要這樣做……那么從一開始就不應(yīng)該用原碼表示負(fù)數(shù)，對(duì)吧。

不然每次計(jì)算都還得用一條指令判斷判斷符號(hào)位，然后該取反取反……這速度可就慢下去了。

如果從一開始，負(fù)數(shù)就取反表示，那么負(fù)數(shù)加法完全無需判斷，拎起來就加——圓滿。

這個(gè)編碼方案就是所謂的反碼。

反碼是一個(gè)充滿了工程師的惡臭味的優(yōu)秀方案。

說它優(yōu)秀，是因?yàn)樗拇_解決問題；說它惡臭，是因?yàn)樗闷饋韺?shí)在麻煩，需要很多“微妙”的調(diào)整才能得到正確結(jié)果。

比如，它的符號(hào)位相加后，如果產(chǎn)生了進(jìn)位，就要把進(jìn)位送回去加到最低位上——你得搞一大張真值表才能確定這個(gè)做法的正確性。

嗯……這就是最容易產(chǎn)生沒人看得懂但絕對(duì)不能動(dòng)不然就會(huì)出錯(cuò)的神奇代碼的重災(zāi)區(qū)——反正它就是能工作；剛開始我還知道為什么得這樣做，一段時(shí)間后就只有上帝知道了。

反碼行為奇特的根本原因在于，它有兩個(gè)零：＋0和－0，分別對(duì)應(yīng)于00000000和10000000——還記得嗎？我們規(guī)定第一位是符號(hào)位。因此最前面的0/1是±號(hào)，并不是數(shù)值。

但＋0和－0都是0.它們是同一個(gè)數(shù)據(jù)，卻得到了兩個(gè)碼點(diǎn)。

打個(gè)比方的話，這就好像夜里12點(diǎn)就是0點(diǎn)一樣；結(jié)果我們的鐘匠師傅沒想明白，偏偏要在鐘面上、12點(diǎn)和1點(diǎn)之間添加一個(gè)零點(diǎn)——然而邏輯上我們?nèi)匀恍枰?2小時(shí)是一圈。

現(xiàn)在，你還想好好調(diào)表嗎？算的準(zhǔn)準(zhǔn)的，8點(diǎn)前擰5個(gè)小時(shí)就是1點(diǎn)了；結(jié)果擰完一看，0點(diǎn)？

徹底亂套了，對(duì)吧。

而反碼的計(jì)算規(guī)則呢，無異于規(guī)定了過12點(diǎn)的方向——正著過正常去1點(diǎn)，反著過會(huì)先停在-0點(diǎn)上，所以必須推一把。

注意這個(gè)調(diào)整是計(jì)算過程的一部分，每次計(jì)算都必須即時(shí)調(diào)整。這是一個(gè)額外的負(fù)擔(dān)——和顯示時(shí)查表轉(zhuǎn)換到光學(xué)點(diǎn)陣/向量是不想干的兩個(gè)過程。

或者說，數(shù)據(jù)的內(nèi)部表示和外部顯示之間的轉(zhuǎn)換是另外一個(gè)必不可少的流程。這里只要不是太過復(fù)雜就不能算額外負(fù)擔(dān)；而原碼/反碼這兩個(gè)編碼方案已經(jīng)影響了計(jì)算過程，造成了額外的性能消耗。

一言以蔽之：能解決問題，但是太難看、太復(fù)雜。

一個(gè)更好的方案叫補(bǔ)碼。

但是在介紹補(bǔ)碼之前，我先來講一個(gè)數(shù)學(xué)概念—群。

群大概來源于“算術(shù)運(yùn)算以及適用算法運(yùn)算的集合”的抽象，但又超脫于簡單的四則運(yùn)算，是一切計(jì)算/變換類似行為的總綱。

在群的觀念里，加減乘除都是一種“二元運(yùn)算”；二元運(yùn)算是一個(gè)集合G中任意兩個(gè)元素向群中另一個(gè)元素的映射。比如1+1就映射到了2。

注意群有“封閉性”，意思是群中任意兩個(gè)元素經(jīng)過二元運(yùn)算后，映射的那個(gè)元素都還要在群中。因此(自然數(shù),加減法)就不是一個(gè)群，因?yàn)闇p法會(huì)映射到負(fù)數(shù)。

此外，二元運(yùn)算需要滿足結(jié)合律，要有單位元（任何元素與之執(zhí)行二元運(yùn)算后都會(huì)映射到該元素自身），等等。

更復(fù)雜的東西我也還看不懂（對(duì)不起，俺數(shù)學(xué)水平太弱雞了）；但了解這么多其實(shí)也已經(jīng)夠了：反碼存在兩個(gè)0，意味著對(duì)于加法運(yùn)算來說，它存在兩個(gè)不同的單位元；而根據(jù)群的定義，群里面有且只有一個(gè)單位元。

因此，在反碼這個(gè)基礎(chǔ)上無法定義一個(gè)群——用人話說就是，你不可能期望找到一種不需要判斷的算法，從而基于反碼模擬加減法運(yùn)算。

沒錯(cuò)，反碼有兩個(gè)零這事并不像外行想象的那樣無關(guān)痛癢——它并不僅僅是浪費(fèi)了一個(gè)碼點(diǎn)的問題，而是破壞了相關(guān)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)的問題。

如何解決這個(gè)問題呢？

不妨返璞歸真，看看這個(gè)問題的本質(zhì)。

很簡單，和上面等待寫入時(shí)間信息的無字鐘面一樣：這里有256個(gè)不同的二進(jìn)制編碼，我們需要給它們分別指定一個(gè)意義。

我們希望它們是連續(xù)的編碼，且基于二進(jìn)制的排序不能打亂——這樣我們才能使得基于這些碼點(diǎn)的、拋棄溢出位的加減法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群。

只有它們是一個(gè)群，我們才能簡單明了的在加法器上支持加減法運(yùn)算——而不是先算一個(gè)瑕疵值然后想辦法彌補(bǔ)、把硬件/軟件變得復(fù)雜。

打個(gè)比方的話，就是把這些二進(jìn)制編碼按順序排于鐘面，我們要在上面填上帶±號(hào)的數(shù)字。

原碼的問題在于，它的編碼排列“不按固定順序”，使得因此必須把負(fù)數(shù)先“顛倒”一下（實(shí)際上取反）才能用；而反碼頭疼醫(yī)頭腳疼醫(yī)腳，大致保證了編碼順序，卻沒能消除額外的無效碼點(diǎn)，造成在±0這個(gè)位置兩個(gè)碼點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)編碼。

這兩個(gè)編碼都沒法自然構(gòu)造出加法群。

借用@任衛(wèi)同學(xué)的這張圖：

可以很清晰的看出補(bǔ)碼編碼的連續(xù)性。

（相比之下，原碼是0 1 2 3……127 -0 -1 -2……-127，順序上一會(huì)兒從小到大一會(huì)兒從大到??；補(bǔ)碼按照一定的順序編碼但是多了個(gè)-0；

只有補(bǔ)碼，嚴(yán)格按照統(tǒng)一的順序連續(xù)排列數(shù)字）。

既然連續(xù)，那么通過加一個(gè)值（可能為負(fù)）調(diào)整對(duì)稱中心（比如0的位置是00000000還是11111111）、然后再引入模運(yùn)算剔除高位溢出，這個(gè)群就建立起來了。

換句話說，隨便你如何編碼，只要?jiǎng)e改變底層的二進(jìn)制順序、不要有跳躍/重復(fù)碼點(diǎn)，那么這個(gè)計(jì)算就仍然是一個(gè)群。

這個(gè)計(jì)算過程和最終的顯示是完全脫鉤的，你不需要在計(jì)算時(shí)做任何調(diào)整——溢出就隨它溢出，反正（在模運(yùn)算的層面上）算出來的值總是對(duì)的。這是群的性質(zhì)所保證的。

（注意是“模運(yùn)算的層面上”，換句話說算出來的實(shí)際意義是什么還是得你自己解釋；尤其是產(chǎn)生溢出之后。）

比如，哪怕你把它的編碼范圍改成[-129, 126]或者[-1, 254]，這也僅僅是一個(gè)加/減一個(gè)整數(shù)的映射操作而已；核心計(jì)算法則仍然會(huì)滿足你的需求）。

甚至，你規(guī)定0代表1、1代表0，最終也不過是顯示時(shí)換一個(gè)不同的譯碼表而已，并不改變問題性質(zhì)。

這個(gè)性質(zhì)是普適的。

7位、8位或者32位、128位二進(jìn)制全都適用。

一旦明白了這個(gè)……再寫環(huán)形緩沖時(shí)，你還要費(fèi)勁巴拉的檢查什么時(shí)候需要繞回嗎？求個(gè)余（或許還需要再視情況不同增減一個(gè)常數(shù)），完事。

你看，數(shù)學(xué)這種東西厲害吧？

哪怕群論門檻都摸不到的這么一點(diǎn)點(diǎn)皮毛知識(shí)，帶來的就是眼界水平的差異。

一旦了解了這點(diǎn)皮毛，關(guān)于補(bǔ)碼的種種清規(guī)戒律神奇規(guī)則，也就平常。

但沒有這個(gè)眼界，就容易像反碼那樣動(dòng)輒得咎；反之，隨你怎么玩都不會(huì)出界。

沒錯(cuò)。別看這東西簡單；

但想要做第一個(gè)提出的人，你還是需要強(qiáng)悍的洞察力的。

站在群論的肩膀上、反向碾壓這個(gè)問題，這是伽羅瓦之后的現(xiàn)代人特有的福利。

審核編輯：黃飛