泊松分布在微流控芯片分子免疫檢測中的應(yīng)用有哪些

1 二項(xiàng)式分布推導(dǎo)計(jì)算

二項(xiàng)分布的推導(dǎo)過程主要基于組合數(shù)學(xué)和概率論的基本原理。假設(shè)有一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果，通常稱為“成功”和“失敗”。成功的概率為p，失敗的概率為1?p?，F(xiàn)在進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中成功k次的概率。

推導(dǎo)過程如下：

1) 確定組合方式：

首先，需要確定在n次試驗(yàn)中成功k次的組合方式有多少種。這可以通過組合數(shù)（也叫二項(xiàng)式系數(shù)）來計(jì)算，它表示從n個(gè)不同項(xiàng)中選取k個(gè)的不同方式的數(shù)目。組合數(shù)的計(jì)算公式為：

??

(1)

其中n!表示n的階乘，即 n×(n?1)×…×2×1。

2) 計(jì)算每種組合方式的概率：

接下來，計(jì)算每一種組合方式對(duì)應(yīng)的概率。由于每次試驗(yàn)成功的概率是p，失敗的概率是1?p，且試驗(yàn)是獨(dú)立的，所以成功k次且失敗n?k次的概率為pk×(1?p)n?k。

3) 將組合數(shù)與概率相乘：

最后，將組合數(shù)與每一種組合方式的概率pk×(1?p)n?k相乘，并考慮到所有可能的k值（從0到n），得到成功次數(shù)為k的總概率。因此，二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)為：

????

k=0,1,2,…,n(2)

這個(gè)公式描述了在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功次數(shù)為k的概率，即二項(xiàng)分布的概率質(zhì)量函數(shù)。

需要注意的是，當(dāng)n和k的值較大時(shí)，直接計(jì)算階乘和組合數(shù)可能會(huì)非常繁瑣。在實(shí)際應(yīng)用中，通常會(huì)使用編程庫中的二項(xiàng)式分布函數(shù)來進(jìn)行計(jì)算，這些函數(shù)已經(jīng)優(yōu)化了計(jì)算過程，可以高效地處理大數(shù)值的情況。

2 從二項(xiàng)分布到泊松分布推導(dǎo)計(jì)算

從二項(xiàng)式分布推導(dǎo)泊松分布的詳細(xì)計(jì)算過程涉及幾個(gè)關(guān)鍵步驟和近似。逐步推導(dǎo)：

首先，回顧二項(xiàng)式分布的概率質(zhì)量函數(shù)：

????

k=0,1,2,…,n (3)

其中，X表示在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)，p是每次試驗(yàn)成功的概率。

現(xiàn)在，考慮一種特殊情況：當(dāng)n很大，p很小，但np保持為一個(gè)中等大小的常數(shù)時(shí)，二項(xiàng)式分布可以近似為泊松分布。

推導(dǎo)過程如下：

1) 使用斯特林公式近似階乘：

斯特林公式給出了階乘的一個(gè)近似表達(dá)式：

?????????????

(4)

e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，約等于 2.71828。

利用這個(gè)公式，我們可以近似計(jì)算組合數(shù)： ? ?

???????

(5)

簡化后得到：

??????

(6)

2) 將p替換為λ/n：

在泊松分布的上下文中，我們通常使用參數(shù)λ來表示平均發(fā)生率或期望值，即λ=np。因此，可以將p替換為λ/n得到

?????

(7)

進(jìn)一步簡化，考慮到n很大而k相對(duì)較小，并且?的影響在?n?很大時(shí)可以忽略。。

上式子簡化為

????

(8)

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

??????

(9)

3) 當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，?趨近于?（這是由指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)得出的）。因此，上述(8)式進(jìn)一步簡化為：

?????

(10)

這就是泊松分布的概率密度函數(shù)。綜上所述，當(dāng)二項(xiàng)式分布中的試驗(yàn)次數(shù)n很大，而每次試驗(yàn)成功的概率p很小時(shí)，通過一系列近似和變換，我們可以將二項(xiàng)式分布近似為泊松分布。這種近似在統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論中非常有用，特別是在處理大量小概率事件時(shí)。

3 泊松分布在分子免疫檢測中的應(yīng)用

在分子免疫檢測中，泊松分布可以用于描述在一定區(qū)域內(nèi)（如細(xì)胞表面、組織切片等）隨機(jī)出現(xiàn)的抗原分子數(shù)量或者熒光標(biāo)記分子的數(shù)量。例如：

1）流式細(xì)胞術(shù)分析

在流式細(xì)胞儀中，我們可能對(duì)單個(gè)細(xì)胞上特定抗原受體的數(shù)量感興趣。假設(shè)平均每個(gè)細(xì)胞上有 λ 個(gè)受體，那么根據(jù)泊松分布，給定細(xì)胞上具有 k 個(gè)受體的概率可以通過泊松概率質(zhì)量函數(shù)來計(jì)算：

這有助于研究人員了解細(xì)胞群體中不同受體表達(dá)水平的細(xì)胞比例。

2）免疫組化或免疫熒光實(shí)驗(yàn)：

在這些實(shí)驗(yàn)中，抗體與組織切片上的靶蛋白結(jié)合后，通過顯色劑或熒光探針進(jìn)行可視化。每單位面積（如一個(gè)視野或一個(gè)細(xì)胞核內(nèi)）的陽性信號(hào)點(diǎn)數(shù)可以服從泊松分布。

實(shí)驗(yàn)人員可能想要知道在一定的觀察窗口內(nèi)觀測到 k 個(gè)信號(hào)點(diǎn)的概率，特別是在背景噪聲較高的情況下，泊松分布可以幫助量化這一隨機(jī)過程。

3）病毒或微生物計(jì)數(shù)：

分子免疫檢測也包括對(duì)病毒顆粒、細(xì)菌或其他微生物的定量。例如，在病毒載量檢測中，如果已知樣本中的平均病毒濃度，泊松分布可以用來預(yù)測在一次檢測中發(fā)現(xiàn)某個(gè)病毒拷貝數(shù)的概率。

4）基因表達(dá)定量：

在RNA測序（RNA-Seq）數(shù)據(jù)分析中，泊松分布模型有時(shí)也被用于估計(jì)轉(zhuǎn)錄本的豐度。盡管更為復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)模型常被使用，但在某些簡化條件下，基因表達(dá)水平的變化可以近似為泊松過程。

通過泊松分布的建模和計(jì)算，研究者能夠更準(zhǔn)確地推斷出生物分子的實(shí)際分布情況，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計(jì)推斷。

4 計(jì)算實(shí)例

泊松分布可以被用來精確描述超低濃度蛋白分子的檢測過程。以下是泊松分布在分子免疫檢測中的一個(gè)具體計(jì)算示例：

假設(shè)我們正在檢測一種特定蛋白質(zhì)分子的濃度，其平均出現(xiàn)率為λ。為了簡化計(jì)算，我們假設(shè)λ=3，即平均每個(gè)樣本中有3個(gè)蛋白質(zhì)分子?，F(xiàn)在，我們想要計(jì)算在一個(gè)樣本中檢測到k個(gè)蛋白質(zhì)分子的概率。這可以通過泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)來完成。概率質(zhì)量函數(shù)的公式為：

其中，X是觀察到的蛋白質(zhì)分子數(shù)，k是具體的次數(shù)，λ是平均出現(xiàn)率。

例如，我們想要計(jì)算在一個(gè)樣本中檢測到恰好2個(gè)蛋白質(zhì)分子的概率。將λ=3和k=2代入公式，我們得到：

所以，在一個(gè)樣本中檢測到恰好2個(gè)蛋白質(zhì)分子的概率約為0.2241。

假設(shè)在一項(xiàng)針對(duì)某種細(xì)胞表面抗原的流式細(xì)胞術(shù)實(shí)驗(yàn)中，我們已知平均每個(gè)細(xì)胞上大約有4個(gè)該抗原分子（λ=4）?，F(xiàn)在想要計(jì)算在給定的一個(gè)細(xì)胞上觀察到恰好有6個(gè)這種抗原分子的概率。

根據(jù)泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)，可以這樣計(jì)算：

將 λ = 4 和 k = 6 帶入公式：

所以，在這個(gè)例子中，觀察到一個(gè)細(xì)胞上有6個(gè)該抗原分子的概率約為11.53%。

類似地，我們可以計(jì)算其他k值的概率。如果我們想要知道檢測到蛋白質(zhì)分子數(shù)少于或等于某個(gè)特定值（比如3）的概率，我們可以計(jì)算所有小于或等于3的k值的概率，并將它們相加。這稱為累積分布函數(shù)。值得注意的是，由于泊松分布的前提是事件之間是相互獨(dú)立的，因此在實(shí)際應(yīng)用中，需要確保樣本中的蛋白質(zhì)分子是隨機(jī)分布的，且每個(gè)分子的檢測是獨(dú)立的。此外，λ的估計(jì)也是非常重要的，它可以通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或理論模型來得出。通過這種方法，泊松分布在分子免疫檢測中為我們提供了一種精確量化超低濃度蛋白質(zhì)分子的工具，對(duì)于生物醫(yī)學(xué)研究和臨床診斷等領(lǐng)域具有重要意義。

熒光分子計(jì)數(shù)中，泊松分布可以用于預(yù)測在某個(gè)區(qū)域內(nèi)（如細(xì)胞內(nèi)或顯微圖像的像素點(diǎn)）隨機(jī)出現(xiàn)熒光標(biāo)記分子的數(shù)量。例如，在單分子熒光成像實(shí)驗(yàn)中，我們對(duì)每個(gè)細(xì)胞內(nèi)某種蛋白質(zhì)分子的平均表達(dá)量為λ個(gè)。

假設(shè)研究者使用了熒光標(biāo)記技術(shù)來檢測和量化細(xì)胞內(nèi)的某種蛋白質(zhì)，并且通過分析得知，在一個(gè)典型細(xì)胞內(nèi)平均有100個(gè)這種熒光標(biāo)記的蛋白質(zhì)分子（即λ=100）?，F(xiàn)在他們想要計(jì)算在一個(gè)特定細(xì)胞內(nèi)恰好觀測到120個(gè)熒光信號(hào)的概率。

應(yīng)用泊松分布概率質(zhì)量函數(shù)：

將 λ = 100 和 k = 120 帶入公式：

這個(gè)結(jié)果非常小，表示在給定條件下，觀察到恰好120個(gè)熒光標(biāo)記分子的概率極低。在實(shí)際數(shù)據(jù)分析時(shí)，通常會(huì)用泊松分布來擬合整個(gè)分子計(jì)數(shù)的數(shù)據(jù)集，以獲得總體表達(dá)水平、變異性以及不同表達(dá)水平下的細(xì)胞比例等統(tǒng)計(jì)信息。