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你真的理解自發(fā)產(chǎn)生的電荷濃度嗎?

冬至子 ? 來源:橘子說IGBT ? 作者:古老師 ? 2023-11-27 16:58 ? 次閱讀

前文講了電子在不同能量下的分布概率,顯然概率隨能量是遵守費(fèi)米分布規(guī)律連續(xù)性變化的。

至于電子在某個(gè)能量狀態(tài)下是否能夠存在,得看 是否存在對(duì)應(yīng)于這個(gè)能量值的能級(jí),并不是有出現(xiàn)概率就一定存在 。

回憶之前所舉的棋盤格子的例子,一個(gè)格子代表一個(gè)能級(jí),一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)一個(gè)能量。對(duì)于電子來說,一個(gè)能量可以存在兩個(gè)狀態(tài),即兩個(gè)不同旋轉(zhuǎn)方向,也就是說,若將一個(gè)電子比喻成一個(gè)棋子,那么一個(gè)格子中能放兩個(gè)不同旋轉(zhuǎn)方向的電子。

1.jpg

那么要想知道電荷的濃度,相當(dāng)于想要知道單位面積內(nèi)的格子里有多少個(gè)電子。接下來我們將分別通過公式推導(dǎo)定性的方式來解釋自發(fā)產(chǎn)生的電荷濃度。

電荷濃度的公式推導(dǎo)

01

在已知電子存在于每個(gè)格子的概率的情況下,只需要知道棋盤單位面積內(nèi)總共有多少個(gè)格子即可,即用單位面積內(nèi)的格子數(shù)乘以每個(gè)格子中電子的分布概率就得到總的電子數(shù)量。

上述單位面積的棋盤和格子的關(guān)系,對(duì)應(yīng)到En-kn關(guān)系中,就是單位能量中的波矢數(shù)量,即dE中對(duì)應(yīng)的kn數(shù)量,物理上稱為(能)態(tài)密度,即單位能量范圍內(nèi)可存在的狀態(tài)密度。

顯然,對(duì)于導(dǎo)帶,態(tài)密度可表達(dá)為N c (E)=dX/dE,其中,dX表示在能量dE范圍內(nèi)的能態(tài)數(shù)量。

導(dǎo)帶中電子的能量表達(dá)式為

圖片

1.jpg

圖片

欲求得態(tài)密度dX/dE,在知道dk/dE的情況下,將其做一個(gè)變形

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1.jpg

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因?yàn)?img src="http://file.elecfans.com/web2/M00/10/8D/poYBAGEd6RmAI9OxAAAAoJMC_jk105.png" alt="圖片" />圖片,所以上式可以近似得到導(dǎo)帶中電子濃度為

圖片

同理,可以推導(dǎo)出價(jià)帶中的空穴濃度,但要注意的是

圖片

這兩個(gè)表達(dá)式即描述了在溫度T,導(dǎo)帶和價(jià)帶中對(duì)應(yīng)某個(gè)能量本征激發(fā)的電荷濃度。

電荷濃度的定性解釋

02

電荷濃度的推導(dǎo)涉及到固體物理的基礎(chǔ)知識(shí),盡管前文以棋盤為例進(jìn)行類比,但要理解還是不大直觀,其原因主要在于E-k(能量-波矢)空間比較抽象,即倒格子空間,這是分析微觀粒子量子化特性的一個(gè)基本空間,完全是一個(gè)想象出來的數(shù)學(xué)抽象空間。

為什么需要這么一個(gè)抽象空間呢?因?yàn)槲⒂^粒子的描述方式有一個(gè)基本方程式叫做薛定諤方程,描述了 微觀粒子的波函數(shù)和能量之間的關(guān)系,波函數(shù)表征的則是粒子出現(xiàn)的概率 。

如前文提到空間自由電子的波函數(shù)表達(dá)式為圖片圖片,k是描述波函數(shù)的重要物理量,所以在E-k所描繪的空間中,可以比較方便地推導(dǎo)各種微觀粒子的狀態(tài)。

至于薛定諤方程的由來,以及如何通過薛定諤方程推導(dǎo)某種具體粒子的狀態(tài),在此不做贅述。

還是結(jié)合棋盤的例子,這里再進(jìn)一步做解釋,大致邏輯可以梳理如下:若將一個(gè)電子比作一枚棋子,能級(jí)比作一個(gè)棋盤上的格子,能帶比作一層又一層的棋盤。棋子有一個(gè)特性就是一直處于旋轉(zhuǎn)狀態(tài),可以順時(shí)針旋轉(zhuǎn),也可以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),猶如圍棋中有白棋和黑棋。

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一個(gè)格子只能放一顆白棋或者一顆黑棋或者一顆白棋加上一顆黑棋,也就是說 一個(gè)能級(jí)最多只能存在兩個(gè)不同旋轉(zhuǎn)方向的電子 ,原則上棋子可以在空間中任何位置出現(xiàn),包括棋盤之上以及棋盤之間的空間,其出現(xiàn)的規(guī)律符合費(fèi)米分布。

但是只有將棋子放到棋盤之上的格子之中,才符合下棋的規(guī)則,所以并不是有出現(xiàn)概率就一定會(huì)出現(xiàn),放入哪一層的棋盤以及棋盤中哪一個(gè)格子的概率同樣遵從費(fèi)米分布,顯然某一層棋盤中能放入多少棋子(電子濃度),就看 這個(gè)棋盤中有多少格子,以及棋子放入這些格子的概率 。格子的數(shù)量和周期則與材料本身的特性相關(guān),如原子之間的間距、質(zhì)量等。

文末總結(jié)

1、通過公式推導(dǎo),得出導(dǎo)帶中電子濃度:

圖片

2、同理得到價(jià)帶中的空穴濃度:

圖片

3、定性解釋:

以棋盤實(shí)驗(yàn)為例,原則上棋子可以在空間中任何位置出現(xiàn),但是只有將棋子放到棋盤之上的格子之中,才符合下棋的規(guī)則,所以并不是有出現(xiàn)概率就一定會(huì)出現(xiàn),某一層棋盤中能放入多少棋子(電子濃度),就看這個(gè)棋盤中有多少格子,以及棋子放入這些格子的概率。

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