光束整形中的自由曲面衍射光學(xué)設(shè)計(jì)

從遠(yuǎn)古時(shí)代，人類就一直在努力改造和整束光線——從阿基米德來燒毀羅馬船只的鏡面盾，到菲涅爾大的手工打磨的燈塔透鏡，再到今天的微光學(xué)元件，我們希望光能準(zhǔn)確地到達(dá)我們想要它到達(dá)的地方。

光束整形是一種重要的光學(xué)技術(shù)，它通過改變?nèi)肷浼す夤馐南辔环植蓟蛘哒穹植?，使出射光束在目?biāo)面上具有特定的輻照度（或光強(qiáng)）分布。換句話說，光束整形技術(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)激光光束能量分布的良好控制，目前已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于材料加工、醫(yī)療、激光打印、光學(xué)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、光譜學(xué)等方面。

光束整形方法主要分為幾何光學(xué)方法和物理光學(xué)方法兩大類。其中，幾何光學(xué)方法由于忽略了衍射效應(yīng)，導(dǎo)致一些情形下的光束整形效果不夠精細(xì)，但卻能為物理光學(xué)方法提供良好的優(yōu)化起點(diǎn)。因此，結(jié)合幾何光學(xué)方法和物理光學(xué)方法的復(fù)合設(shè)計(jì)方法，能夠設(shè)計(jì)出易于加工的自由曲面衍射光學(xué)元件，同時(shí)能抑制雜散光和散斑噪聲。

非薄元近似和非傍軸情形下，基于幾何光學(xué)構(gòu)建光學(xué)自由曲面是一個(gè)更為復(fù)雜的反問題，文中不涉及。下面我們來看看，在考慮衍射效應(yīng)的基礎(chǔ)上，光束整形DOE的物理光學(xué)設(shè)計(jì)方法以及結(jié)合幾何光學(xué)方法與物理光學(xué)方法的復(fù)合設(shè)計(jì)方法。

傳統(tǒng)物理光學(xué)設(shè)計(jì)方法

基于波動(dòng)光學(xué)理論描述光場傳播的物理光學(xué)方法，是一種精確的光束整形方法。該方法通過純相位型衍射光學(xué)元件（DOE）改變?nèi)肷涔鈭龅南辔环植?，從而在目?biāo)面上產(chǎn)生特定的輻照度分布。相比于傳統(tǒng)的折反射光學(xué)器件，DOE的質(zhì)量更輕，體積更小，能實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)折反射光學(xué)器件難以實(shí)現(xiàn)的集成化、陣列化等功能，更符合光電系統(tǒng)輕量化、微型化的發(fā)展趨勢。例如一些智能手機(jī)采用DOE在有限空間內(nèi)生成特定的點(diǎn)陣用于人臉識別。

薄元近似下，DOE的面型高度與其對應(yīng)的相位分布成線性關(guān)系。此時(shí)DOE的設(shè)計(jì)問題等價(jià)為根據(jù)入射面和目標(biāo)面輻照度分布恢復(fù)中間調(diào)制元件的相位分布問題。目前，相位恢復(fù)問題的物理光學(xué)求解方法主要包括：迭代傅里葉變換算法（IFTA）和最優(yōu)化方法。

1972年，Gerchberg和Saxton提出了經(jīng)典的GS算法，開創(chuàng)了IFTA的先河。GS算法預(yù)先設(shè)定一個(gè)相位初值，通過快速傅里葉變換（FFT）和逆傅里葉變換（IFFT）在空域約束集和頻域約束集來回迭代從而恢復(fù)出未知的相位信息，原理如圖1所示。

圖1GS算法原理圖

將GS算法中的傅里葉變換過程改為不同的衍射傳播過程能夠?qū)崿F(xiàn)不同場景下的相位恢復(fù)，如迭代角譜算法就是將傅里葉變換過程替換為角譜傳播過程，從而能夠適用于更廣泛的衍射場景。GS算法在第k次迭代的過程概括如下：

（1）對輸入面光場gk(x,y)進(jìn)行傅里葉變換得到頻域面光場Gk(u, v)；

式中：(x,y)和(u, v)分別為輸入面和頻譜面點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）將計(jì)算得到的頻域面光場振幅|Gk(u, v)|替換為已知的光場振幅|F(u, v)|；

（3）對G'k(u, v)作逆傅里葉變換得到傳播回來的輸入面光場g'k(x,y)；

（4）對g'k(x,y)作振幅限制，并將其作為第k+1次迭代的輸入光場，繼續(xù)執(zhí)行第(1)步。

GS算法一般用迭代次數(shù)大于特定次數(shù)或者損失函數(shù)小于特定值作為停止迭代條件，其中第k次迭代的損失函數(shù)常用頻域的均方根誤差EFk2和空域的均方根誤差E0k2表示：

GS算法雖然能夠簡單有效地恢復(fù)出入射光場的相位分布，但是存在著收斂速度慢、容易陷入局部最優(yōu)解、依賴初始值等問題。為此，研究者們基于GS算法提出了一系列改善收斂性的改進(jìn)算法。

我國楊國楨、顧本源兩位學(xué)者提出了非幺正變換系統(tǒng)中振幅和相位恢復(fù)問題的一般描述方法——楊顧算法，相較于GS算法適用范圍更廣。

Fienup在GS算法的基礎(chǔ)上對空域的幅值約束作了修改，提出了誤差下降（ER）算法，其空域估計(jì)值的更新方式為：

事實(shí)上，ER算法只在開始迭代的幾個(gè)周期內(nèi)能夠較快的收斂，但在后面的迭代過程中收斂緩慢。為進(jìn)一步加快收斂速度，F(xiàn)ienup在ER算法的基礎(chǔ)上引入負(fù)反饋機(jī)制，提出了混合輸入輸出（HIO）算法，相比于GS算法同樣更改了空域估計(jì)值的更新方式：

隨后，研究人員發(fā)現(xiàn)ER算法和HIO算法交替使用能夠提升算法的抗噪聲能力和收斂速度。由于HIO算法的輸入估計(jì)值不是輸出估計(jì)值的連續(xù)函數(shù)，迭代過程中圖像會(huì)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象。為此，F(xiàn)ienup提出了連續(xù)的HIO算法，進(jìn)一步提高了收斂精度。

除了引入負(fù)反饋機(jī)制到空域振幅限制，許多研究者提出另一種放松振幅限制的方法——將目標(biāo)平面劃分為信號區(qū)域和背景區(qū)域，并賦予不同的限制策略，從而有效改善信號區(qū)域的圖像質(zhì)量。

除IFTA外，相位恢復(fù)問題可以視為一個(gè)最優(yōu)化求解問題，即優(yōu)化相位分布以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)面上輻照度分布盡可能接近于所需的輻照度分布。不同的優(yōu)化算法相繼在衍射光學(xué)元件設(shè)計(jì)領(lǐng)域得到了應(yīng)用，如模擬退火算法、遺傳算法、粒子群算法等。這些算法擁有跳出局部最優(yōu)解的能力，但收斂速度往往較慢。

幾何光學(xué)-物理光學(xué)復(fù)合設(shè)計(jì)方法

傳統(tǒng)的物理光學(xué)設(shè)計(jì)方法往往都是以隨機(jī)相位作為優(yōu)化起點(diǎn)，優(yōu)化過程中也沒有考慮相位的平滑性，導(dǎo)致最終得到的DOE表面常常包含許多高頻特征，一方面難以精確加工，另一方面也非常容易受雜散光的影響。同時(shí)，隨機(jī)相位分布包含許多相位突變和相位渦旋，這會(huì)使得目標(biāo)面重建圖像出現(xiàn)許多黑點(diǎn)狀的散斑。而優(yōu)化過程中相位渦旋難以自湮滅，導(dǎo)致收斂停滯。

為此，研究者們提出了結(jié)合幾何光學(xué)方法和物理光學(xué)方法的復(fù)合設(shè)計(jì)方法，在考慮衍射效應(yīng)的基礎(chǔ)上，盡可能保持DOE表面（或其對應(yīng)的相位面）光滑。

2005年，Kaempfe等人首先采用迭代網(wǎng)格自適應(yīng)算法求解了一個(gè)平滑的幾何光學(xué)相位解。之后，用該相位作為 IFTA優(yōu)化的起點(diǎn)進(jìn)行迭代，最終優(yōu)化得到的相位分布比物理光學(xué)方法更平滑，同時(shí)重建圖像質(zhì)量比幾何光學(xué)方法更好，體現(xiàn)了復(fù)合設(shè)計(jì)方法的優(yōu)勢。

2015年，馮澤心及其合作者首先數(shù)值求解幾何光學(xué)近似下的蒙日-安培方程（MA）獲得幾何光學(xué)相位分布，隨后采用了一種適合光束整形的改進(jìn)過補(bǔ)償（MOC）IFTA進(jìn)一步迭代優(yōu)化，得到最終的相位分布。該方法由于采用了先進(jìn)的最優(yōu)輸運(yùn)求解算法，針對復(fù)雜形式的目標(biāo)面輻照度分布，也可以較為快速地求解出相應(yīng)的幾何光學(xué)相位分布。另外，該方法采用的對傳統(tǒng)IFTA的過補(bǔ)償策略可以進(jìn)一步加快算法收斂速度，提升光束整形質(zhì)量。圖2為馮澤心等人提出的復(fù)合設(shè)計(jì)方法結(jié)果：不同方法設(shè)計(jì)的自由曲面和對應(yīng)的輻照度分布，其中復(fù)合方法（OTMOC）同時(shí)實(shí)現(xiàn)了表面光滑和圖像清晰。

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圖2（a、b）是幾何光學(xué)相位分布對應(yīng)的自由曲面面形和輻照度分布，可見衍射效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致整形效果退化；（c、d）是經(jīng)過MOC算法進(jìn)一步優(yōu)化得到的自由曲面面形和對應(yīng)輻照度分布圖，雖然此時(shí)曲面光滑度有所下降，但是目標(biāo)面上的整形效果非常精細(xì)，包含了許多細(xì)節(jié)信息。復(fù)合設(shè)計(jì)方法相比于純MOC算法（e、f）和GS算法（g、h）整形質(zhì)量更好，曲面更平滑。

盡管上述復(fù)合方法設(shè)計(jì)得到的幾何光學(xué)相位是連續(xù)的，但并沒有控制后續(xù)IFTA迭代過程中相位的變化，導(dǎo)致最終優(yōu)化得到的DOE表面仍然包含一些高頻特征。為此，Schmidt等人提出能夠嚴(yán)格控制IFTA迭代過程相位表面起伏的復(fù)合算法，并將該復(fù)合算法應(yīng)用在自由曲面全息圖的設(shè)計(jì)上，如圖3所示。

圖3Schmidt等人利用復(fù)合型設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的自由曲面衍射光學(xué)元件將單模光纖出射的高斯光束在遠(yuǎn)場轉(zhuǎn)化為太極陰陽圖光斑

首先采用一種光線映射方法得到全息圖幾何光學(xué)相位分布φRefr. (x,y)，隨后為保持后續(xù)IFTA迭代過程中全息圖相位的平滑，對迭代過程中相位的變化量φRefr. (x,y)做高斯濾波處理，相位分布的更新方式為：

該更新方式保證了IFTA 迭代過程中全息圖相位的平滑，同時(shí)能夠根據(jù)加工水平選擇合適的平滑權(quán)重以控制表面的起伏程度。

類似地，Doskolovich等人提出了結(jié)合程函函數(shù)求解和IFTA的復(fù)合算法。該方法基于費(fèi)馬原理將程函函數(shù)求解問題表述為一個(gè)最優(yōu)化問題：

采用梯度下降算法求解了程函函數(shù)，進(jìn)而得到幾何光學(xué)相位分布。隨后，與Schmidt 等人類似，采用了結(jié)合高斯濾波的GS算法進(jìn)行了迭代優(yōu)化。設(shè)計(jì)過程中DOE的相位分布和對應(yīng)的目標(biāo)面輻照度分布結(jié)果如圖4所示。

圖4 Doskolovic等人提出的復(fù)合設(shè)計(jì)方法。(b)(d)(f)(h)是(a)(c)(e)(g)在目標(biāo)面上產(chǎn)生的歸一化輻射照度分布

光束整形DOE設(shè)計(jì)方法發(fā)展空間

由此可以看到，復(fù)合設(shè)計(jì)方法既能克服幾何光學(xué)方法忽略衍射效應(yīng)的缺點(diǎn)，又可解決傳統(tǒng)物理光學(xué)方法收斂易停滯、相位不規(guī)則的問題，能夠設(shè)計(jì)出易于加工、光束整形質(zhì)量高的自由曲面衍射光學(xué)元件。表1總結(jié)了文中所述各類設(shè)計(jì)方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

從科學(xué)和工程的角度而言，光束整形DOE設(shè)計(jì)方法仍具有研究價(jià)值和發(fā)展空間，存在許多值得探索的方向：

幾何光學(xué)相位求解過程復(fù)雜耗時(shí)，需要研究更簡潔、更有效的數(shù)值求解方法。

研究更快速準(zhǔn)確的光場傳播模型和數(shù)值計(jì)算方法，特別是大衍射角場景的衍射計(jì)算。

目前DOE的常規(guī)加工方式有刻蝕技術(shù)、灰度掩膜法、單點(diǎn)金剛石車削技術(shù)、激光直寫技術(shù)等。不同加工方式引起的加工誤差有所不同，需要針對特定的加工方式研究對應(yīng)的加工誤差靈敏度低的設(shè)計(jì)方法，以使加工后的DOE指標(biāo)最大限度滿足設(shè)計(jì)需求。

除上述復(fù)合型設(shè)計(jì)方法之外，近年來基于物理光傳輸模型和自動(dòng)微分技術(shù)的梯度下降算法開始應(yīng)用于相位恢復(fù)領(lǐng)域并取得了成功。該方法借助自動(dòng)微分技術(shù)對梯度進(jìn)行自動(dòng)求解，體現(xiàn)了靈活高效的特點(diǎn)。如何基于自動(dòng)微分技術(shù)設(shè)計(jì)易于加工的DOE 也是值得深入研究的方向。

審核編輯：劉清