一文詳解正弦交流電路的基礎(chǔ)知識(shí)

4.1 正弦量

一、時(shí)變電壓和時(shí)變電流

時(shí)變電壓和時(shí)變電流：隨時(shí)間不斷變化的電壓和電流。

瞬時(shí)值：時(shí)變電壓和時(shí)變電流在任一時(shí)刻的數(shù)值，用 u(t)和i(t) 來(lái)表示，解析式是一個(gè)時(shí)間函數(shù)。

圖1

周期量：每個(gè)值在經(jīng)過(guò)相等的時(shí)間間隔后循環(huán)出現(xiàn)的時(shí)變電壓和電流，對(duì)應(yīng)周期性函數(shù)。這個(gè)最小的相等的時(shí)間間隔稱為周期，一般用符號(hào)T來(lái)表示。周期的倒數(shù)稱為頻率，用f來(lái)表示；

稱為角頻率

圖2

交變量：考慮一個(gè)周期內(nèi)波形面積平均值為零的時(shí)變電壓或時(shí)變電流。

圖3

二、正弦量的三要素

正弦量：隨時(shí)間按照正弦（余弦）規(guī)律變化的交流量，解析式是一個(gè)正弦函數(shù)表達(dá)式。

設(shè)正弦電流

正弦量的三要素：幅值(決定大小)、角頻率（決定變化快慢）、初相位（決定初始位置）。

1.幅值：交流電的最大瞬時(shí)值稱為幅值或最大值，如 Im 。幅值必用大寫字母下標(biāo)加 m來(lái)表示。

表征正弦量變化快慢的三個(gè)參數(shù)：

①周期 T：變化一周所需的時(shí)間。單位：秒(s)

②頻率 f：每秒變化的次數(shù)。單位：赫茲(Hz)

③角頻率ω：每秒變化的弧度。單位：弧度/秒(rad/s)

三者間的關(guān)系：

電網(wǎng)頻率（工頻）：我國(guó)：50Hz；美國(guó)和日本：60Hz 無(wú)線通信頻率：30 kHz ～ 30GMHz

相位和初相位:

三、相位差

1.相位差 φ ：兩個(gè)同頻率正弦量間的相位之差，即初相位之差。

2.兩個(gè)正弦量的相位關(guān)系

需要強(qiáng)調(diào)的是：對(duì)不同頻率的正弦量進(jìn)行比較沒(méi)有意義。兩個(gè)同頻率正弦量之間的相位差為常數(shù)，和頻率以及計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。

規(guī)定：相位差的絕對(duì)值不超過(guò)π。

四、正弦量的有效值

1.有效值：如果一個(gè)周期電流 i 通過(guò)一個(gè)電阻 R , 在一個(gè)周期 T 內(nèi)消耗的熱能等于直流電流 I 在同樣時(shí)間內(nèi)通過(guò)該電阻 R 消耗的能量 , 則I 定義為 i 的有效值。用無(wú)下標(biāo)的大寫字母表示。

2.正弦量的有效值與最大值關(guān)系

一般交流電壓表和電流表測(cè)量的數(shù)據(jù)均為有效值；無(wú)特殊說(shuō)明，交流設(shè)備銘牌標(biāo)注的電壓、電流也是有效值。

對(duì)于正弦交流電路，電路中各部分的電壓、電流瞬時(shí)大小都是隨時(shí)間按照正弦規(guī)律變化的。我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)過(guò)正弦函數(shù)的運(yùn)算，在時(shí)域里，正弦量的加減乘除是非常麻煩的，不利于對(duì)正弦交流電路的分析。另外，對(duì)于電感、電容這樣的儲(chǔ)能元件伏安特性要用微分形式，電路的時(shí)域方程是微分方程。微分方程求解，即使是一階、二階微分方程都太難了，更不要講高階微分方程。

科學(xué)們想到了一種方法，那就是相量法，用一個(gè)復(fù)數(shù)（相量）來(lái)表示一個(gè)正弦量，將電路的時(shí)域形式映射到頻域。在頻域里，正弦交流電路的方程是代數(shù)方程，運(yùn)算就變成了復(fù)數(shù)運(yùn)算（相量運(yùn)算），我們可以使用初等方法了；來(lái)分析電路，從而大大簡(jiǎn)化了電路分析的過(guò)程。

電感和電容的阻抗就是應(yīng)用相量法得到的理論計(jì)算結(jié)果；

相量法（相量變換）的好處是：將對(duì)時(shí)域電路的分析映射到頻域里，這樣做的好處是將描述時(shí)域電路的微分方程轉(zhuǎn)化為頻域內(nèi)的代數(shù)方程，從而大大簡(jiǎn)化對(duì)電路分析的復(fù)雜性。

借用網(wǎng)上的解釋：如果說(shuō)自然數(shù)是來(lái)源于對(duì)數(shù)量的刻畫，有理數(shù)是來(lái)源于對(duì)比列的刻畫，無(wú)理數(shù)是來(lái)源于對(duì)長(zhǎng)度的刻畫，那么，復(fù)數(shù)就完全是人為制造。

我想說(shuō)的是：正是因?yàn)?a target="_blank">電工技術(shù)的發(fā)展，證明了復(fù)數(shù)存在的價(jià)值。

如果將來(lái)學(xué)到經(jīng)典控制理論（自動(dòng)控制原理），使用拉普拉斯變換，可以將一個(gè)系統(tǒng)的時(shí)域中的高階微分方程轉(zhuǎn)化為復(fù)頻域內(nèi)的代數(shù)方程，從解方程來(lái)看，好處是大大的。

4.2 正弦量的相量表示

一、正弦量的表示方法

1.解析式：使用函數(shù)表達(dá)式 瞬時(shí)值用小寫字母表示

2.圖形表示：波形圖

為了便于運(yùn)算，通常使用相量表示法：

二、旋轉(zhuǎn)矢量與正弦量

設(shè)定：

則：該旋轉(zhuǎn)的有向線段每一瞬時(shí)在縱軸上的投影即表示相應(yīng)時(shí)刻正弦量的瞬時(shí)值。

三、用相量表示正弦量

相量：表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。

相量表示法：用模值等于正弦量的最大值（或有效值）、輻角等于正弦量的初相的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)地表示相應(yīng)的正弦量。

最大值相量：模用最大值表示，即

有效值相量：模用有效值表示，即

相量圖：把相量表示在復(fù)平面的圖形。

需要強(qiáng)調(diào)一下幾點(diǎn)：

① 相量與正弦量是對(duì)應(yīng)關(guān)系（ 是一種映射 時(shí)域到頻域的映射 ），而并不是相等關(guān)系。

② 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。

③ 只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。

4.3 正弦交流電路中的理想電路元件

在正弦電流電路中，無(wú)源元件除電阻外，還有電感和電容。

4.3.1 電阻

一、線性電阻元件

電阻元件伏安關(guān)系：關(guān)聯(lián)參考方向

二、正弦交流電路中的電阻：

電阻元件兩端電壓和電流同相位,大小是電流的R倍。波形及相量如下圖所示：

歐姆定律的相量形式：

電阻元件的功率（瞬時(shí)功率、平均功率、有功功率）：

4.3.2 電感

一、線性電感元件：

電感元件：描述線圈通有電流時(shí)產(chǎn)生磁場(chǎng)、儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量的性質(zhì)。

磁鏈單位：韋伯（Wb） 電流單位：安培（A） 電感單位：亨利（H）

二、電感元件的電壓電流關(guān)系：

關(guān)聯(lián)參考方向

根據(jù)電磁感應(yīng)定律，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的量值等于磁鏈的變化率，即

由感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)得電壓，當(dāng)取電壓參考方向與磁鏈參考方向符合右螺旋法則時(shí)，即 u、e 和i參考方向均相同，如圖所示，則有

電感兩端的電壓與通過(guò)該電感中電流的變化率成正比。

三、電感元件的磁場(chǎng)能量：

在電壓和電流關(guān)聯(lián)參考方向下，電感元件吸收的瞬時(shí)功率為

當(dāng)電流由0增大到i時(shí)，電感元件儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為

能量單位：焦耳（J） 電流單位：安培（A） 電感單位：亨利（H）

總結(jié)：

• 電感元件是一種儲(chǔ)能元件，同時(shí)又是一種無(wú)源元件。
• 磁場(chǎng)能量只與最終電流值有關(guān)，與電流建立過(guò)程無(wú)關(guān)。
• 電流i 絕對(duì)值增加時(shí)，電感元件吸收電能轉(zhuǎn)換為磁場(chǎng)能量；i 絕對(duì)值減小時(shí)，電感元件釋放磁場(chǎng)能量，轉(zhuǎn)換為電能。

四、正弦交流電路中的電感元件

設(shè)電感元件的電流為：

感抗的大小，與頻率有關(guān)，頻率越高，感抗越大；對(duì)于直流電路，頻率為零，所以感抗也為零（視為短路）。所以我們說(shuō)，電感元件具有通直阻交的作用。

則在正弦交流電路中，電感元件伏安關(guān)系的相量形式可以表示為：

純電感不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換。電感元件是儲(chǔ)能元件。

在這里，我們做如下定義：

無(wú)功功率Q：瞬時(shí)功率的最大值，即

無(wú)功功率單位：乏（var）無(wú)功功率反映了電感元件與外部電路交換能量的規(guī)模。

4.3.3 電容

一、線性電容元件：

電容器：將兩塊金屬極板用絕緣介質(zhì)隔開(kāi)，就形成了一個(gè)電容器。

電容元件：描述在這種兩金屬極板間的介質(zhì)中所產(chǎn)生的電場(chǎng)和儲(chǔ)存電場(chǎng)能量的性質(zhì)。

電容定義為：

線性電容：C為常數(shù)；非線性電容：C不為常數(shù)

電荷單位為庫(kù)侖（C） 電壓?jiǎn)挝粸榉兀╒） 電容單位為法拉（F）

二、電容元件的串、并聯(lián)

串聯(lián)：設(shè)n個(gè)電容相串聯(lián)，則總電容

并聯(lián)：設(shè)n個(gè)電容相并聯(lián)，則總電容

三、電容元件的電壓電流關(guān)系：

當(dāng)電容器兩個(gè)極板之間電壓發(fā)生變化時(shí)，極板上電荷也會(huì)隨著改變，于是連接電容器的電路中就會(huì)出現(xiàn)電流。按照如圖參考方向下，電流為

u、i關(guān)聯(lián)參考方向

通過(guò)電容的電流與電容兩極板間電壓的變化率成正比。

說(shuō)明：當(dāng)電容元件的電壓、電流取非關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，上式右邊加負(fù)號(hào)。

四、電感元件的電場(chǎng)能量：

在電壓和電流關(guān)聯(lián)參考方向下，電容元件吸收的瞬時(shí)功率為

當(dāng)電壓由0增大時(shí)，電容元件儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量為

能量單位：焦耳（J） 電壓?jiǎn)挝唬悍兀╒）電容單位：法拉（F）

總結(jié)：

• 電容元件是一種儲(chǔ)能元件，同時(shí)又是一種無(wú)源元件。
• 電場(chǎng)能量只與最終電壓值有關(guān)，與電壓的建立過(guò)程無(wú)關(guān)。
• 電壓u絕對(duì)值增加時(shí)，電容元件吸收電能；u 絕對(duì)值減小時(shí)，電容元件釋放電場(chǎng)能量。

五、正弦交流電路中的電容元件

設(shè)電容元件的電壓為：

則電容元件的電流為：

令：

容抗的大小，與頻率有關(guān)，頻率越高，容抗越??；對(duì)于直流電路，頻率為零，所以容抗為無(wú)窮大（視為開(kāi)路）。所以我們說(shuō)，電感元件具有隔直通交的作用。

則在正弦交流電路中，電容元件伏安關(guān)系的相量形式可以表示為：

六、電容元件的功率：假設(shè)

1.瞬時(shí)功率

2.平均功率

結(jié)論：純電容不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換。電容元件是儲(chǔ)能元件。

在這里，我們做如下定義：

無(wú)功功率Q：瞬時(shí)功率的最大值，即

無(wú)功功率單位：乏（var） 無(wú)功功率反映了電容元件與外部電路交換能量的規(guī)模。

4.4 耦合電感元件

一、耦合線圈的自感和互感

在上圖中：

互感的定義：根據(jù)電磁場(chǎng)理論，只要磁場(chǎng)的介質(zhì)是靜止的，可以證明：

所以可統(tǒng)一用 M 表示，稱為互感。其單位是：亨利 H 。互感在大小上反映了一個(gè)線圈在另一個(gè)線圈產(chǎn)生磁鏈的能力。

耦合系數(shù)K：表征耦合線圈的緊密程度，其定義為：

式中 L1 和 L2 為兩個(gè)線圈的自感，M為互感。

耦合系數(shù)k 的范圍為：0≤k≤1 。大小與L1和L2兩個(gè)線圈的結(jié)構(gòu)、相互位置以及磁介質(zhì)有關(guān)。如果兩個(gè)線圈緊密繞在一起，則 k 值可能接近于1。如果兩線圈相隔很遠(yuǎn)，或者它們的軸線相互垂直，則 k 值很小，甚至可能接近于零。

二、耦合線圈的總磁鏈

取總磁鏈與自感磁鏈具有相同的參考方向：互感磁鏈有時(shí)為正，有時(shí)為負(fù)

顯然，總磁鏈由自感磁鏈和互感磁鏈兩部分構(gòu)成，其中互感磁鏈有時(shí)為正，有時(shí)為負(fù)，同過(guò)同名端來(lái)表示互感磁鏈的正負(fù)。

同名端的概念：當(dāng)電流 i1 和 i2 在耦合線圈中產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相同時(shí)，電流 i1 和 i2 流入（或流出）的兩個(gè)端鈕稱為同名端，用一對(duì)符號(hào)“﹡”，“˙”，“△”表示。

解釋：如果兩個(gè)線圈的電流都由同名端流入，則每個(gè)線圈的總磁鏈為自感磁鏈與互感磁鏈相加；如果兩個(gè)線圈的電流由異名端流入，則每個(gè)線圈的總磁鏈為自感磁鏈與互感磁鏈相減。

三、耦合線圈的感應(yīng)電壓

設(shè)每個(gè)線圈的電壓、電流、磁鏈為關(guān)聯(lián)的參考方向：

每個(gè)線圈的總電壓均由自感電壓和互感電壓兩部分組成。如果取自感電壓，互感電壓與線圈總電壓參考方向相同，則自感電壓總是正的，互感電壓可能為正，也可能為負(fù)。

當(dāng)電流的參考方向與另一個(gè)線圈電壓的參考方向?qū)ν讼嚓P(guān)聯(lián)時(shí)，互感電壓為正；當(dāng)電流的參考方向與另一個(gè)線圈電壓的參考方向?qū)ν朔顷P(guān)聯(lián)時(shí)，互感電壓為負(fù)。

四、耦合電感元件

由實(shí)際耦合線圈抽象出來(lái)的理想化的電路模型，由L1、L2和 M 三個(gè)參數(shù)表征，是一種線性二端口元件。

耦合電感元件的相量模型：正弦交流電路中的耦合電感元件

五、耦合電感的串聯(lián)

1、同向串聯(lián)：即把兩線圈的異名端連接在一起。

兩線圈同向串聯(lián)時(shí)的等效電感

2、反向串聯(lián)：即把兩線圈的同名端連接在一起。

兩線圈反向串聯(lián)時(shí)的等效電感

兩個(gè)線圈同向串聯(lián)時(shí)，等效電感增大；反向串聯(lián)時(shí)，等效電感減小。但其耦合等效電感 L 不可能為負(fù)（因?yàn)橛? ）。所以：

六、耦合電感的并聯(lián)

1、同名端并聯(lián)

由基爾霍夫定律KCL和KCL：

可以得到：

可以推導(dǎo)出去耦等效電路如圖，注意去耦等效之后原電路中的結(jié)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圖中的A點(diǎn)而非A＇點(diǎn)。

耦合電感按同名端并聯(lián)的等效阻抗為：

式中 L 為等效電感：

2、異名端并聯(lián)

同理可得，去耦等效電路：

則耦合電感按異名端并聯(lián)的等效電感為：

七、去耦

當(dāng)耦合電感的兩個(gè)線圈不是并聯(lián)，但它們有一個(gè)端鈕相連接，即有一個(gè)公共端的時(shí)候，仍然可以使用去耦法，可以把有耦合電感的電路化為去耦后的等效電路。

根據(jù)基爾霍夫兩定律列寫方程：

可以得到：

所以，去耦等效電路為：

如圖(a)所示，耦合線圈同名端的位置發(fā)生改變，同理可推導(dǎo)其去耦等效電路，如圖(b)所示：

含耦合電感電路的一般計(jì)算方法：

在計(jì)算含有耦合電感的正弦電流電路時(shí)，采用相量表示電壓、電流，前面介紹的相量法仍然適用。但由于某些支路具有耦合電感，這些支路的電壓不僅與本支路的電流有關(guān)，同時(shí)還與那些與之有耦合關(guān)系的支路電流有關(guān)，因而象阻抗的串并聯(lián)公式、節(jié)電壓法等不便直接應(yīng)用。

而以電流為未知量的支路電流法、網(wǎng)孔電流法則可以直接應(yīng)用，因?yàn)榛ジ须妷嚎梢灾苯佑?jì)入KVL方程中。