頻譜泄露、柵欄效應及頻譜分辨率的概念和減少措施

一，什么是頻譜泄露，如何減少頻譜泄露？

首先我們知道，對一個N點的信號，我們必須要做大于N點的fft，才能保證輸出正常。（頻域采樣定理）

但是對于現(xiàn)實生活中的信號，很多都是無限長的，這也會導致采樣后的離散信號點數(shù)N也是無限大的，不利于我們進行fft運算。因此我們需要用一些方法選出一些點來進行fft運算。

我們都知道，頻譜與沖激函數(shù)卷積，相對于位移但幅度互相不影響。

但是如果直接截出一部分點，則相當于在原信號的基礎(chǔ)上加矩形窗，頻域就相對于和sa函數(shù)卷積。卷積的過程就會污染原本的頻域，導致原有頻率成分偏移到其他頻率成分上。

如下圖，我們對一個頻率為20Hz的單頻三角函數(shù)加矩形窗做fs=200的32點fft運算，可以看到，不僅20Hz除有頻譜成分，其他頻率成分上也有，這就叫做頻譜泄露。

本文中Nwindow代表截斷后時域有效數(shù)據(jù)點數(shù)，N代表fft點數(shù)

那么該如何減小泄露呢？

可以選擇增大信號點數(shù)或者選用更好的窗函數(shù)來截斷原函數(shù)

下圖是進行512點fft的頻譜（同時信號有效點數(shù)也增大為512）

二，什么是柵欄效應，降低柵欄效應？

首先來看柵欄效應，由于DFT是在DTFT的基礎(chǔ)上對頻域進行采樣，因此頻域就會變成離散的點，就好像通過柵欄觀察頻譜一樣，因此叫做柵欄效應。

柵欄效應可以通過時域補零來減小，同時也相當于增大頻域的采樣點數(shù)（因為頻域采樣點數(shù)等于時域信號的點數(shù)）。下圖是表示時域信號有效長度不變的情況下，分別補零不同的點數(shù)對應的結(jié)果，可以看出補零越多，柵欄效應越小。

三，什么是頻譜分辨率，如何降低頻譜分辨率？

頻譜分辨率是在頻率上能把兩個信號分開的能力。

這里有一個誤區(qū)就是補零可以增大頻譜分辨率，這是錯誤的，是錯誤的理解了頻譜分辨率概念所引起的。接下來一個圖片是對兩個單頻的疊加信號做fft，我們看看通過補零能否增加頻譜分辨率（主瓣頂峰所對應的距離）

我們可以看到，通過補零只能把圖像變得更平滑，但是無法增大把20Hz，30Hz這兩個單頻信號分開的能力。接下來我們增加時域有效采樣點數(shù)，觀察效果。

可以看到，通過增加時域有效點數(shù)，可以增大兩個單頻點被分辨開的能力。

同時選用更好的窗函數(shù)也可以增大頻率分辨率。

在這里可以聯(lián)想到頻譜泄露的概念，實際上頻譜分辨率低也是因為某點頻率因為頻譜泄露而污染了另一點的頻率，因此減小頻譜泄露實際上也就是增大頻譜分辨率。他們都可以選用更好的窗函數(shù)以及增大時域有效點數(shù)N來優(yōu)化。

四， 為什么fft之后產(chǎn)生對稱的圖像？

首先我們知道實信號的頻譜是對稱的，即X(k)=X*(-k)

又有fft的頻譜具有隱含周期性，則X(k)=X(k+N)

因此 X(k)=X*(N-k) 即在一個采樣周期內(nèi)，以一半的采樣頻率為分界線，兩邊的值是對稱的

所以我們只需取一半點即可

五，DFT中采樣頻率，模擬頻率和數(shù)字頻率的區(qū)別和聯(lián)系

首先我們知道，在物理世界中只有模擬頻率f，它的單位是Hz，這也是最容易理解的一個頻率。

其次我們對信號采樣有了采樣頻率fs，并且根據(jù)奈奎斯特采樣定理，原信號的頻率是不大于0.5倍的fs的。也就是說原模擬信號的頻率f是處于區(qū)間（0，0.5fs）的

那么我們就可以把原信號的模擬頻率區(qū)間（0，fs），一一對應到數(shù)字頻率區(qū)間（0，2pi）。

他們的轉(zhuǎn)化關(guān)系為w=2pi*f/fs（其中w為數(shù)字頻率，f為模擬頻率，fs為采樣頻率）

審核編輯：湯梓紅