為什么要進(jìn)行正弦直方圖測(cè)試？正弦直方圖方法測(cè)試模數(shù)轉(zhuǎn)換器

關(guān)鍵要點(diǎn)

使用正弦直方圖測(cè)試方法可以確定模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器（ADC）的參數(shù)，并優(yōu)于線性斜坡直方圖測(cè)試方法。

正弦直方圖測(cè)試方法可以通過(guò)濾波器濾出正弦信號(hào)的諧波，提高線性度并增加測(cè)量精度。

正弦直方圖測(cè)試方法能夠更好地預(yù)測(cè)ADC在快速變化信號(hào)處理中的性能，并測(cè)量AC相關(guān)的錯(cuò)誤。

摘要

本文介紹了如何使用正弦直方圖測(cè)試方法來(lái)確定模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器（ADC）的參數(shù)。相比線性斜坡直方圖測(cè)試方法，正弦直方圖測(cè)試方法具有更多的優(yōu)勢(shì)，包括能夠?yàn)V除諧波和噪音，提高測(cè)量精度，以及能夠更好地預(yù)測(cè)ADC在快速變化信號(hào)處理中的性能。文章詳細(xì)介紹了正弦波的幅度分布、輸出直方圖的推導(dǎo)方法，以及如何使用正弦直方圖方法來(lái)確定ADC的非線性和DNL誤差。此外，文章還提供了有關(guān)非理想情況和閱讀推薦的內(nèi)容，以幫助讀者更好地理解和應(yīng)用正弦直方圖測(cè)試方法來(lái)評(píng)估ADC的性能。

本系列的上一篇文章探討了線性斜坡直方圖測(cè)試在確定模數(shù)轉(zhuǎn)換器 (ADC) 傳遞函數(shù)方面的有用性。這次，我們將重點(diǎn)關(guān)注正弦直方圖測(cè)試。我們將首先討論這種形式的直方圖測(cè)試相對(duì)于線性斜坡方法的優(yōu)勢(shì)，然后通過(guò)方程式并使用正弦直方圖方法來(lái)確定假設(shè)的 4 位 ADC 的非線性。

為什么要進(jìn)行正弦直方圖測(cè)試？

產(chǎn)生完美的線性斜坡輸入是線性斜坡直方圖測(cè)試的基本要求。輸入信號(hào)中的任何非線性都會(huì)直接增加測(cè)量誤差。這是一個(gè)問(wèn)題，因?yàn)榈湫托盘?hào)發(fā)生器產(chǎn)生的斜坡信號(hào)的線性度僅限于 8 至 10 位。

相比之下，我們可以濾除正弦信號(hào)的諧波，以獲得比信號(hào)發(fā)生器提供的更高的線性度。該濾波器還可以抑制信號(hào)上的大部分噪聲，以提高測(cè)量精度。對(duì)于斜坡輸入，濾波器不能用于降噪，因?yàn)樗鼤?huì)改變波形的形狀。

在許多應(yīng)用中，ADC 處理快速變化的信號(hào)。動(dòng)態(tài)測(cè)試可以更好地預(yù)測(cè)此類(lèi)應(yīng)用中的 ADC 性能。高頻正弦輸入使我們能夠測(cè)量 ADC 轉(zhuǎn)換點(diǎn)，然后我們可以使用該轉(zhuǎn)換點(diǎn)來(lái)評(píng)估 ADC 的交流相關(guān)誤差（或動(dòng)態(tài)性能）。雖然原則上我們可以使用高頻斜坡輸入來(lái)測(cè)量與交流相關(guān)的誤差，但在較高頻率下保持斜坡線性度變得更具挑戰(zhàn)性。

正弦波的幅度分布

在線性斜坡直方圖測(cè)試中，輸入分布是均勻的。由于理想的 ADC 具有生成任何代碼的相同概率，因此此功能使得分析斜坡直方圖方法的測(cè)試結(jié)果變得非常簡(jiǎn)單。正弦波具有更復(fù)雜的分布，這反過(guò)來(lái)又使測(cè)試方程變得復(fù)雜。

讓我們推導(dǎo)出正弦波產(chǎn)生的樣本的概率密度函數(shù) (PDF)，如下所示（圖 1）。

圖 1.示例 ADC 的正弦交流輸入。

波形對(duì)應(yīng)于以下等式：

在哪里：

A是信號(hào)的幅度

B是信號(hào)的偏移誤差

f是正弦波的頻率 (f
=1t)。

考慮?T
4到 -T4范圍內(nèi)信號(hào)的半周期。這段時(shí)間內(nèi)VIN落在V1和V2之間的概率是多少？通過(guò)將這兩個(gè)值代入等式 1，我們可以創(chuàng)建以下等式，我們將使用該等式來(lái)查找相應(yīng)的持續(xù)時(shí)間 (t2–t1)：

等式2。

如果我們將該值除以總持續(xù)時(shí)間 (T
2)，我們就得到VIN落在V1和V2之間的概率：

等式 3。

利用上面的表達(dá)式，我們可以推導(dǎo)出PDF函數(shù)。假設(shè)未知 PDF 函數(shù)為f(VIN)，其積分為F(VIN)。VIN位于V1和V2之間的概率如下：

等式 4。

如果我們比較公式 4 和公式 3，我們可以得出結(jié)論，PDF 函數(shù)的積分為：

等式 5。

最后，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)，得到PDF函數(shù)：

等式 6。

這些計(jì)算只考慮了信號(hào)的半個(gè)周期，但如果我們考慮一個(gè)完整的周期，我們?nèi)匀粫?huì)得到公式 6。信號(hào)持續(xù)時(shí)間和VIN在V1至V2范圍內(nèi)的持續(xù)時(shí)間都會(huì)加倍，因此我們最終會(huì)得到相同的結(jié)果。

在推導(dǎo)測(cè)試方程時(shí)，我們需要考慮到與斜坡輸入不同，正弦波不具有均勻分布。為了進(jìn)行直觀演示，讓我們看一下圖 2 中的一對(duì)圖。該圖的頂部是公式 6 的圖；下半部分是公式 6 的圖。底部顯示正弦波的旋轉(zhuǎn)圖。

圖 2.上圖：公式 6 的結(jié)果。下圖：旋轉(zhuǎn)的正弦波。

該圖表明，正弦波過(guò)零附近的點(diǎn)出現(xiàn)的頻率低于波峰和波谷附近的點(diǎn)。這是因?yàn)檎也ǖ淖兓试谶^(guò)零處達(dá)到最大值，在波峰和波谷處達(dá)到最小值。因此，零交叉附近的樣本不太可能出現(xiàn)。

導(dǎo)出輸出直方圖

現(xiàn)在我們已經(jīng)生成了必要的方程，我們可以開(kāi)始運(yùn)行測(cè)試。我們將使用公式 3 為圖 3 中的理想 4 位 ADC 構(gòu)建輸出直方圖。請(qǐng)注意，公式 4 對(duì)于我們的目的同樣有效 — 我只是選擇使用公式 3 來(lái)進(jìn)行此特定練習(xí)。

圖 3.4 位理想 ADC 傳輸函數(shù)。

假設(shè)如下：

將振幅為A 的正弦波施加到 ADC。

正弦波沒(méi)有偏移誤差（B= 0）。

正弦波的幅度大于滿(mǎn)量程電壓。

因?yàn)檎也▋啥顺隽薃DC的輸入范圍，所以我們可以確定輸入執(zhí)行了ADC的所有代碼。

如果V LE表示上述傳遞函數(shù)左側(cè)的第一個(gè)轉(zhuǎn)變點(diǎn)，我們可以使用以下等式來(lái)找到其他轉(zhuǎn)變點(diǎn)：

等式 7。

對(duì)應(yīng)于代碼 0001 的直方圖 bin 的計(jì)數(shù)（用 H(1) 表示）與輸入落在由V LE和 (V LE+ 1 LSB )界定的區(qū)域中的概率成正比。應(yīng)用公式 3，我們得到：

方程 8.

其中M T是捕獲的樣本總數(shù)。如果我們將方程 8 擴(kuò)展到其他代碼，我們可以導(dǎo)出 bin n計(jì)數(shù)的方程：

方程 9.

為了驗(yàn)證這個(gè)方程，我們將使用圖 3 中滿(mǎn)量程電壓為 1V 的傳遞函數(shù)來(lái)數(shù)字化具有以下特性的正弦波：

幅度 (A) = 1.1V

偏移誤差 (B) = 0

頻率 = 390.3 赫茲

我們將使用 40 kHz 的采樣率。請(qǐng)注意，選擇上述輸入頻率是為了不成為采樣頻率的分諧波；否則它是任意的。

通過(guò)收集 80,000 個(gè)樣本，我們生成了圖 4 中的直方圖。紅色曲線繪制了從公式 9 獲得的值。

圖 4.理想 ADC 的數(shù)字代碼出現(xiàn)次數(shù)直方圖。紅色曲線顯示公式 9 預(yù)測(cè)的值。

仿真結(jié)果與數(shù)學(xué)分析得到的值一致。為了幫助您更輕松地驗(yàn)證這一點(diǎn)，我在下表中提供了計(jì)算摘要。請(qǐng)注意，V LE= –0.9375。

表 1.計(jì)算和模擬結(jié)果總結(jié)。

數(shù)學(xué)分析預(yù)測(cè)的代碼計(jì)數(shù)與模擬預(yù)測(cè)的代碼計(jì)數(shù)接近，但不完全相同。這是因?yàn)橹狈綀D測(cè)試是一種統(tǒng)計(jì)方法。因此，更多的樣本應(yīng)該會(huì)提高測(cè)量的準(zhǔn)確性。

使用正弦直方圖方法查找 DNL 誤差

考慮圖 5（紅色曲線）所示的非理想 4 位 ADC。

圖 5.示例 ADC 的理想（藍(lán)色）和非理想（紅色）響應(yīng)。

下面的圖 6 中提供了該 ADC 的微分非線性 (DNL) 圖。

圖 6.非理想 4 位 ADC 的 DNL。

與上一節(jié)中的理想情況一樣，我們將使用滿(mǎn)量程電壓為 1 V 的非線性傳遞函數(shù)以 40 kHz 的采樣率對(duì) 390.3 Hz 正弦波進(jìn)行數(shù)字化。同樣如前所述，A= 1.1 V，B= 0。

請(qǐng)注意，圖 5 中的傳遞函數(shù)沒(méi)有失調(diào)誤差或增益誤差。因此，第一個(gè)和最后一個(gè)轉(zhuǎn)換發(fā)生在其理想值 (VLE= –0.9375)。收集 80,000 個(gè)樣本，我們得到以下直方圖（圖 7）。

圖 7.非理想示例 ADC 的數(shù)字代碼出現(xiàn)次數(shù)直方圖。

我們排除第一個(gè)和最后一個(gè) bin，并將 bin 計(jì)數(shù)除以公式 9 給出的理想值。這給出了圖 8 中的歸一化直方圖。

圖 8.非理想示例 ADC 的數(shù)字代碼出現(xiàn)次數(shù)的歸一化直方圖。

在標(biāo)準(zhǔn)化直方圖中，理想的代碼的 bin 計(jì)數(shù)為 1。因此，從 bin 計(jì)數(shù)中減去 1 會(huì)產(chǎn)生 DNL 信息，該信息由圖 9 中的紅色條形圖繪制。藍(lán)色條形圖顯示實(shí)際的 DNL 誤差。

圖 9.紅色：示例 ADC 根據(jù)正弦直方圖測(cè)試的 DNL 響應(yīng)。藍(lán)色：同一示例 ADC 的實(shí)際 DNL 響應(yīng)。

同樣，直方圖方法的結(jié)果接近實(shí)際值，但并不完全相同。正確選擇不同的測(cè)試參數(shù)可以提高給定測(cè)試時(shí)間內(nèi)的準(zhǔn)確性。徹底分析不同測(cè)試參數(shù)對(duì)直方圖方法準(zhǔn)確性的影響是一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，涉及置信度、概率等因素。對(duì)于那些有興趣更深入了解這些影響的人，我將在下一節(jié)中推薦一些進(jìn)一步的閱讀材料。

非理想性和閱讀建議

在上面的示例中，我們使用了沒(méi)有增益誤差或偏移誤差的理論 ADC。我們還使用了具有已知幅度和零偏移的正弦波。實(shí)際上，ADC 可能同時(shí)存在偏移誤差和增益誤差，并且我們可能不知道輸入的確切幅度或偏移誤差。這些非理想性會(huì)使歸一化方程變得更加復(fù)雜。

審核編輯：劉清