卡爾曼濾波的數學基礎

來源：FunIO

卡爾曼濾波是一種用于估算線性動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的優(yōu)化算法，其基礎數學理論為貝葉斯定理，將傳感器測量值和系統(tǒng)模型的預測值進行融合，得到對系統(tǒng)狀態(tài)的估計。貝葉斯定理是基于條件概率的公式，用于計算給定某些證據的情況下，事件發(fā)生的概率。在卡爾曼濾波中，貝葉斯定理用于估算系統(tǒng)狀態(tài)的后驗概率分布，即給定過去和當前的觀測值，預測未來狀態(tài)的概率分布。以下是卡爾曼濾波的數學基礎：

狀態(tài)空間模型

卡爾曼濾波的核心是狀態(tài)空間模型，它用一組狀態(tài)方程和觀測方程描述系統(tǒng)的演化和測量。狀態(tài)方程表示系統(tǒng)狀態(tài)如何隨時間演化，通常用一個線性動態(tài)系統(tǒng)表示：

其中，x(k)表示系統(tǒng)在時刻 k 的狀態(tài)，F(k-1)是狀態(tài)轉移矩陣，w(k-1)是系統(tǒng)的過程噪聲，通常假設為高斯白噪聲。

觀測方程表示傳感器如何測量系統(tǒng)的狀態(tài)，通常也用一個線性方程表示：

其中，z(k)表示傳感器在時刻 k 的測量值，H(k)是觀測矩陣，v(k)是測量噪聲，也假設為高斯白噪聲。

卡爾曼濾波過程

卡爾曼濾波的過程可以分為兩個步驟：預測和更新。

預測：根據狀態(tài)空間模型，對系統(tǒng)狀態(tài)進行預測。具體來說，根據上一時刻的狀態(tài)和狀態(tài)轉移矩陣，計算出當前時刻的狀態(tài)的先驗估計值：

同時，根據過程噪聲的方差，計算出先驗估計值的協方差矩陣：

其中，P(k-1)是上一時刻的協方差矩陣，Q(k-1)是過程噪聲的協方差矩陣。

更新：根據傳感器的測量值，對系統(tǒng)狀態(tài)進行更新。具體來說，根據觀測方程，計算出當前時刻的測量值的估計值：

同時，根據測量噪聲的方差，計算出測量值的估計值的協方差矩陣：

其中，R(k)是測量噪聲的協方差矩陣。

接著，計算卡爾曼增益：

最后，根據卡爾曼增益，計算出當前時刻的狀態(tài)的后驗估計值：

同時，更新協方差矩陣：

以上就是卡爾曼濾波的數學基礎。

卡爾曼濾波算法是一種遞歸算法，即在每一個時間步長上，都需要進行狀態(tài)預測和狀態(tài)更新。通過迭代計算，可以得到系統(tǒng)狀態(tài)的估計值及其誤差協方差矩陣。這些數據可以用于控制系統(tǒng)決策以及優(yōu)化系統(tǒng)性能。

審核編輯：湯梓紅