初識(shí)微分、積分電路的本質(zhì)以及電容的陰謀，不談公式更易懂

很多朋友覺(jué)得PID是遙不可及，很神秘，很高大上的一種控制，對(duì)其控制原理也很模糊，只知曉概念性的層面，知其然不知其所以然，那么本期從另類(lèi)視角來(lái)探究微分、積分電路的本質(zhì)，意在幫助理解PID的控制原理（PID：P表示比例控制；I表示積分控制；D表示微分控制）。

在認(rèn)清微分、積分電路之前，我們都知道電容的特性：電容的電流超前電壓相位90°，很多教材都這么描述，讓人很費(fèi)解，其本質(zhì)又是什么呢？

要徹底掌握微分、積分電路或PID控制思路，首先得了解電容。

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電容就是裝載電荷的容器，從微觀角度看，當(dāng)電荷流入容器時(shí)，隨著時(shí)間的變化極間電場(chǎng)逐漸增大；以圖1為例：

①充電開(kāi)始時(shí)Uc=0V，壓差△U=Ur=Ui，此刻容器內(nèi)無(wú)電荷，也就無(wú)電場(chǎng)排斥流入的電荷；所以電流Ic最大，表現(xiàn)為容抗最小，近似短路；

②當(dāng)Uc上升，壓差△U開(kāi)始減小，該過(guò)程形成電場(chǎng)，容器開(kāi)始排斥流入的電荷；電流Ic逐漸減小，表現(xiàn)為容抗逐漸增大；

③當(dāng)Uc=Ui，壓差△U=Ur=0V，此刻容器內(nèi)電場(chǎng)最強(qiáng)，以最大排斥力阻止流入的電荷；電流Ic=0，表現(xiàn)為容抗最大，近似開(kāi)路。

圖1：電容容器充電模型

當(dāng)電荷流出容器時(shí)，隨著時(shí)間的變化極間電場(chǎng)逐漸減小；該放電過(guò)程的電容可看成是一個(gè)內(nèi)阻為0的電壓源，以圖2為例（移除電源并接地）：

①放電開(kāi)始時(shí)Uc=Ui，此刻容器內(nèi)充滿(mǎn)電荷，因此電場(chǎng)最強(qiáng)，而電阻不變，則放電電流Ic最大（方向與充電相反），電阻兩端的電壓Ur=Uc，則Ur=Ui；

②當(dāng)Uc下降，該過(guò)程電場(chǎng)減弱，放電電流Ic逐漸減小，Ur=Uc也逐漸減小；

③放電耗盡Uc=0V，此刻容器內(nèi)無(wú)電荷，因此無(wú)電場(chǎng)，Ur=0V。

圖2：電容容器放電模型

電容就好比水桶一樣，流入的水流無(wú)論是大還是小，水位的變化一定是從最低位開(kāi)始連續(xù)上升的；而電容內(nèi)的電荷也是逐漸從0開(kāi)始積累起來(lái)的，積累過(guò)程與自然常數(shù)e有關(guān)系，這里就不深入討論了。

圖3就是電容充放電的電壓-電流曲線。

圖3：電容充放電，電壓-電流曲線

聯(lián)系前面的分析，可總結(jié)為：

①電容電壓不能突變，電流可突變（教材的定義是電容的電流與電壓的變化率成正比）；

②充電過(guò)程中的電容可等效成一個(gè)可變電阻，放電過(guò)程中的電容可等效成一個(gè)電壓源；

③電容電流反映的是單位時(shí)間內(nèi)流動(dòng)的電荷量，電容電壓（或電場(chǎng)）反映的是電荷量的多少。通俗的理解就是流動(dòng)的電荷才會(huì)導(dǎo)致電荷量多少的變化（與①相吻合）；用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述則是電容的電流超前電壓相位90°；

④電容充放電速度與電容和電阻大小有關(guān)。

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對(duì)電容充分了解之后，首先我們先來(lái)認(rèn)識(shí)最簡(jiǎn)單的分壓電路，如圖4根據(jù)歐姆定律VCC=2.5V，該純阻性的分壓電路就是比例運(yùn)算電路的雛形。

圖4,：分壓電路

如圖5，我們把R2換成104（0.1μF）電容，C1電容充滿(mǎn)電后近似開(kāi)路，VCC=5V；該電路就是積分運(yùn)算電路的雛形。那么把5V改成信號(hào)源就構(gòu)成了低通濾波電路。

圖5：積分電路

如圖6為上圖的充電波形，紅色表示5V的波形，藍(lán)色表示VCC的波形，因?yàn)殡娙莩潆姇r(shí)的容抗由小變大直至開(kāi)路，所以分壓VCC也由小變大直至為5V。而且電容充電需要一定的時(shí)間，導(dǎo)致VCC的波形要緩一些。（該5V是開(kāi)關(guān)電源上電軟啟動(dòng)時(shí)的輸出波形）

圖6：積分電路波形

把圖4圖5組合就得到圖7的電路，這就是我們經(jīng)常使用的PI電路（比例積分），在參考電壓或分壓電路里很常見(jiàn)，加電容的目的就是增加延時(shí)性，穩(wěn)定VCC的電壓不受5V波動(dòng)而波動(dòng)，VCC=2.5V。

圖7,：PI電路

把圖5中電容和電阻的位置交換一下得到如圖8的電路，C1電容充滿(mǎn)電后近似開(kāi)路，VCC=0V；該電路就是微分運(yùn)算電路的雛形。那么把5V改成信號(hào)源就構(gòu)成了高通濾波電路。

圖8：微分電路

如圖9為上圖的充電波形，紅色表示5V的波形，藍(lán)色表示VCC的波形，因?yàn)殡娙莩潆姇r(shí)的容抗由小變大直至開(kāi)路，所以分壓VCC由大變小直至為0V。也就是紅色波形從0開(kāi)始跳變一瞬間，VCC已經(jīng)是最大值，所以微分有超前預(yù)判的性質(zhì)（反映的是輸入信號(hào)的變化率）。

圖9：微分電路波形

如圖10為（反相）比例運(yùn)算電路。

圖10：比例運(yùn)算電路

如圖11，Uo與Ui成線性關(guān)系。

圖11：比例運(yùn)算電路波形

如圖12、圖13為微分運(yùn)算電路的充放電過(guò)程：

充電過(guò)程的電容C1可等效成一個(gè)可變電阻，C1開(kāi)始充電時(shí)的容抗為0，電壓不可突變則電壓為0，運(yùn)放-輸入端得到的分壓為正最大峰值，于是Uo為運(yùn)放的負(fù)最大峰值，隨著電容充滿(mǎn)電，U0逐漸變?yōu)?。

圖12：微分運(yùn)算電路-充電

放電過(guò)程的電容C1可等效成一個(gè)電壓源，且電壓不可突變，此時(shí)電流反向?yàn)樽畲笾担琑1電壓瞬間反向也為最大值，運(yùn)放-輸入端得到的分壓則為負(fù)最大峰值，于是Uo為運(yùn)放的正最大峰值，隨著電容放完電，U0逐漸變?yōu)?。

圖13：微分運(yùn)算電路-放電

如圖14為微分運(yùn)算電路的輸入輸出波形，聯(lián)系前面的分析結(jié)果，則Uo反映的是Ui的變化率，這樣就達(dá)到了預(yù)判超前的效果。

圖14：微分運(yùn)算電路波形

如圖15為微分運(yùn)算仿真電路，為了防止運(yùn)放出現(xiàn)飽和，必須限制輸入電流，實(shí)際使用時(shí)需要在電容C1輸入端串聯(lián)一個(gè)小電阻R2。串聯(lián)電阻后的電路已經(jīng)不是理想微分運(yùn)算電路了，但是只要輸入信號(hào)周期大于2倍RC常數(shù)，可以近似為微分運(yùn)算電路。

圖15：微分運(yùn)算仿真電路

如圖16為微分運(yùn)算仿真電路波形，其中IN-為運(yùn)放-輸入端的波形。

圖16：微分運(yùn)算仿真電路波形

如圖17、圖18為積分運(yùn)算電路的充放電過(guò)程：

充電過(guò)程的電容C1可等效成一個(gè)可變電阻，C1開(kāi)始充電時(shí)的容抗為0，電壓不可突變則電壓為0，運(yùn)放-輸入端得到的分壓為0，于是Uo為0，隨著電容充滿(mǎn)電，運(yùn)放-輸入端得到的分壓為正最大值，U0為運(yùn)放的負(fù)最大峰值。

圖15：積分運(yùn)算電路-充電

放電過(guò)程的電容C1可等效成一個(gè)電壓源，且電壓不可突變，運(yùn)放-輸入端得到的分壓也不可突變，隨著電容放完電，于是Uo由負(fù)最大峰值逐漸變?yōu)?。

圖16：積分運(yùn)算電路-放電

如圖17為積分運(yùn)算電路的輸入輸出波形，聯(lián)系前面的分析結(jié)果，則Uo反映的是Ui的積累過(guò)程，這樣就達(dá)到了延遲穩(wěn)定的效果。

圖17：積分運(yùn)算電路波形

如圖18為積分運(yùn)算仿真電路，為了防止運(yùn)放出現(xiàn)飽和，實(shí)際使用時(shí)需要在電容C2兩端并聯(lián)一個(gè)電阻R3。并聯(lián)電阻后的電路已經(jīng)不是理想積分運(yùn)算電路了，但是只要輸入信號(hào)周期大于2倍RC常數(shù)，可以近似為積分運(yùn)算電路。

圖18：積分運(yùn)算仿真電路

如圖19為積分運(yùn)算仿真電路波形，其中IN-為運(yùn)放-輸入端的波形。

圖19：積分運(yùn)算仿真電路波形

要點(diǎn)：

①微分、積分運(yùn)算電路利用了電容充放電時(shí)其電壓不可突變的特性達(dá)到調(diào)節(jié)輸出的目的，對(duì)變化的輸入信號(hào)有意義；

②微分D控制有超前預(yù)判的特性，積分I控制有延遲穩(wěn)定的特性，在PID調(diào)節(jié)速度上，微分D控制＞比例P控制＞積分I控制。

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