自發(fā)輻射的機制是什么？為什么會自發(fā)輻射？

我們考慮一個輻射熱源。這樣一個熱源中，一個原子同時存在自發(fā)和受激兩種輻射方式。這兩種輻射的速率分別為和，這里的和分別是自發(fā)輻射和受激輻射的Einstein系數(shù)，而是Planck能譜密度。對于一個給定的Bohr頻率，因為[2]，這兩個速率的比值是

如果我們把太陽看成一個的熱源，對于，這個比值大約為400，而對于，這個比值大約為30。這樣，當我們把太陽當作一個理想的黑體輻射源時，它絕大多數(shù)的可見光都來源于自發(fā)輻射。

自發(fā)輻射其實是非常普遍的，以至于我們用了很多名詞來指代這樣一件相同的事情。如果一個原子（也可以是分子）不是被熱激發(fā)的，而是由其他方式激發(fā)的，自發(fā)輻射又被稱為發(fā)光。螢火蟲就是發(fā)光的。而對于發(fā)光，又有不同的名稱，這又具體地取決于這些激發(fā)態(tài)是怎樣產(chǎn)生的（比如電發(fā)光、化學發(fā)光等）。如果激發(fā)是因為吸收了輻射，那么自發(fā)輻射又被稱作熒光。有時，一些分子會處在亞穩(wěn)態(tài)，這樣在輻射場關(guān)閉后，這些分子仍然可以產(chǎn)生自發(fā)輻射。這種現(xiàn)象，人們稱作磷光。在黑暗中，一些雕像會神奇地發(fā)光，這就是磷光。

當然，激光的產(chǎn)生是因為受激輻射。然而，當激光器打開時，產(chǎn)生激發(fā)效應(yīng)的光子實際上也是來源于自發(fā)輻射。

03.

歷 史

1887年，Hertz的實驗證實了振蕩的電荷是會輻射的。在Lorentz的光和物質(zhì)的理論[3]中，原子的輻射被歸咎于原子中電子的振蕩。但這并不能讓我們理解為什么它們的輻射總有一些特定的頻率。而原子的吸收和發(fā)射頻率被生硬地塞進一個包含了“彈簧系數(shù)”的電子結(jié)合理論。但這一切在1913年被Bohr提出氫原子理論所改變了。

Bohr認為自發(fā)發(fā)射是非經(jīng)典的，而“自發(fā)”意味著非因果性。即我們不能準確地預(yù)知一個被激發(fā)的原子什么時候會完成一個量子躍遷，然后發(fā)射一個光子。

Einstein在1917年進一步揭示了自發(fā)輻射的非經(jīng)典性質(zhì)。Einstein工作中的特別之處在于他推測在自發(fā)輻射中，原子必然會有一個反沖。這個反沖在經(jīng)典理論中不能得到解釋，因為在經(jīng)典理論中，一個原子輻射出的場不會有一個線性的動量[4]。根據(jù)Einstein的觀點，“放出的輻射不會出現(xiàn)球面波”[5]，如果原子輻射出球面波，那么它就不會有反沖。利用熱力學的論點，Einstein推導了自發(fā)輻射和受激輻射的系數(shù)比值。

第一個從第一性原理的角度推導系數(shù)的人是Dirac[6]，他使用了一套新的量子輻射理論。而在經(jīng)典的電磁學中，沒有人能夠建立一套令人滿意的自發(fā)輻射理論[7]。要解釋從螢火蟲發(fā)光到激光器啟動的這一系列的問題，需要量子電動力學。

但是，量子電動力學又對自發(fā)輻射現(xiàn)象提供了一個怎樣的物理圖像呢？在大量相關(guān)的文獻中，可以找到兩種答案。

較早的答案將自發(fā)輻射和經(jīng)典理論中被熟知的輻射反應(yīng)聯(lián)系起來。Dirac曾在文章中寫道“既然現(xiàn)有的理論給出了自發(fā)輻射的解釋，那么它也能夠給出輻射體系的輻射反應(yīng)”[6]。這樣的解釋，根據(jù)同一年Landau發(fā)表的一片文章[8]和更早一些的van Vleck發(fā)表的使用到對應(yīng)原理的文章[9]，也是無可指摘的。

一段時間之后出現(xiàn)了另外一種答案。對于Lamb位移的研究使得人們有了一個新觀點：Lamb位移的能級移動——和自發(fā)輻射所產(chǎn)生的“自然展寬”一樣——都可歸因于電磁場在零點的量子漲落。在1948年的一篇著名的文章中，Welton[10]認為自發(fā)輻射“可以被認為是由漲落的場而導致的強制的輻射”。

人們逐漸意識到這兩種觀點在本質(zhì)上是相同的。在討論它們的等價性之前，我們有必要先更加仔細地分別討論這兩個觀點，并認識什么是零點場。

04.

輻射反應(yīng)

考慮一個振蕩的電偶極矩。我們都知道這個偶極矩輻射能量的速率是

箭頭表示我們將若干個周期內(nèi)的功率求平均值。

假設(shè)有一個電荷，它相對于一個無窮質(zhì)量的相反電荷的位置為。這時我們就有了一個振蕩的偶極矩，輻射速率由(4.1)給出。因為一個質(zhì)量為的振蕩電荷的總能量為

我們得到了

此式即為能量因為輻射而減少的速率。

假設(shè)我們希望對原子中的一個電子利用(4.3)。如果電子可以從一個能級躍遷到另一個能級，我們將認作躍遷頻率，而

便是高能級的輻射衰變概率。然而，這些推導都是經(jīng)典的。為了能夠給出一個量子力學的預(yù)計，我們必須用躍遷諧振子強度給它一個“權(quán)重”，即[11]

這里的是躍遷的偶極矩陣元。

但不幸的是，這只是Einstein自發(fā)輻射系數(shù)的一半，我們將在之后繼續(xù)討論這個問題。

假設(shè)我們計算點電荷振蕩時在自身所形成的電場。在一些相當繁瑣的計算之后[12]，我們可以得到

這即所謂的輻射反應(yīng)場。在這個場的作用下，我們所考慮的偶極子能量的變化率

同樣，這里的箭頭表示若干個周期內(nèi)取平均值的結(jié)果。

(4.3)和(4.7)的結(jié)果是一致的。這表明我們可以將振蕩電荷能量的散失歸因于它的“自場”，即(4.6)。這樣，通過經(jīng)典-量子對應(yīng)(4.5)，我們發(fā)現(xiàn)自發(fā)輻射是由原子中電子的輻射反應(yīng)場引起的，只是我們的衰變速率結(jié)果有一個因子為的偏差。

05.

真空場

由量子力學可知道，一個頻率為的諧振子，它的零點能為。相似地，由量子力學可知，電磁場的任意模式，都有的零點能。但是在的頻率范圍內(nèi)，單位體積內(nèi)存在個模式[13]。這樣在體積為V的空間內(nèi)，在的頻率區(qū)間便存在一個電磁零點能

而是真空電磁場的“零點譜”。

這個場會對原子產(chǎn)生影響嗎？根據(jù)Einstein的理論，在能譜密度為的場中，受激輻射的速率是，其中

是受激輻射系數(shù)。這樣由零點場所導致的偶極矩陣為，頻率為的輻射速率為

非常有趣的是，。

受激輻射和吸收的系數(shù)是相同的（如果我們忽略簡并的因素）。那么為什么沒有從零點場里的自發(fā)吸收呢？

06.

部分的統(tǒng)一

、都等于Einstein自發(fā)輻射系數(shù)的一半絕對不是偶然。作為理解這個問題的第一步，我們將看到輻射反應(yīng)和零點場共有著一個相當密切的關(guān)系。

為了建立這樣一種關(guān)系，一個方便的做法是先考慮一個“自由的”電子，這個電子受到真空場和自身輻射場的作用。在形式上，海森堡運動方程和經(jīng)典運動方程是一致的：

這里的是真空，或者稱作零點電場。（實際上它僅僅是這個場在方向上的分量，因為為了簡便，我們只考慮沿方向的電子運動。）我們把(6.1)寫成

而此處

是電子的觀測質(zhì)量，是“裸”質(zhì)量，稱作"電磁質(zhì)量"。

遺憾的是，電磁質(zhì)量被證明是無窮大的。在我們的非相對性理論中它是線性發(fā)散的；在相對性理論中它是對數(shù)發(fā)散的。我們忽略這個困難并且假設(shè)裸質(zhì)量和電磁質(zhì)量加起來等于一個常數(shù)。這個過程被稱作質(zhì)量重整化。而當今的物理學便是建立在重整化這一“原則”之上的。

在很長一段時間內(nèi)，物理學家曾經(jīng)嘗試避免這樣的無窮大量。例如Wheeler-Feynman吸收子理論[14]，它會導致一個的項，但沒有電磁質(zhì)量項。最近，一些觀點認為，雖然我們還沒有一個相對論性的理論，但在完整量子力學的輻射理論應(yīng)有[15]。無論如何，我們需要謹記Dirac對于重整化的異議[16]：“這僅僅是一些不合理的數(shù)學。合理的數(shù)學只應(yīng)該忽略小量——而不是忽略一個你不想要的無窮大量！”

我們將會假設(shè)(6.2)是正確的。但如果它是正確的，它必須和量子力學的基本觀點是兼容的。具體來說，算符方程(6.2)得到的解，和相對應(yīng)的線性動量的解，必須滿足對易關(guān)系。我們可以得到[17]

所以運動方程(6.2)保證了反對易關(guān)系。在(6.4)中，是零點場的能譜，而我們定義了。

現(xiàn)在不難看出，(6.4)中分母上的起源于(6.2)中的輻射反應(yīng)場對應(yīng)的項。進一步看，零點場的能譜密度正比于（可參考(5.1)），這樣我們在(6.4)中可以消去的因子，然后剩下

如果正比于的其他次冪，我們便不能保證對易關(guān)系！

我們這里討論的是一個漲落-耗散定理[18]的例子。如果存在一個輻射反應(yīng)場，則必然存在一個零點場，反之亦然成立。更進一步地，零點場的能譜正比于的三次方，這是因為輻射場正比于的三階導數(shù)[17]。這便是輻射場和零點場之間的密切聯(lián)系，也是等式成立的原因。

早先對于和的“推導”在某種程度上具有啟示意義。然而，一個量子力學的計算在很大程度上支持了這樣的結(jié)果。這樣的方式計算明確地揭示了輻射場和零點場對自發(fā)輻射的貢獻。對于一個處在激發(fā)態(tài)的原子，這兩個貢獻加起來便得到總共的輻射速率

即Einstein常數(shù)。然而，對于一個基態(tài)的原子，這兩個貢獻卻互相抵消，得到衰變速率。而后者至少從量子力學的角度解釋了為什么不存在從零點場的自發(fā)吸收[19]。

輻射場和零點場相互作用的關(guān)鍵便是它們之間的漲落-耗散關(guān)系。就像電路中Nyquist-Johnson電壓漲落和電阻相關(guān)，零點場的漲落也和輻射阻力（或者說輻射反應(yīng)）相關(guān)。在這兩個例子中，耗散力和與之相對應(yīng)的漲落力的頻譜都有著明確的關(guān)系。

和以因子區(qū)別于Einstein系數(shù)A。這個在我們的討論中是非常重要的因子，在輻射理論中有著很長的歷史，特別是在量子理論的胚胎時期。比如，在1913年Einstein和Stern發(fā)現(xiàn)如果我們假設(shè)偶極振蕩的零點能為，便可以推導Planck譜密度[4]。從現(xiàn)在的觀點看，經(jīng)典理論不能計入場的零點能，即對頻率為的模式，應(yīng)有的能量。這部分能量加上偶極振蕩的零點能，便給出了總共的零點能，這便是Einstein和Stern總結(jié)的諧振子的能量[4]。在量子理論中，兩種貢獻以一種自然的方式出現(xiàn)，而(6.6)給出了一個很好的例子。

07.

細 節(jié)

為了預(yù)防一些專家的反對意見，我在這里談?wù)勎业倪@種觀點和早前兩種觀點的聯(lián)系。這個新觀點同時被來自三個不同的研究所的物理學家“發(fā)現(xiàn)”[20,21]。這些研究受到了Ackerhalt等人的工作[22]的啟發(fā)，而Ackerhalt等人的工作奠定了用輻射反應(yīng)解釋自發(fā)輻射的量子力學基礎(chǔ)。更加精巧而富有洞察力的觀點來自于Fain[23]和Dalibard等人[24]。Sciama[24,25]還使用和之間的漲落-耗散關(guān)系討論了黑洞的熱力學。

對于自發(fā)輻射速率的海森堡繪景的推導涉及到了原子算符和場算符的交換乘積。如果我們使用對稱的順序，我們得到的是，即(6.6)。而一個“正?！表樞?，會導致，而使用其他的順序還可以得到等結(jié)果。當然，我們所得到的自發(fā)輻射系數(shù)A的表達式是不變的，這是因為我們重排的算符實際上是對易的，但我們對自發(fā)輻射速率的詮釋卻會發(fā)生改變。這又是輻射場與零點真空場的緊密的漲落-耗散關(guān)系的結(jié)果。Dalibard等人[24]主張在某些情況下，對稱次序是更為合理的。

很多物理效應(yīng)都可歸因于零點電磁場。包括van der Waals力和Casimir力[27]。我們會自然地聯(lián)想，會不會存在其他一些效應(yīng)可以歸因于輻射反應(yīng)，就像自發(fā)輻射一樣。答案是存在這些效應(yīng)[28]。而關(guān)于這些效應(yīng)的理論在本質(zhì)上和自發(fā)輻射并無不同。但據(jù)我所知，在之前沒有人將van der Waals力或者Casimir力歸于輻射反應(yīng)。如Jaynes[29]所說，我們花費了很長時間才認識到輻射場中漲落-耗散定理的作用。

08.

致 謝

我要感謝David Stoler在不同場和鼓勵我來寫一篇關(guān)于自發(fā)輻射的教學文章，也感謝他和我關(guān)于光子所展開的有趣的討論。許多同事幫助我明確了在這個問題上的思路，特別是最近Richard J. Cook. 我還要感謝Alan H. Paxton將文獻[1]帶給我。

編輯：黃飛