連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

一、引言

系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時域表示：端口（輸入-輸出）描述（一元n階微分方程）與狀態(tài)方程描述（n元聯(lián)立一階微分方程）

二、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（微分方程）的建立

建立方程式： 元件約束特性 + 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束 （KVL+KCL）

三、用時域經(jīng)典法求解微分方程

四、起始點(diǎn)的跳變——從0-到0+狀態(tài)的切換

五、零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

六、沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)

七、卷積

八、卷積的性質(zhì)

九、利用卷積分析通信系統(tǒng)多徑失真的消除方法

解卷積求出回波系統(tǒng)逆沖激響應(yīng)函數(shù)→激勵卷積回波系統(tǒng)沖激響應(yīng)函數(shù)卷積回波系統(tǒng)逆沖激響應(yīng)函數(shù)=激勵本身

十、用算子符號表示微分方程

十一、總結(jié)

LTI 系統(tǒng)分析方法包括時間域和變換域兩方面的問題。時域直接求解系統(tǒng)微分、積分方程， 直觀且物理概念清晰 。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時域表示一般用端口描述與狀態(tài)方程描述的方法。本章主要介紹的是端口描述的方法。一般根據(jù)元件的約束特性和網(wǎng)絡(luò)拓樸約束構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即微分方程。可以采用 時域經(jīng)典法 、零輸入零狀態(tài)法和卷積的方法來求解系統(tǒng)的微分方程。

時域經(jīng)典法將微分方程的全解分解為齊次解與 特解 。采用高數(shù)所給結(jié)論求出解的形式并根據(jù)條件求出待定系數(shù)。根據(jù)其求解過程，齊次解與特解具有很清晰的物理意義： 齊次解對應(yīng)完全由系統(tǒng)自身特性決定其形式（特征根與自然頻率）的自由響應(yīng) （求出形式及其特征根，當(dāng)然最后的系數(shù)也要根據(jù)條件與激勵求出來）， 特解對應(yīng)系統(tǒng)特性與外加激勵共同決定的強(qiáng)迫響應(yīng) 。因此時域經(jīng)典法具有清晰的物理概念，然而求解過程較為麻煩。同時，還需考慮 起始點(diǎn)的跳變 ，即0-到0+狀態(tài)的切換。 跳變由激勵的突然接入引起 。 起始狀態(tài) （0-）表達(dá)的是 系統(tǒng)過去的信息 ， 初始狀態(tài) （0+）表達(dá)的是 接入激勵后剛開始的初始條件 （作為求解微分方程的初始條件）。其可以根據(jù) 系統(tǒng)內(nèi)部儲能的連續(xù)性 （電容與電感特性）或沖激函數(shù)匹配法來確定。

零輸入零狀態(tài)法則由上述起始條件與初始條件引出。 零輸入響應(yīng)是沒有外加激勵信號，只由起始狀態(tài)（系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應(yīng) ，沒有激勵的接入因此 不會產(chǎn)生跳變 。而 零狀態(tài)響應(yīng)則不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用（認(rèn)為原來系統(tǒng)沒有能量），由系統(tǒng)本身外加激勵信號所產(chǎn)生的響應(yīng) ，因此 可能發(fā)生跳變 （后面引入卷積后可以用卷積方法求解）。要注意自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的區(qū)別。其 均滿足齊次方程的解 ，但 零輸入響應(yīng)僅由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和起始儲能狀態(tài)決定 ，而 自由響應(yīng)的形式則由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定，其系數(shù)需要根據(jù)激勵信號和起始儲能狀態(tài)求出 。

卷積方法則是 將信號分解為沖激信號之和，借助系統(tǒng)沖激響應(yīng)來求解系統(tǒng)對任意激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng) 。首先引入系統(tǒng)的 沖激響應(yīng) ，即單位沖激信號作為激勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的 零狀態(tài)響應(yīng) （可見不考慮儲能）。根據(jù) 線性時不變系統(tǒng)的疊加原理 ，能夠得到系統(tǒng)接入不同激勵產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)（從δ(t)到e(t)，從h(t)到r(t)，推導(dǎo)過程就是卷積能夠求解零狀態(tài)的原因）。引入卷積能夠更方便地求解系統(tǒng)的 零狀態(tài)響應(yīng) （詳見第四章拉氏變換部分，根據(jù)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，引入卷積能夠很巧妙地跳過起始條件到初始條件的繁瑣求解，將這一變化包含了進(jìn)去）。卷積將一個函數(shù)拆分成一個個的沖激， 揭示了系統(tǒng)某一時刻的輸出是由無數(shù)個單一輸入共同作用（疊加）的結(jié)果 。而這種結(jié)果與之前所有時刻響應(yīng)均有關(guān)的積分運(yùn)算過程在信號處理上相當(dāng)于一種 平滑與展寬的濾波 。卷積的詳細(xì)物理意義與應(yīng)用見后續(xù)傅里葉變換與拉氏變換部分的介紹。