深度解析麥克斯韋方程

電動(dòng)汽車的引擎，醫(yī)學(xué)中的磁共振成像，廚房中的電熱水壺，你的智能手機(jī)的充電器，無(wú)線電，WiFi等等。任何利用電或磁的設(shè)備基本上都是基于麥克斯韋方程（Maxwell equations）的。

本文的目標(biāo)不是理論或?qū)嶒?yàn)證明麥克斯韋方程，而是盡可能簡(jiǎn)單易懂地呈現(xiàn)它們。我還會(huì)解釋麥克斯韋方程中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念。然而，首先，你應(yīng)該知道什么是偏導(dǎo)數(shù)以及什么是積分。要理解所有的麥克斯韋方程，你還要知道什么是電場(chǎng)和磁場(chǎng)。

考慮一個(gè)帶有電荷“Q”的大電荷球和一個(gè)帶有電荷“q”的小電荷球。這兩個(gè)球體相距r，它們之間的電力由庫(kù)侖定律（coulombs law）給出。

現(xiàn)在，如果你知道大電荷的值，想知道大電荷對(duì)小電荷施加的力的值怎么辦？但是，你并不知道這個(gè)小電荷的具體值，或者你有意將這個(gè)值保持開(kāi)放，只想看大電荷（對(duì)其）施加的力。

因此，你必須以某種方式從庫(kù)侖定律中消除小電荷q。為此，你只需在庫(kù)侖定律的兩邊都除以q。這樣，右邊的小電荷就消失了，反而出現(xiàn)在等式的左邊。

左邊“F/q”被定義為源電荷Q的電場(chǎng)E，（稱其為源電荷）是因?yàn)殡姾蒕是電場(chǎng)的源頭。

電場(chǎng)E因此表示在與源電荷距離r的位置放置一個(gè)小電荷時(shí)，會(huì)作用于它的電力。到目前為止，只考慮了電場(chǎng)的大小，即電場(chǎng)的強(qiáng)度，而沒(méi)有考慮電場(chǎng)的精確方向。然而，麥克斯韋方程是通用的，也包括電場(chǎng)的方向。因此，我們必須將電場(chǎng)轉(zhuǎn)化為向量。

向量以粗體顯示。手寫時(shí)，大多數(shù)人會(huì)在字母上面加一個(gè)小箭頭，以區(qū)別于標(biāo)量。我省略了箭頭。三維空間的電場(chǎng)E作為向量具有三個(gè)部分（分量）Ex，Ey和Ez，

讓我們看看第一個(gè)部分。第一個(gè)部分依賴于空間坐標(biāo)（x, y, z），是x方向的電場(chǎng)大小。也就是說(shuō)，根據(jù)（x, y, z）的具體位置，Ex的值是不同的。

同樣的規(guī)則也適用于其它兩個(gè)部分Ey和Ez，它們分別表示y方向和z方向的電場(chǎng)強(qiáng)度。

電場(chǎng)的分量表明在特定位置的測(cè)試電荷在第一，第二或第三個(gè)空間方向上會(huì)受到哪種電力作用。

麥克斯韋方程中的另一個(gè)重要物理量是磁場(chǎng)B。實(shí)驗(yàn)證明，一個(gè)帶有電荷q的粒子在外部磁場(chǎng)中以速度v移動(dòng)會(huì)受到磁力的作用，這使得粒子偏離原來(lái)的路徑。粒子上的力與其電荷q和速度v成正比，也就是說(shuō)，如果電荷或速度加倍，那么作用在粒子上的力也會(huì)加倍。

但不僅如此！力也與所施加的磁場(chǎng)成正比。為了描述力和磁場(chǎng)之間的這種比例關(guān)系，我們引入了物理量B。這個(gè)量的單位必須使得等式右邊的單位為力的單位，也就是“牛頓”或“千克米每秒平方”。

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)單位必須是“千克每安培秒平方”。這就是我們稱之為特斯拉（T）的單位。我們把B稱為磁通密度（或簡(jiǎn)稱：磁場(chǎng)）。

磁通密度描述了外部磁場(chǎng)，從而決定了作用在帶電粒子上的力的大小。公式“qvB”表示帶電粒子在磁場(chǎng)中受到的磁力，這僅僅是力的大小。為了像電力一樣以向量的形式表達(dá)磁力，力、速度和磁場(chǎng)都被表示為向量形式。

現(xiàn)在，這三個(gè)量不再是標(biāo)量，而是具有x，y和z方向的三維向量。

現(xiàn)在的問(wèn)題是：速度向量v應(yīng)如何與磁場(chǎng)向量B進(jìn)行向量乘法？如果你仔細(xì)觀察磁場(chǎng)中電荷的偏轉(zhuǎn)，你會(huì)注意到磁力始終指向與速度和磁場(chǎng)線垂直的方向。這種正交性可以用所謂的叉積來(lái)運(yùn)算。

兩個(gè)向量v和B的叉積是一個(gè)向量，總是垂直于向量v和B。

第一個(gè)分量是

第二個(gè)分量是

叉積的第三個(gè)分量是

所以

為了使力總是垂直于v和B，我們?cè)诠街腥和B的叉積。所以磁力的向量形式一般為：

電荷q是一個(gè)普通的標(biāo)量因子。正如你所看到的，物理量B描述了磁場(chǎng)的強(qiáng)度，這會(huì)導(dǎo)致移動(dòng)的電荷發(fā)生偏轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在你已經(jīng)學(xué)習(xí)了麥克斯韋方程中的兩個(gè)重要物理量，即電場(chǎng)E和磁場(chǎng)B。

它們都是所謂的向量場(chǎng)。這意味著你可以將一個(gè)電場(chǎng)和磁場(chǎng)向量分別賦給空間中的每個(gè)位置（x, y, z），這兩個(gè)向量同時(shí)表示了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的大小和方向。

總共有四個(gè)麥克斯韋方程。這四個(gè)麥克斯韋方程可以用兩種不同的方式來(lái)表示。有所謂的積分形式，它用積分來(lái)表示麥克斯韋方程，

還有微分形式，它用導(dǎo)數(shù)來(lái)表示麥克斯韋方程：

微分形式的麥克斯韋方程對(duì)于在空間的一個(gè)單點(diǎn)計(jì)算磁場(chǎng)和電場(chǎng)是有用的，而積分形式則用于在整個(gè)空間區(qū)域內(nèi)計(jì)算場(chǎng)。

積分形式適用于計(jì)算對(duì)稱問(wèn)題，例如計(jì)算帶電球體、帶電柱體或帶電平面的電場(chǎng)。

微分形式更適用于用計(jì)算機(jī)計(jì)算復(fù)雜的數(shù)值問(wèn)題，或者例如，用于推導(dǎo)電磁波。

另外，微分形式看起來(lái)比積分形式更緊湊。兩種形式都很有用，可以通過(guò)兩個(gè)數(shù)學(xué)定理相互轉(zhuǎn)化。一個(gè)定理被稱為散度積分定理（Divergence integral theorem），另一個(gè)是旋度積分定理（curl integral theorem）。如果你理解了這兩個(gè)定理，那么你就會(huì)更容易理解麥克斯韋方程。讓我們先來(lái)看看散度積分定理。

散度定理

這是散度積分定理的完全形態(tài)：

首先，讓我們看一下等式的右邊，

這里的A代表一個(gè)封閉任何體積的表面，例如立方體、球體或者你能想到的任何三維物體的表面。

在積分符號(hào)上的小圓圈表明這個(gè)表面必須滿足一個(gè)條件：表面必須是封閉的，也就是說(shuō)，它不能包含任何的孔洞，以便在數(shù)學(xué)上保證這個(gè)條件。因此，表面a就是一個(gè)封閉的表面。

這里的F是一個(gè)矢量場(chǎng)，可以表示電場(chǎng)

或磁場(chǎng)，

當(dāng)我們?cè)诳紤]麥克斯韋方程的時(shí)候，它是一個(gè)有三個(gè)組成部分的矢量，

da是無(wú)窮小的表面元素，就是所考慮的表面A的無(wú)窮小表面元素。

你可能已經(jīng)注意到，da元素中的a是加粗的，所以它是一個(gè)有大小和方向的矢量。da元素垂直于表面，并且定義為從表面指向外部。

在矢量場(chǎng)和da元素之間的點(diǎn)代表所謂的標(biāo)量積。標(biāo)量積是一種乘兩個(gè)矢量的方法，所以在這里，矢量場(chǎng)和da元素之間的標(biāo)量積是形成的。標(biāo)量積的定義如下：

從定義中可以看出，兩個(gè)矢量的第一，第二和第三組成部分是相乘然后相加的。標(biāo)量積的結(jié)果不再是一個(gè)矢量，而是一個(gè)普通的數(shù)字。

為了理解這個(gè)數(shù)字的含義，你首先要知道任何矢量都可以寫成兩個(gè)其他矢量的和，

其中一個(gè)矢量平行于da元素，我們稱之為F平行，另一個(gè)矢量垂直于da元素，我們稱之為F垂直。另一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)是，兩個(gè)垂直矢量的標(biāo)量積總是等于零，這就意味著，

然而，F(xiàn)平行和da元素之間的標(biāo)量積通常不是零，

所以現(xiàn)在你可以看到等式右邊的標(biāo)量積是怎么計(jì)算的，

它只選擇了矢量場(chǎng)中和da元素平行的部分，剩下的在垂直方向上的矢量場(chǎng)部分被標(biāo)量積消除。

接下來(lái)，對(duì)于被考慮的表面A的所有位置，都會(huì)累加標(biāo)量積，這就是積分的任務(wù)，

因此，散度定理的右側(cè)會(huì)求和所有流入或流出表面A的矢量場(chǎng)F的分量。這種對(duì)表面的小片段進(jìn)行求和的積分被稱為表面積分（surface integral）。如果積分函數(shù)是一個(gè)矢量場(chǎng)，這個(gè)表面積分被稱為矢量場(chǎng)F通過(guò)表面A的流量?。

這個(gè)描述基于這個(gè)表面積分的意義，它度量了多少的矢量場(chǎng)F流出或流入被考慮的表面A。

如果這個(gè)表面積分的矢量場(chǎng)F是電場(chǎng)E，那么這個(gè)表面積分就被稱為通過(guò)表面A的電通量。如果矢量場(chǎng)F是磁場(chǎng)B，那么這個(gè)表面積分就被稱為通過(guò)表面A的磁通量。

現(xiàn)在讓我們看看定理的左側(cè)，

V是一個(gè)體積，它是由表面A封閉的體積。dv是一個(gè)無(wú)窮小的體積元素，換句話說(shuō)，它是被考慮的體積V的無(wú)窮小的體積片段。

上下三角符號(hào)被稱為nabla算子，它有三個(gè)組成部分，就像矢量一樣，

然而，它的組成部分不是數(shù)字，而是導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)于空間坐標(biāo)。第一個(gè)組成部分是關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)，第二個(gè)組成部分是關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，第三個(gè)組成部分是關(guān)于z的導(dǎo)數(shù)。

像nabla算子這樣的算子只在應(yīng)用到一個(gè)場(chǎng)時(shí)起作用，

nabla算子應(yīng)用到矢量場(chǎng)，通過(guò)在nabla算子和矢量場(chǎng)之間取標(biāo)量積。你可以看到，這是矢量場(chǎng)對(duì)空間坐標(biāo)x, y, z的導(dǎo)數(shù)的和，

這樣一個(gè)nabla算子和矢量場(chǎng)F之間的標(biāo)量積被稱為矢量場(chǎng)F的散度（Divergence ofF）。在位置x, y, z的結(jié)果不再是一個(gè)矢量，而是一個(gè)標(biāo)量，它可以是正的，負(fù)的，或者是零。

如果在位置x, y, z的散度是正的，那么在這個(gè)位置（下圖正方體中的圓點(diǎn)）有一個(gè)矢量場(chǎng)F的源。如果這個(gè)位置被表面包圍，那么通過(guò)表面的通量也是正的，矢量場(chǎng)可以說(shuō)是從表面流出。

如果在位置x, y, z的散度是負(fù)的，那么在這個(gè)位置（下圖正方體中的圓點(diǎn)）有一個(gè)矢量場(chǎng)F的匯，如果這個(gè)位置被表面包圍，那么通過(guò)表面的通量也是負(fù)的，矢量場(chǎng)流入表面。

如果在位置x, y, z的散度消失，那么這個(gè)位置既不是矢量場(chǎng)的匯也不是源。矢量場(chǎng)不會(huì)流出或流入，或者說(shuō)流入的和流出的數(shù)量相等，所以這兩個(gè)量抵消了。

接下來(lái)，利用積分在體積內(nèi)的每一個(gè)位置求和散度，即矢量場(chǎng)的源和匯。這種對(duì)體積小片段求和的積分被稱為體積積分。

那么讓我們總結(jié)一下散度定理：在左邊是矢量場(chǎng)在體積內(nèi)的源和匯的總和，而在右邊是矢量場(chǎng)通過(guò)那個(gè)體積的表面的總通量，這兩邊應(yīng)該是相等的。散度定理因此表明，在一個(gè)體積內(nèi)的矢量場(chǎng)的源和匯的總和，就是矢量場(chǎng)通過(guò)那個(gè)體積的表面的通量。

旋度定理

現(xiàn)在考慮理解麥克斯韋方程必要的第二個(gè)重要定理，旋度定理（斯托克斯定理），旋度積分定理：

如果你理解了散度積分定理，那么旋度積分定理對(duì)你來(lái)說(shuō)不應(yīng)該很難。你已經(jīng)知道矢量場(chǎng)F、標(biāo)量積、Nabla運(yùn)算符和da元素。首先，讓我們看看等式的右側(cè)。

L是空間中的一條線。積分符號(hào)上的圓圈表示這條線必須是閉合的，也就是說(shuō)它應(yīng)該形成一個(gè)循環(huán)。

dl是循環(huán)的一個(gè)無(wú)窮小線元素，所以是線的一個(gè)無(wú)限小的部分。再次，你應(yīng)該注意到dl元素被顯示為粗體，它是一個(gè)具有大小和方向的矢量。現(xiàn)在形成了矢量場(chǎng)F和線元素dl的標(biāo)量積。你已經(jīng)知道標(biāo)量積的任務(wù)是什么。首先，將矢量場(chǎng)分解為兩個(gè)部分；一個(gè)是平行于dl元素的'F平行'，另一個(gè)是垂直于dl元素的'F垂直'。

與dl元素的標(biāo)量積消除了垂直分量，而沒(méi)有改變平行于dl元素的矢量場(chǎng)部分。因?yàn)樵诿總€(gè)位置，dl元素都沿著線，所以在標(biāo)量積中，只有沿著線L的矢量場(chǎng)部分被考慮；矢量場(chǎng)的其他部分被忽略。然后，使用積分對(duì)循環(huán)的每個(gè)位置的標(biāo)量積進(jìn)行求和。這樣的積分，其中無(wú)限小的線元素被求和，被稱為線積分。

現(xiàn)在你知道在旋度積分定理的右側(cè)的含義：線積分計(jì)算了多少的矢量場(chǎng)F沿著線L運(yùn)動(dòng)。

因?yàn)榫€是閉合的，這個(gè)標(biāo)量積返回到求和開(kāi)始的同一個(gè)點(diǎn)。閉合線積分因此表示矢量場(chǎng)F沿著環(huán)路L旋轉(zhuǎn)的程度。如果這個(gè)線積分中的矢量場(chǎng)F是一個(gè)電場(chǎng)E，那么這個(gè)線積分被稱為線路L上的電壓。

另一方面，當(dāng)矢量場(chǎng)F是一個(gè)磁場(chǎng)B時(shí)，線積分被稱為線路L上的磁電壓。

在電場(chǎng)的情況下，電壓與通過(guò)線路L的正電荷粒子獲得的能量成正比。

相反，負(fù)電荷粒子在通過(guò)線路L時(shí)會(huì)失去這種能量。電場(chǎng)的線積分，也就是電壓，衡量了在考慮的線路L通過(guò)下，帶電粒子的能量增益或能量損失?，F(xiàn)在你應(yīng)該已經(jīng)理解了旋度積分定理的右側(cè)了。

讓我們現(xiàn)在看看左側(cè)。

這里再次出現(xiàn)了面積A。這個(gè)面，不像散度積分定理，不必是一個(gè)封閉的面，而只是線L所包圍的面。da再次是面積A的一個(gè)無(wú)窮小部分，它在任何位置都垂直于該表面。

此外，這里出現(xiàn)了叉積，我們?cè)谟懻摯帕r(shí)已經(jīng)遇到過(guò)它。這里，叉積是在Nabla運(yùn)算符和矢量場(chǎng)F之間形成的。除了標(biāo)量積，它是兩個(gè)矢量相乘的第二種方式。Nabla運(yùn)算符和矢量場(chǎng)F之間的這個(gè)叉積被稱為矢量場(chǎng)F的旋度。

結(jié)果（與標(biāo)量積相反）又是一個(gè)矢量場(chǎng)。

這個(gè)新的矢量說(shuō)明了在表面A內(nèi)一個(gè)點(diǎn)周圍，F(xiàn)場(chǎng)有多少旋轉(zhuǎn)。

然后，新的矢量場(chǎng)'Nabla叉F'與無(wú)窮小表面元素da之間形成了標(biāo)量積。因此，正如你已經(jīng)知道的，只有'Nabla叉F'的一部分被留下，這部分平行于表面元素。

由于表面元素da垂直于表面A，標(biāo)量積只保留矢量場(chǎng)'Nabla叉F'的一部分，這部分也是垂直于表面A。然后，通過(guò)積分，將表面A內(nèi)的所有標(biāo)量積分求和。

讓我們總結(jié)一下旋度積分定理的陳述：在右側(cè)，沿著一條線L加總矢量場(chǎng)F，因此，考慮了矢量場(chǎng)圍繞封閉表面的旋轉(zhuǎn)。在左側(cè)，對(duì)矢量場(chǎng)F的旋度在表面內(nèi)的每一個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)進(jìn)行求和。根據(jù)這個(gè)定理，兩邊應(yīng)該是相等的。旋度積分定理因此表明，矢量場(chǎng)F在表面A內(nèi)的總旋度對(duì)應(yīng)于矢量場(chǎng)F沿著該表面的邊緣L的旋轉(zhuǎn)。

顯然，表面內(nèi)部的矢量場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)在求和過(guò)程中抵消了，只剩下沿著邊緣L的矢量場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)。

有了所有這些，你現(xiàn)在應(yīng)該已經(jīng)準(zhǔn)備好完全理解麥克斯韋方程了。

第一個(gè)麥克斯韋方程

這就是積分形式的第一個(gè)麥克斯韋方程，

麥克斯韋方程的左側(cè)應(yīng)該對(duì)你來(lái)說(shuō)是熟悉的。這是一個(gè)表面積分，其中出現(xiàn)了電場(chǎng)E。這個(gè)積分計(jì)算有多少電場(chǎng)出入表面A。

因此，這個(gè)積分代表了通過(guò)表面A的電通量。

右側(cè)是被表面A包圍的總電荷Q，除以電場(chǎng)常數(shù)（以得到正確的單位）。

第一個(gè)麥克斯韋方程表明，通過(guò)封閉表面A的電通量Phi對(duì)應(yīng)于被這個(gè)表面包圍的電荷Q。

順便說(shuō)一句：庫(kù)侖定律是第一個(gè)麥克斯韋方程的一個(gè)特例。

利用之前學(xué)習(xí)的散度積分定理，它結(jié)合了體積積分和表面積分：

第一個(gè)麥克斯韋方程左側(cè)的表面積分可以被替換為電場(chǎng)散度的體積積分，

封閉的電荷Q也可以用體積積分來(lái)表示。根據(jù)定義，電荷密度是電荷除以體積。將體積移到另一側(cè)，那么就有了'Q等于rho乘以V'。體積V通?？梢詫懗审w積積分的形式。

也就是說(shuō)，電荷密度rho對(duì)體積V的體積積分是封閉在該體積內(nèi)的電荷。這使得麥克斯韋方程的右側(cè)變成了一個(gè)體積積分。

如你所見(jiàn)，我們?cè)趦蛇叾紝?duì)同一個(gè)體積V進(jìn)行了積分。為了滿足這個(gè)方程對(duì)于任意選擇的體積V，兩邊的被積函數(shù)必須相等?，F(xiàn)在你已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)麥克斯韋方程的微分形式：

在微分形式的左側(cè)，你可以看到電場(chǎng)的散度。你知道在空間的一個(gè)特定點(diǎn)上，它可能是正的、負(fù)的或者零。

散度的符號(hào)決定了在考慮的空間點(diǎn)上的電荷的類型。如果散度是正的，那么在這個(gè)空間點(diǎn)上的電荷密度rho就是正的，因此電荷也是正的。因此，在這個(gè)空間點(diǎn)有一個(gè)正電荷，這是電場(chǎng)的來(lái)源。如果散度是負(fù)的，那么電荷密度rho就是負(fù)的，因此電荷也是負(fù)的。在這個(gè)空間點(diǎn)上，因此有一個(gè)負(fù)電荷，這是電場(chǎng)的匯流點(diǎn)。

如果散度為零，那么電荷密度rho也為零。在空間的這個(gè)點(diǎn)，要么沒(méi)有電荷，要么正電荷和負(fù)電荷的數(shù)量一樣多，因此這個(gè)點(diǎn)的總電荷被抵消了。

第一個(gè)麥克斯韋方程（微分形式）聲明電荷是電場(chǎng)的源和匯。電荷生成電場(chǎng)！

第二個(gè)麥克斯韋方程

這是第二個(gè)麥克斯韋方程的積分形式，

這個(gè)方程沒(méi)有什么陌生的內(nèi)容。所有的東西現(xiàn)在應(yīng)該看起來(lái)都很熟悉。在等式左側(cè)，你看到了一個(gè)關(guān)于A的面積積分。這次不是電場(chǎng)的積分，而是磁場(chǎng)B的積分。根據(jù)等式，通過(guò)封閉表面A的磁通量總是等于零。

第二個(gè)麥克斯韋方程表明，總是有和進(jìn)入表面的磁場(chǎng)矢量一樣多的磁場(chǎng)矢量從表面出來(lái)。

通過(guò)散度積分定理，面積積分可以轉(zhuǎn)換為體積積分；這樣，磁場(chǎng)的散度就起到作用了。這個(gè)積分應(yīng)該是零。對(duì)于任何體積V的積分，只有在被積函數(shù)為零的情況下才總是零。

因此，第二個(gè)麥克斯韋方程以其微分形式出現(xiàn)：“B的散度等于零”。如果散度為零，這意味著在空間的每一個(gè)點(diǎn)（x, y, z）上，要么沒(méi)有磁電荷（也稱為磁單極子），要么正磁電荷和負(fù)磁電荷的數(shù)量一樣多，所以那一點(diǎn)的總電荷抵消了，就像一個(gè)理想的磁偶極子，它總是有一個(gè)北極和一個(gè)南極。

北極對(duì)應(yīng)正磁電荷，南極對(duì)應(yīng)負(fù)磁電荷。由于沒(méi)有磁單極子，所以沒(méi)有分離的磁場(chǎng)源和匯。第二個(gè)麥克斯韋方程的微分形式表明，沒(méi)有磁單極子產(chǎn)生磁場(chǎng)。只有磁偶極子可以存在。

第二個(gè)麥克斯韋方程，就像其他麥克斯韋方程一樣，是一個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。也就是說(shuō)，如果有一天發(fā)現(xiàn)了一個(gè)磁電荷，那么第二個(gè)麥克斯韋方程就必須被修改。然后麥克斯韋方程將看起來(lái)更加對(duì)稱，更加美麗！

第三個(gè)麥克斯韋方程（法拉第感應(yīng)定律）

這是第三個(gè)麥克斯韋方程在積分形式下的樣子，

你可能已經(jīng)知道第三個(gè)麥克斯韋方程，也就是法拉第的感應(yīng)定律。這就是感應(yīng)定律的最一般形式。

左側(cè)是電場(chǎng)E沿一個(gè)封閉線L的線積分，它形成表面A。這個(gè)積分把沿著線L運(yùn)動(dòng)的電場(chǎng)的所有部分都加起來(lái)。這個(gè)積分對(duì)應(yīng)于沿著線L的電壓U。

在右側(cè)有一個(gè)關(guān)于任意表面A的磁場(chǎng)B的面積積分。這個(gè)積分對(duì)應(yīng)于通過(guò)表面A的磁通量Φ。這個(gè)磁通量是相對(duì)于時(shí)間t進(jìn)行微分的。

磁通量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)表示隨著時(shí)間的流逝磁通量變化了多少。所以它是磁通量的時(shí)間變化。

磁通量的變化越大，旋轉(zhuǎn)電場(chǎng)就越大。

負(fù)號(hào)考慮了旋轉(zhuǎn)的方向。如果磁通量的變化是正的，電壓就是負(fù)的。如果磁通量的變化是負(fù)的，電壓就是正的。電壓和磁通量的變化在行為上是相反的。負(fù)號(hào)保證了能量守恒。也許你知道這個(gè)名字：楞次定律（lenz's law）。

正如你所看到的，根據(jù)這個(gè)麥克斯韋方程，旋轉(zhuǎn)電場(chǎng)產(chǎn)生了隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)，反之亦然。

所以讓我們總結(jié)一下：第三個(gè)麥克斯韋方程表明，沿著一個(gè)封閉線的電壓對(duì)應(yīng)于通過(guò)該線邊界的表面的磁通量的變化。換句話說(shuō)，通過(guò)表面A的磁通量的變化會(huì)在A的邊緣產(chǎn)生電壓。

讓我們考慮另一個(gè)重要的特殊情況。如果磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化，那么麥克斯韋方程的右側(cè)就會(huì)被消除。

然后這個(gè)方程就表明，沿著一個(gè)封閉線的電壓總是零。所以只有當(dāng)磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)，才沒(méi)有旋轉(zhuǎn)電場(chǎng)。

如果一個(gè)電子通過(guò)封閉線L，它的能量不會(huì)改變，因?yàn)?，電壓表示一個(gè)電荷在通過(guò)一條線時(shí)獲得或失去的能量。在這種情況下，電壓為零。因此沒(méi)有能量變化。

使用旋度積分定理，可以將積分形式轉(zhuǎn)化為微分形式。這個(gè)定理將線積分與面積積分相連。為此，只需將線積分替換為面積積分。這就引出了E的旋度。

在另一邊，你可以把時(shí)間導(dǎo)數(shù)放進(jìn)積分里，

由于方程對(duì)任何表面A都適用，所以兩邊的被積函數(shù)必須相等。就這樣，你發(fā)現(xiàn)了第三個(gè)麥克斯韋方程的微分形式：“E的旋度等于磁場(chǎng)的負(fù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)”，

微分形式的第三個(gè)麥克斯韋方程表明，一個(gè)變化的磁場(chǎng)B會(huì)產(chǎn)生一個(gè)旋轉(zhuǎn)的電場(chǎng)E，反之亦然，以保證能量守恒。

我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)向第四個(gè)，也是最后一個(gè)麥克斯韋方程。

第四個(gè)麥克斯韋方程

左側(cè)的積分是什么類型的？沿封閉線L的磁場(chǎng)B的線積分，這就是磁電壓U的定義，

右側(cè)有電場(chǎng)常數(shù)Epsilon_0和磁場(chǎng)常數(shù)Mu_0。它們確保了麥克斯韋方程兩側(cè)的單位是一樣的：

此外，這里還有一些新的東西，那就是電流I。當(dāng)電荷沿導(dǎo)體流動(dòng)時(shí)，它們會(huì)產(chǎn)生一個(gè)電流I。此外還有另一個(gè)加數(shù)：

我們知道電場(chǎng)的面積積分，就是通過(guò)表面A的電通量。此外，電通量前面還有一個(gè)時(shí)間導(dǎo)數(shù)。所以整個(gè)式子就是電通量的時(shí)間變化。

總結(jié)一下：右側(cè)有兩個(gè)加數(shù)：一個(gè)由電流貢獻(xiàn)，一個(gè)由電通量的變化貢獻(xiàn)。

因此，第四個(gè)麥克斯韋方程表明，旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)首先由穿過(guò)面積A的電流產(chǎn)生，其次由變化的電場(chǎng)產(chǎn)生。

讓我們現(xiàn)在推導(dǎo)出微分形式。利用旋度積分定理，可以將線積分轉(zhuǎn)化為面積積分，從而引入磁場(chǎng)B的旋度。

現(xiàn)在我們需要用面積積分來(lái)表示電流I，這樣我們?cè)谟疫吘湍艿玫揭粋€(gè)單一的被積函數(shù)。我們可以簡(jiǎn)單地使用電流密度j來(lái)做到這一點(diǎn)，

它表示電流流過(guò)的區(qū)域的電流。因此，電流也可以寫成電流密度j在表面A上的面積積分，

注意在積分中，電流密度與da元素的標(biāo)量積被取出。所以我們只選取了電流密度矢量與da元素平行的部分。只有電流密度的這個(gè)平行部分才對(duì)通過(guò)面A的電流有貢獻(xiàn)。你可以將時(shí)間導(dǎo)數(shù)放進(jìn)積分中，

現(xiàn)在，由于在同一個(gè)表面A上積分，所以可以將兩個(gè)面積積分合并為一個(gè)，

為了滿足對(duì)任何表面A的方程，兩邊的被積函數(shù)必須相等。我們已經(jīng)找到了第四個(gè)麥克斯韋方程的微分形式：“B的旋度等于mu_zero乘以I ＋ mu_zero epsilon_zero乘以電場(chǎng)隨時(shí)間的變化”：

微分形式因此表明，在空間中的一個(gè)點(diǎn)處，磁場(chǎng)B的旋度有兩種原因：電流密度j和在這個(gè)點(diǎn)處變化的電場(chǎng)。

總結(jié)

讓我們以緊湊的形式（微分形式），總結(jié)電動(dòng)力學(xué)的四個(gè)麥克斯韋方程。

第一個(gè)麥克斯韋方程：E的散度等于電荷密度除以epsilon_zero。電荷產(chǎn)生電場(chǎng)。

第二個(gè)麥克斯韋方程：B的散度等于零。沒(méi)有磁單極子。

第三個(gè)麥克斯韋方程：E的旋度等于磁場(chǎng)的負(fù)時(shí)間導(dǎo)數(shù)。一個(gè)變化的磁場(chǎng)創(chuàng)造一個(gè)旋轉(zhuǎn)的電場(chǎng)，反之亦然。

第四個(gè)麥克斯韋方程：B的旋度等于mu_zero乘以I + mu_zero epsilon_zero乘以電場(chǎng)隨時(shí)間的變化。電流和變化的電場(chǎng)生成磁場(chǎng)。