Simulink中構(gòu)造時變傳遞函數(shù)的四種方法

1. 原****由

傳遞函數(shù)是針對線性時不變（Linear Time-Invariant，LTI）系統(tǒng)定義的，嚴格來說，時變傳遞函數(shù)的說法并不十分嚴謹。但 “時變”和“非線性”才是實際系統(tǒng)的本質(zhì)特性，就拿最簡單的RC電路來說，電阻會隨溫度變化，電容也會隨使用時間發(fā)生變化，RC參數(shù)的變化就會造成傳遞函數(shù)的時變。對于已經(jīng)建好的傳遞函數(shù)，需要分析參數(shù)時變的影響時，或者已經(jīng)建好的某種控制算法，需要驗證對于參數(shù)時變的適應(yīng)能力時，應(yīng)該如何處理呢？

這時，由線性時不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)推廣得到的時變傳遞函數(shù)是一個不錯的選擇。

2. 方法

2.1 方法一：通過微分方程實現(xiàn)時變傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)由微分方程通過拉普拉斯（Laplace）變換得到，已知傳遞函數(shù)形式后，可以反推出微分方程，再在Simulink中利用基本模塊搭建模型。

如某時變二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為：

其中，k(t)，a(t)，b(t)為時變參數(shù)。

傳遞函數(shù)反推出微分方程為：

上述微分方程在Simulink中容易搭建：

更方便的是，Matlab 2017b之后在控制系統(tǒng)工具箱（Control system toolbox）中推出了時變傳遞函數(shù)模塊（Varying Transfer Function），可供用戶直接選用。

Simulink自帶的這個時變傳遞函數(shù)模塊（Varying Transfer Function）就是使用的微分方程方法實現(xiàn)的。

2.2 方法二：通過狀態(tài)空間實現(xiàn)時變傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)還可以轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間形式，如上述二階系統(tǒng)可轉(zhuǎn)變?yōu)榭煽貥藴市蜖顟B(tài)空間：

通過上述狀態(tài)空間形式也可在Simulink中方便的實現(xiàn)時變傳遞函數(shù)。同樣，Matlab 2017b之后在控制系統(tǒng)工具箱（Control system toolbox）中推出了時變狀態(tài)空間模塊（Varying State Space），可供用戶直接選用。

2.3 方法三：通過S函數(shù)實現(xiàn)時變傳遞函數(shù)

核心思路與方法二相同，即：傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)空間（可選可控標準型和可觀標準型），通過傳遞函數(shù)系數(shù)重構(gòu)狀態(tài)空間矩陣，通過狀態(tài)空間實現(xiàn)時變傳遞函數(shù)。

在Matlab 2017b版本中推出線性時變系統(tǒng)表達方式之前，筆者早年使用Level-2 S函數(shù)開發(fā)時變傳遞函數(shù)模塊，可供Matlab 2017b版本以前的用戶使用 ，也可供需要學(xué)習(xí)Level-2 S函數(shù)使用方法的用戶參考。

2.4 方法四：通過DCP模塊實現(xiàn)時變傳遞函數(shù)

Simulink中的傳遞函數(shù)模塊（Transfer Fcn）的分子系數(shù)（Numerator coefficients）和分母系數(shù)（Denominator coefficients）都支持在線調(diào)整，即在仿真過程中可通過set_param函數(shù)來在線調(diào)整傳遞函數(shù)的分子分母系數(shù)，由此實現(xiàn)時變傳遞函數(shù)。

筆者開發(fā)的DCP模塊可實現(xiàn)各類模塊在線更新參數(shù)的需求，通過DCP模塊可方便的實現(xiàn)時變傳遞函數(shù)。

3. 演示

二階時變傳遞函數(shù)：

參數(shù)時變規(guī)律為：

四種方法的Simulink模型：

階躍響應(yīng)仿真結(jié)果：

正弦響應(yīng)仿真結(jié)果：

分析仿真結(jié)果 ：

其主要原因為四種建模方式不同，模型中的記憶環(huán)節(jié)（如積分環(huán)節(jié)、狀態(tài)量）選取不同，記憶環(huán)節(jié)與輸出之間的映射關(guān)系也不同，因此某些參數(shù)變化體現(xiàn)在記憶環(huán)節(jié)之前的輸入?yún)?shù)中，有些參數(shù)變化體現(xiàn)在記憶環(huán)節(jié)之后的輸出參數(shù)中，由此造成突變瞬間動態(tài)過程的響應(yīng)差別，但進入穩(wěn)態(tài)后的響應(yīng)是相同的。應(yīng)用中需要根據(jù)實際系統(tǒng)的特點靈活選擇實現(xiàn)方式。