PWM調(diào)制器在小信號環(huán)路中，究竟是何等效模型？

本文將繼續(xù)研究電壓模式Buck，從頻域邊帶效應(yīng)和多頻率模型的角度，深度揭秘：

• PWM調(diào)制器在小信號環(huán)路中，究竟是何等效模型？在中高頻段，小信號的精確模型與傳統(tǒng)平均模型的偏差何在？
• 在中高頻段，精確的小信號模型與真實PWM變換器的系統(tǒng)是否仍有偏差？

LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)的適用性

頻率響應(yīng)，即穩(wěn)態(tài)下線性時不變(LTI)系統(tǒng)的幅值/相位隨頻率的變化。它反映了任意頻率下，系統(tǒng)正弦輸出和對應(yīng)正弦輸入的一一對應(yīng)關(guān)系，且LTI系統(tǒng)的輸出響應(yīng)和輸入信號的注入時刻無關(guān)。

LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)的定義

然而，前文提過PWM調(diào)制器具有時變的采樣特性，時變系統(tǒng)本身已經(jīng)破壞了LTI系統(tǒng)的分析基礎(chǔ)。若從頻域上考察PWM變換器，在閉環(huán)回路中注入一個接近fsw的高頻擾動 fx ，可以明顯看到Buck的輸出電壓* vo存在一個 ** fsw -fx的差頻響應(yīng)(beat frequency)，這是由于fx經(jīng)過開關(guān)頻率fs的載波自然采樣下的邊帶效應(yīng)造成的。如此，系統(tǒng)在某頻率下的輸出響應(yīng)并不僅僅由該頻率的擾動輸入貢獻，這是LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)無法描述*的特性。

非LTI系統(tǒng)中頻率響應(yīng)不再適用

PWM變換器的時變特性，導(dǎo)致越往高頻處越遠離一個LTI系統(tǒng)，在LTI波特圖理論下的頻響指標(帶寬/穩(wěn)定裕量等)參考價值越低。有學者提出利用線性周期LTVP/LTP系統(tǒng)理論建模和分析，這是足夠嚴謹?shù)?，但分析手段在?shù)學上過于復(fù)雜且物理意義并不直觀。

小信號精確模型的意義

在介紹系統(tǒng)大小信號建模時，已簡單歸納過小信號建模的部分手法，本文將中高頻小信號精確建模的途徑重新歸納如下。

小信號精確建模的方法分類

PWM調(diào)制器在中高頻的時變特性已然不可忽略，勢必造成使用LTI系統(tǒng)理論下的小信號模型，即便是環(huán)路分析儀直接掃頻的結(jié)果，也無法精準描述實際PWM變換器的全部特性(下圖可形象說明這個問題)。但是，從理論上建立小信號精確模型仍然是有必要的，因為 頻率響應(yīng)和波特圖分析方法是工程實踐普遍接受的設(shè)計習慣 ，精確建?？稍谥懈哳l無限接近實際的環(huán)路掃頻結(jié)果，從而給基于頻率響應(yīng)的 環(huán)路補償和高帶寬設(shè)計提供理論指導(dǎo) ，同時也可從小信號頻域的角度大致預(yù)測中高頻的不穩(wěn)定行為(如次諧波振蕩)。另一方面，基于平均模型的建模思路不斷改進而來的頻域精確建模方法，最容易被工程實踐人員理解和使用。

各數(shù)學模型的關(guān)系

既然通過頻域波特圖設(shè)計環(huán)路依然是工程實踐的絕對主流，本文將從頻域的角度介紹邊帶效應(yīng)和多頻率小信號精確模型，以幫助大家理解PWM調(diào)制器在中高頻究竟帶來了什么。

邊帶效應(yīng)和頻率混疊/耦合

下圖通過例子說明了開環(huán)的PWM調(diào)制器，自然采樣下的時變特性：占空比的輸出響應(yīng)和輸入調(diào)制波的注入時刻相關(guān)。

PWM調(diào)制器自然采樣的時變特性

開環(huán)情況下，如果把PWM調(diào)制器看做fsw的采樣環(huán)節(jié)，調(diào)制波在某頻率的小信號擾動輸入下，會在頻域以nfsw為中心，產(chǎn)生周期性的延拓，這些因fsw采樣產(chǎn)生的高頻信號稱為 **nfsw **的 邊帶效應(yīng) 。

PWM調(diào)制器的邊帶效應(yīng)與頻率混疊

然而，閉環(huán)中的PWM調(diào)制器比僅考慮開環(huán)PWM調(diào)制器的特性更為復(fù)雜。環(huán)路是一個低通濾波器，調(diào)制波的擾動產(chǎn)生的邊帶會在閉環(huán)繞一圈后重新回到調(diào)制器參與調(diào)制，導(dǎo)致PWM占空比輸出的響應(yīng)既含有擾動頻率成分，又含有各邊帶頻率成分， 擾動頻率和邊帶頻率相互耦合 (有文獻也稱這種耦合是PWM調(diào)制器的頻率混疊，這取決于頻率混疊如何明確定義)。

PWM調(diào)制器的邊帶效應(yīng)在考慮閉環(huán)以后的頻率耦合

由上圖容易知道：擾動頻率越高，越接近 nfsw * ，則越容易在低頻處產(chǎn)生差頻的輸出響應(yīng)； 且環(huán)路的帶寬設(shè)計得越高，更多落在低頻的邊帶成分將被有效放大，邊帶效應(yīng)造成的頻率耦合越嚴重 ，傳統(tǒng)的小信號平均模型造成的誤差是非常顯著的。

頻率越高，越不可忽略邊帶效應(yīng)和閉環(huán)的頻率耦合

多頻率模型

逐步考慮高頻和大紋波

基于頻域邊帶的小信號精確建模被稱為“多頻率模型”，始于CPES邱陽在2005年左右的研究，考慮采樣帶來的高頻邊帶效應(yīng)以及在閉環(huán)系統(tǒng)中的頻率耦合。

多頻率模型的發(fā)展

近年來，眾多學者對邱陽多頻率模型的精度不斷優(yōu)化，考慮的邊帶數(shù)越來越多，配合對大幅度調(diào)制紋波具體形狀的分析，可以突破“低頻假設(shè)”和“小紋波假設(shè)”的雙重限制，求得和環(huán)路分析儀擾動法掃頻幾乎一致的結(jié)果。

不同多頻率模型考慮的邊帶數(shù)

在調(diào)制波幅值和載波相比不可忽略的情況下，調(diào)制波含“大紋波”對小信號全頻段增益和中高頻段相位帶來的影響也是顯著的。學術(shù)界從引入紋波的開關(guān)頻率正弦基波開始，結(jié)合多頻率模型共同分析。

調(diào)制波是“大紋波”情況下對小信號模型的影響

為了同時解決所有高頻邊帶和所有紋波頻率分量對小信號的影響，本文引用南航李鑫博士的“拓展頻率模型”及其結(jié)論說明PWM調(diào)制器在小信號模型中的特性。

拓展頻率模型

完整的PWM調(diào)制器小信號模型

在已知補償器參數(shù)進而考慮“大紋波”形狀的PWM調(diào)制下，結(jié)合邊帶效應(yīng)和閉環(huán)頻率耦合，可得到一個完整的PWM調(diào)制器小信號模型。下圖給出的是PI補償器的閉環(huán)Buck，其PWM調(diào)制器的小信號傳遞函數(shù)GPWM的近似結(jié)果。

PI補償?shù)拈]環(huán)Buck，完整的PWM調(diào)制器小信號模型GPWM

由下圖的例子可以明顯看到：

• GPWM不再是平均模型中的恒定增益，而是和紋波形狀(補償器參數(shù)、主電路參數(shù)、開關(guān)頻率、占空比共同決定)相關(guān)
• GPWM近似為一階系統(tǒng)，在平均模型1/Vm基礎(chǔ)上多了一個增益調(diào)節(jié)量和一個極點，它們均和補償器的Kp相關(guān)(一個正相關(guān)，一個反相關(guān))
• 試圖提高帶寬的過程中，增大補償器Kp往往會增大全頻增益，但會降低中高頻的相位，無法保證充足的相位裕量
• 有兩點可能性是相當反直覺的，因GPWM的增益調(diào)節(jié)量和極點均可正可負：
  ①有時，增大補償器Kp反而有可能降低 GPWM的增益 ，導(dǎo)致環(huán)路增益和帶寬不再提升
  ** ②有時， 極點也有可能成為右半平面的開環(huán)不穩(wěn)定極點**

GPWM和小信號環(huán)路隨增益Kp的變化趨勢

兩個反直覺的實例

嘗試把帶寬提升到逼近fsw/2

綜上所述，我們將PWM調(diào)制器的特點總結(jié)如下。

用邊帶效應(yīng)理解PWM調(diào)制器的總結(jié)

當我們試圖通過增大補償器Kp，盡可能地提升帶寬直至逼近 fsw /2的過程中，不難遇到上述兩點反直覺的可能性，即增大補償器Kp對環(huán)路增益/帶寬的提升無效，和產(chǎn)生中高頻的右半平面極點。如下的仿真實例可以印證。

必須再次強調(diào)，正如本文一開始所談的那樣，從結(jié)果上看，帶寬可以提高直到逼近 fsw /2系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，但此時依然是基于LTI系統(tǒng)理論的分析手段，波特圖上的帶寬和相位裕量等指標已經(jīng)部分失去了參考價值。 這也是設(shè)計經(jīng)驗提示我們要把小信號環(huán)路的帶寬設(shè)計在開關(guān)頻率1/10-1/5范圍內(nèi)的深層原因 。