四元數(shù)轉(zhuǎn)方向余弦矩陣介紹

2.1 歐拉定理

歐拉定理是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動理論中的一個重要定理，它表明剛體繞固定點(diǎn)的任何位移都可以通過繞通過此點(diǎn)的某一軸轉(zhuǎn)過一個角度來實(shí)現(xiàn)。在單位時(shí)間間隔Δt內(nèi)，假設(shè)剛體的角速度為ω，則該轉(zhuǎn)動軸的方向e及繞該軸轉(zhuǎn)過的角度φ分別為：e = ω/|ω|，φ = |ω|Δt。

相應(yīng)四元數(shù)表示式為：

滿足約束條件

以超復(fù)數(shù)形式表示有：

滿足約束條件

利用三角公式：

可將四元數(shù)轉(zhuǎn)化成姿態(tài)矩陣 b系到R系

可將四元數(shù)轉(zhuǎn)化成姿態(tài)矩陣 R系到b系

Tips：R系是一種用于描述空間中點(diǎn)位置的導(dǎo)航坐標(biāo)系，其中的坐標(biāo)值表示相對于地球的位置。b系是一種用于描述載體（例如航空器、船舶等）位置的坐標(biāo)系，其中的坐標(biāo)值表示相對于載體的位置。

3. Matlabe四元數(shù)轉(zhuǎn)方向余弦矩陣

API

function[y1,...,yN]=myfun(x1,...,xM)聲明名為myfun的函數(shù)，該函數(shù)接受輸入x1,...,xM并返回輸出y1,...,yN

q2mat(),qua2dcm(),quat2dcm()將四元數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣

4.C語言實(shí)現(xiàn)四元數(shù)轉(zhuǎn)方向余弦矩陣

基于 QMI8658 姿態(tài)傳感器實(shí)現(xiàn)四元數(shù)轉(zhuǎn)換為方向余弦矩陣的過程如下：

STEP1: 根據(jù)傳感器獲取到的四元數(shù)數(shù)據(jù)，我們可以得到四元數(shù)的四個分量：q0、q1、q2、q3。

STEP2: 我們可以根據(jù)四元數(shù)的定義，將其轉(zhuǎn)換為方向余弦矩陣。具體的轉(zhuǎn)換公式如下：

| C11  C12  C13 |
| C21  C22  C23 |
| C31  C32  C33 |
其中，C11、C12、C13、C21、C22、C23、C31、C32、C33 
分別表示方向余弦矩陣的九個元素。

STEP3: 我們可以通過串口將獲取到的四元數(shù)和方向余弦矩陣輸出。

以下是基于 QMI8658 姿態(tài)傳感器獲取到的靜止放置在水平面，Z軸向上的四元數(shù)和方向余弦矩陣數(shù)據(jù)：

我可以使用Wolfram Alpha計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算和校驗(yàn)，并給出結(jié)果。

審核編輯：劉清