如何計(jì)算transformer模型的參數(shù)量

1. 前言

最近，OpenAI推出的ChatGPT展現(xiàn)出了卓越的性能，引發(fā)了大規(guī)模語言模型(Large Language Model,LLM)的研究熱潮。大規(guī)模語言模型的“大”體現(xiàn)在兩個(gè)方面：模型參數(shù)規(guī)模大，訓(xùn)練數(shù)據(jù)規(guī)模大。以GPT3為例，GPT3的參數(shù)量為1750億，訓(xùn)練數(shù)據(jù)量達(dá)到了570GB。進(jìn)而，訓(xùn)練大規(guī)模語言模型面臨兩個(gè)主要挑戰(zhàn)：顯存效率和計(jì)算效率。

現(xiàn)在業(yè)界的大語言模型都是基于transformer模型的，模型結(jié)構(gòu)主要有兩大類：encoder-decoder（代表模型是T5）和decoder-only，具體的，decoder-only結(jié)構(gòu)又可以分為Causal LM（代表模型是GPT系列）和PrefixLM（代表模型是GLM）。歸因于GPT系列取得的巨大成功，大多數(shù)的主流大語言模型都采用Causal LM結(jié)構(gòu)。因此，針對decoder-only框架，為了更好地理解訓(xùn)練訓(xùn)練大語言模型的顯存效率和計(jì)算效率，本文分析采用decoder-only框架transformer模型的模型參數(shù)量、計(jì)算量、中間激活值、KV cache。

為了方便分析，先定義好一些數(shù)學(xué)符號。記transformer模型的層數(shù)為?，隱藏層維度為?，注意力頭數(shù)為?。詞表大小為?，訓(xùn)練數(shù)據(jù)的批次大小為?，序列長度為?。

2. 模型參數(shù)量

transformer模型由個(gè)相同的層組成，每個(gè)層分為兩部分：self-attention塊和MLP塊。

self-attention塊的模型參數(shù)有?的權(quán)重矩陣和偏置，輸出權(quán)重矩陣??和偏置，4個(gè)權(quán)重矩陣的形狀為?，4個(gè)偏置的形狀為?。self- attention塊的參數(shù)量為?。

MLP塊由2個(gè)線性層組成，一般地，第一個(gè)線性層是先將維度從?映射到，第二個(gè)線性層再將維度從映射到。第一個(gè)線性層的權(quán)重矩陣?的形狀為?，偏置的形狀為?。第二個(gè)線性層權(quán)重矩陣?的形狀為?，偏置形狀為?。MLP塊的參數(shù)量為?。

self-attention塊和MLP塊各有一個(gè)layer normalization，包含了2個(gè)可訓(xùn)練模型參數(shù)：縮放參數(shù)?和平移參數(shù)?，形狀都是?。2個(gè)layernormalization的參數(shù)量為??。

總的，每個(gè)transformer層的參數(shù)量為?。

除此之外，詞嵌入矩陣的參數(shù)量也較多，詞向量維度通常等于隱藏層維度，詞嵌入矩陣的參數(shù)量為?。最后的輸出層的權(quán)重矩陣通常與詞嵌入矩陣是參數(shù)共享的。

關(guān)于位置編碼，如果采用可訓(xùn)練式的位置編碼，會(huì)有一些可訓(xùn)練模型參數(shù)，數(shù)量比較少。如果采用相對位置編碼，例如RoPE和ALiBi，則不包含可訓(xùn)練的模型參數(shù)。我們忽略這部分參數(shù)。

綜上，層transformer模型的可訓(xùn)練模型參數(shù)量為。當(dāng)隱藏維度??較大時(shí)，可以忽略一次項(xiàng)，?模型參數(shù)量近似為?。

接下來，我們估計(jì)不同版本LLaMA模型的參數(shù)量。

2.1 訓(xùn)練過程中的顯存占用分析

在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的過程中，占用顯存的大頭主要分為四部分：模型參數(shù)、前向計(jì)算過程中產(chǎn)生的中間激活、后向傳遞計(jì)算得到的梯度、優(yōu)化器狀態(tài)。這里著重分析參數(shù)、梯度和優(yōu)化器狀態(tài)的顯存占用，中間激活的顯存占用后面會(huì)詳細(xì)介紹。訓(xùn)練大模型時(shí)通常會(huì)采用AdamW優(yōu)化器，并用混合精度訓(xùn)練來加速訓(xùn)練，基于這個(gè)前提分析顯存占用。

在一次訓(xùn)練迭代中，每個(gè)可訓(xùn)練模型參數(shù)都會(huì)對應(yīng)1個(gè)梯度，并對應(yīng)2個(gè)優(yōu)化器狀態(tài)（Adam優(yōu)化器梯度的一階動(dòng)量和二階動(dòng)量）。設(shè)模型參數(shù)量為?，那么梯度的元素?cái)?shù)量為?，AdamW優(yōu)化器的元素?cái)?shù)量為。float16數(shù)據(jù)類型的元素占2個(gè)bytes，float32數(shù)據(jù)類型的元素占4個(gè)bytes。在混合精度訓(xùn)練中，會(huì)使用float16的模型參數(shù)進(jìn)行前向傳遞和后向傳遞，計(jì)算得到float16的梯度；在優(yōu)化器更新模型參數(shù)時(shí)，會(huì)使用float32的優(yōu)化器狀態(tài)、float32的梯度、float32的模型參數(shù)來更新模型參數(shù)。因此，對于每個(gè)可訓(xùn)練模型參數(shù)，占用了。使用AdamW優(yōu)化器和混合精度訓(xùn)練來訓(xùn)練參數(shù)量為?的大模型，?模型參數(shù)、梯度和優(yōu)化器狀態(tài)占用的顯存大小為?。

2.2 推理過程中的顯存占用分析

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的推理階段，沒有優(yōu)化器狀態(tài)和梯度，也不需要保存中間激活。少了梯度、優(yōu)化器狀態(tài)、中間激活，模型推理階段占用的顯存要遠(yuǎn)小于訓(xùn)練階段。模型推理階段，占用顯存的大頭主要是模型參數(shù)，如果使用float16來進(jìn)行推理，推理階段模型參數(shù)占用的顯存大概是?。如果使用KVcache來加速推理過程，?KV cache也需要占用顯存，KVcache占用的顯存下文會(huì)詳細(xì)介紹。此外，輸入數(shù)據(jù)也需要放到GPU上，還有一些中間結(jié)果（推理過程中的中間結(jié)果用完會(huì)盡快釋放掉），不過這部分占用的顯存是很小的，可以忽略。

3. 計(jì)算量FLOPs估計(jì)

FLOPs，floating point operations，表示浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算次數(shù)，衡量了計(jì)算量的大小。

如何計(jì)算矩陣乘法的FLOPs呢？

對于?，計(jì)算??需要進(jìn)行??次乘法運(yùn)算和??次加法運(yùn)算，共計(jì)??次浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，需要??的FLOPs。對于??，計(jì)算??需要的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算次數(shù)為??。

在一次訓(xùn)練迭代中，假設(shè)輸入數(shù)據(jù)的形狀為?。我們?先分析self-attention塊的計(jì)算，計(jì)算公式如下：

1. 計(jì)算?：矩陣乘法的輸入和輸出形狀為。計(jì)算量為。

2.?矩陣乘法的輸入和輸出形狀為

。計(jì)算量為??。

3. 計(jì)算在?上的加權(quán)??，矩陣乘法的輸入和輸出形狀為。計(jì)算量為??。

4. attention后的線性映射，矩陣乘法的輸入和輸出形狀為。計(jì)算量為??。

接下來分析MLP塊的計(jì)算，計(jì)算公式如下：

1. 第一個(gè)線性層，矩陣乘法的輸入和輸出形狀為。計(jì)算量為??。

2. 第二個(gè)線性層，矩陣乘法的輸入和輸出形狀為。計(jì)算量為??。

將上述計(jì)算量相加，得到每個(gè)transformer層的計(jì)算量大約為?。

此外，另一個(gè)計(jì)算量的大頭是logits的計(jì)算，將隱藏向量映射為詞表大小。矩陣乘法的輸入和輸出形狀為，計(jì)算量為??。

因此，對于一個(gè)?層的transformer模型，輸入數(shù)據(jù)形狀為?的情況下，一次訓(xùn)練迭代的計(jì)算量為。

3.1 計(jì)算量與參數(shù)量的關(guān)聯(lián)

當(dāng)隱藏維度?比較大，且遠(yuǎn)大于序列長度?時(shí)，我們可以忽略一次項(xiàng)，計(jì)算量可以近似為?。前面提到當(dāng)模型參數(shù)量為?，輸入的tokens數(shù)為?，存在等式。我們可以近似認(rèn)為：?在一次前向傳遞中，對于每個(gè)token，每個(gè)模型參數(shù)，需要進(jìn)行2次浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，即一次乘法法運(yùn)算和一次加法運(yùn)算。

一次訓(xùn)練迭代包含了前向傳遞和后向傳遞，后向傳遞的計(jì)算量是前向傳遞的2倍。因此，前向傳遞 + 后向傳遞的系數(shù)。一次訓(xùn)練迭代中，對于每個(gè)token，每個(gè)模型參數(shù)，需要進(jìn)行?次浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算。

接下來，我們可以估計(jì)訓(xùn)練GPT3-175B所需要的計(jì)算量。對于GPT3，每個(gè)token，每個(gè)參數(shù)進(jìn)行了6次浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，再乘以參數(shù)量和總tokens數(shù)就得到了總的計(jì)算量。GPT3的模型參數(shù)量為?，訓(xùn)練數(shù)據(jù)量為??tokens。

3.2 訓(xùn)練時(shí)間估計(jì)

模型參數(shù)量和訓(xùn)練總tokens數(shù)決定了訓(xùn)練transformer模型需要的計(jì)算量。給定硬件GPU類型的情況下，可以估計(jì)所需要的訓(xùn)練時(shí)間。給定計(jì)算量，訓(xùn)練時(shí)間（也就是GPU算完這么多flops的計(jì)算時(shí)間）不僅跟GPU類型有關(guān)，還與GPU利用率有關(guān)。計(jì)算端到端訓(xùn)練的GPU利用率時(shí)，不僅要考慮前向傳遞和后向傳遞的計(jì)算時(shí)間，還要**考慮CPU加載數(shù)據(jù)、優(yōu)化器更新、多卡通信和記錄日志的時(shí)間。一般來講，GPU利用率一般在之間。

上文講到一次前向傳遞中，對于每個(gè)token，每個(gè)模型參數(shù)，進(jìn)行2次浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算。使用激活重計(jì)算技術(shù)來減少中間激活顯存（下文會(huì)詳細(xì)介紹）需要進(jìn)行一次額外的前向傳遞，因此前向傳遞+ 后向傳遞 + 激活重計(jì)算的系數(shù)=1+2+1=4。使用激活重計(jì)算的一次訓(xùn)練迭代中，對于每個(gè)token，每個(gè)模型參數(shù)，需要進(jìn)行?次浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算。在給定訓(xùn)練tokens數(shù)、硬件環(huán)境配置的情況下，訓(xùn)練transformer模型的計(jì)算時(shí)間為：

以GPT3-175B為例，在1024張40GB顯存的A100上，在300Btokens的數(shù)據(jù)上訓(xùn)練175B參數(shù)量的GPT3。40GB顯存A100的峰值性能為312TFLOPS，設(shè)GPU利用率為0.45，則所需要的訓(xùn)練時(shí)間為34天，這與[7]中的訓(xùn)練時(shí)間是對得上的。

以LLaMA-65B為例，在2048張80GB顯存的A100上，在1.4TBtokens的數(shù)據(jù)上訓(xùn)練了65B參數(shù)量的模型。80GB顯存A100的峰值性能為624TFLOPS，設(shè)GPU利用率為0.3，則所需要的訓(xùn)練時(shí)間為21天，這與[4]中的實(shí)際訓(xùn)練時(shí)間是對得上的。

4. 中間激活值分析

除了模型參數(shù)、梯度、優(yōu)化器狀態(tài)外，占用顯存的大頭就是前向傳遞過程中計(jì)算得到的中間激活值了，需要保存中間激活以便在后向傳遞計(jì)算梯度時(shí)使用。這里的激活（activations）指的是：前向傳遞過程中計(jì)算得到的，并在后向傳遞過程中需要用到的所有張量。這里的激活不包含模型參數(shù)和優(yōu)化器狀態(tài)，但包含了dropout操作需要用到的mask矩陣。

在分析中間激活的顯存占用時(shí)，只考慮激活占用顯存的大頭，忽略掉一些小的buffers。比如，對于layernormalization，計(jì)算梯度時(shí)需要用到層的輸入、輸入的均值?和方差?。輸入包含了?個(gè)元素，而輸入的均值和方差分別包含了?個(gè)元素。由于?通常是比較大的（千數(shù)量級），有??。因此，對于layernormalization，中間激活近似估計(jì)為??，而不是?。

大模型在訓(xùn)練過程中通常采用混合精度訓(xùn)練，中間激活值一般是float16或者bfloat16數(shù)據(jù)類型的。在分析中間激活的顯存占用時(shí)，假設(shè)中間激活值是以float16或bfloat16數(shù)據(jù)格式來保存的，每個(gè)元素占了2個(gè)bytes。唯一例外的是，dropout操作的mask矩陣，每個(gè)元素只占1個(gè)bytes。在下面的分析中，單位是bytes，而不是元素個(gè)數(shù)。

每個(gè)transformer層包含了一個(gè)self-attention塊和MLP塊，并分別對應(yīng)了一個(gè)layer normalization連接。

先分析self-attention塊的中間激活。self-attention塊的計(jì)算公式如下：

1. 對于?，需要保存它們共同的輸入?，這就是中間激活。輸入?的形狀為?，元素個(gè)數(shù)為?，占用顯存大小為?。

2. 對于?矩陣乘法，需要保存中間激活?，兩個(gè)張量的形狀都是?，占用顯存大小合計(jì)為?。

3. 對于函數(shù)，需要保存函數(shù)的輸入??，占用顯存大小為?，這里的?表示注意力頭數(shù)。

?的形狀為：?

?的形狀為：

?的形狀為：，元素個(gè)數(shù)為??，占用顯存大小為?。

4. 計(jì)算完函數(shù)后，會(huì)進(jìn)行dropout操作。需要保存一個(gè)mask矩陣，mask矩陣的形狀與?相同，占用顯存大小為?。

5. 計(jì)算在?上的attention，即??，需要保存?，大小為?；以及?，大小為?。二者占用顯存大小合計(jì)為?。

6. 計(jì)算輸出映射以及一個(gè)dropout操作。輸入映射需要保存其輸入，大小為?；dropout需要保存mask矩陣，大小為?。二者占用顯存大小合計(jì)為?。

因此，將上述中間激活相加得到，self-attention塊的中間激活占用顯存大小為?。

接下來看MLP塊的中間激活。MLP塊的計(jì)算公式如下：

1. 第一個(gè)線性層需要保存其輸入，占用顯存大小為?。

2. 激活函數(shù)需要保存其輸入，占用顯存大小為?。

3. 第二個(gè)線性層需要保存其輸入，占用顯存大小為?。

4. 最后有一個(gè)dropout操作，需要保存mask矩陣，占用顯存大小為?。

對于MLP塊，需要保存的中間激活值為?。

另外，self-attention塊和MLP塊分別對應(yīng)了一個(gè)layer normalization。每個(gè)layer norm需要保存其輸入，大小為?。2個(gè)layer norm需要保存的中間激活為?。

綜上，每個(gè)transformer層需要保存的中間激活占用顯存大小為?。對于層transformer模型，還有embedding層、最后的輸出層。embedding層不需要中間激活?？偟亩?，當(dāng)隱藏維度?比較大，層數(shù)?較深時(shí)，這部分的中間激活是很少的，可以忽略。因此，對于?層transformer模型，中間激活占用的顯存大小可以近似為。

4.1 對比中間激活與模型參數(shù)的顯存大小

在一次訓(xùn)練迭代中，模型參數(shù)（或梯度）占用的顯存大小只與模型參數(shù)量和參數(shù)數(shù)據(jù)類型有關(guān)，與輸入數(shù)據(jù)的大小是沒有關(guān)系的。優(yōu)化器狀態(tài)占用的顯存大小也是一樣，與優(yōu)化器類型有關(guān)，與模型參數(shù)量有關(guān)，但與輸入數(shù)據(jù)的大小無關(guān)。而中間激活值與輸入數(shù)據(jù)的大小（批次大小?和序列長度?）是成正相關(guān)的，隨著批次大小?和序列長度的增大，中間激活占用的顯存會(huì)同步增大。當(dāng)我們訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遇到顯存不足OOM（Out OfMemory）問題時(shí)，通常會(huì)嘗試減小批次大小來避免顯存不足的問題，這種方式減少的其實(shí)是中間激活占用的顯存，而不是模型參數(shù)、梯度和優(yōu)化器的顯存。

以GPT3-175B為例，我們來直觀地對比下模型參數(shù)與中間激活的顯存大小。GPT3的模型配置如下。我們假設(shè)采用混合精度訓(xùn)練，模型參數(shù)和中間激活都采用float16數(shù)據(jù)類型，每個(gè)元素占2個(gè)bytes。

GPT3的模型參數(shù)量為175B，占用的顯存大小為。GPT3模型需要占用350GB的顯存。

GPT3的序列長度?為?。對比不同的批次大小?占用的中間激活：

當(dāng)?時(shí)，中間激活占用顯存為，大約是模型參數(shù)顯存的0.79倍。

當(dāng)?時(shí)，中間激活占用顯存為，大約是模型參數(shù)顯存的50倍。

當(dāng)?時(shí)，中間激活占用顯存為

，大約是模型參數(shù)顯存的101倍。

可以看到隨著批次大小的增大，中間激活占用的顯存遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了模型參數(shù)顯存。通常會(huì)采用?激活重計(jì)算技術(shù)來減少中間激活，理論上可以將中間激活顯存從?減少到，代價(jià)是增加了一次額外前向計(jì)算的時(shí)間，本質(zhì)上是“時(shí)間換空間”。

5. KV cache

在推斷階段，transformer模型加速推斷的一個(gè)常用策略就是使用 KV cache。一個(gè)典型的大模型生成式推斷包含了兩個(gè)階段：

1.預(yù)填充階段：輸入一個(gè)prompt序列，為每個(gè)transformer層生成 key cache和value cache（KV cache）。

2.解碼階段：使用并更新KV cache，一個(gè)接一個(gè)地生成詞，當(dāng)前生成的詞依賴于之前已經(jīng)生成的詞。

第?個(gè)transformer層的權(quán)重矩陣為。其中，self-attention塊的4個(gè)權(quán)重矩陣?，并且MLP塊的2個(gè)權(quán)重矩陣?。

預(yù)填充階段

假設(shè)第?個(gè)transformer層的輸入為?，self-attention塊的key、value、query和output表示為，其中，?。

key cache和value cache的計(jì)算過程為：

第?個(gè)transformer層剩余的計(jì)算過程為：

解碼階段

給定當(dāng)前生成詞在第?個(gè)transformer層的向量表示為。推斷計(jì)算分兩部分：更新KV cache和計(jì)算第?個(gè)transformer層的輸出。

更新key cache和value cache的計(jì)算過程如下：

第?個(gè)transformer層剩余的計(jì)算過程為：

5.1 KV cache的顯存占用分析

假設(shè)輸入序列的長度為?，輸出序列的長度為?，以float16來保存KV cache，那么?KVcache的峰值顯存占用大小為。這里第一個(gè)2表示K/V cache，第二個(gè)2表示float16占2個(gè)bytes。

以GPT3為例，對比KV cache與模型參數(shù)占用顯存的大小。GPT3模型占用顯存大小為350GB。假設(shè)批次大小?，輸入序列長度?，輸出序列長度?，則KV cache占用顯存為，大約是模型參數(shù)顯存的0.5倍。

6. 總結(jié)

本文首先介紹了如何計(jì)算transformer模型的參數(shù)量，基于參數(shù)量可以進(jìn)一步估計(jì)模型參數(shù)、梯度和優(yōu)化器狀態(tài)占用的顯存大小。接著，本文估計(jì)了訓(xùn)練迭代中，在給定訓(xùn)練tokens數(shù)的情況下transformer模型的計(jì)算量，給予計(jì)算量和顯卡性能可以進(jìn)一步估計(jì)訓(xùn)練迭代的計(jì)算耗時(shí)。然后，本文分析了transformer模型前向計(jì)算過程中產(chǎn)生的中間激活值的顯存大小，中間激活的顯存大小與輸入數(shù)據(jù)大小正相關(guān)，甚至?xí)h(yuǎn)超過模型參數(shù)占用的顯存。最后，本文介紹了transformer模型推理過程常用的加速策略：使用KVcache?？偟膩碚f，分析transformer模型的參數(shù)量、計(jì)算量、中間激活和KV cache，有助于理解大模型訓(xùn)練和推斷過程中的顯存效率和計(jì)算效率。