深入淺出的學(xué)習(xí)傅里葉變換

事實(shí)上，傅里葉變換的相關(guān)運(yùn)算已經(jīng)非常成熟，有現(xiàn)成函數(shù)可以調(diào)用。對(duì)于絕大部分只需用好傅里葉變換的同學(xué)，重要的不是去記那些枯燥的公式，而是解傅里葉變換的含義及意義。

本文試圖不用一個(gè)數(shù)學(xué)公式，采用較為通俗的語(yǔ)言深入淺出的闡述傅里葉變換的含義、意義及方法，希望大家可以更加親近傅里葉變換，用好傅里葉變換。

一、偉大的傅里葉、偉大的爭(zhēng)議！

1807年，39歲的法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉于法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上展示了一篇論文（此時(shí)不能算發(fā)表，該論文要到21年之后發(fā)表），論文中有個(gè)在當(dāng)時(shí)極具爭(zhēng)議的論斷：“任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€(xiàn)組合而成”。

這篇論文，引起了法國(guó)另外兩位著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯和拉格朗日的極度關(guān)注！

傅里葉、拉普拉斯和拉格朗日

58歲的拉普拉斯贊成傅里葉的觀點(diǎn)。

71歲的拉格朗日（貌似現(xiàn)在的院士，不用退休）則反對(duì)，反對(duì)的理由是“正弦曲線(xiàn)無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)”。屈服于朗格朗日的威望，該論文直到朗格朗日去世后的第15年才得以發(fā)表。

之后的科學(xué)家證明：傅里葉和拉格朗日都是對(duì)的！

有限數(shù)量的正弦曲線(xiàn)的確無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)，然而，無(wú)限數(shù)量的正弦曲線(xiàn)的組合從能量的角度可以非常無(wú)限逼近帶有棱角的信號(hào)。

二、傅里葉變換的定義

后人將傅里葉的論斷進(jìn)行了擴(kuò)展：滿(mǎn)足一定條件的函數(shù)可以表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線(xiàn)性組合。如何得到這個(gè)線(xiàn)性組合呢？這就需要傅里葉變換。

一定條件是什么呢？

這是數(shù)學(xué)家研究的問(wèn)題，對(duì)于大多數(shù)搞電參量測(cè)量的工程師而言，不必關(guān)注這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)?，電參量測(cè)量中遇到的周期信號(hào)，都滿(mǎn)足這個(gè)條件。

這樣，在電參量測(cè)量分析中，我們可以用更通俗的話(huà)來(lái)描述傅里葉變換：

任意周期信號(hào)可以分解為直流分量和一組不同幅值、頻率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里葉變換。

并且，這些正弦波的頻率符合一個(gè)規(guī)律：是某個(gè)頻率的整數(shù)倍。這個(gè)頻率，就稱(chēng)為基波頻率，而其它頻率稱(chēng)為諧波頻率。如果諧波的頻率是基波頻率的N倍，就稱(chēng)為N次諧波。直流分量的頻率為零，是基波頻率的零倍，也可稱(chēng)零次諧波。

三、傅里葉變換的意義

1、為什么要進(jìn)行傅里葉變換呢？

傅里葉變換是描述信號(hào)的需要。

只要能反映信號(hào)的特征，描述方法越簡(jiǎn)單越好！

信號(hào)特征可以用特征值進(jìn)行量化。

所謂特征值，是指可以定量描述一個(gè)波形的某種特征的數(shù)值。全面描述一個(gè)波形，可能需要多個(gè)特征值。

比如說(shuō)：正弦波可以用幅值和頻率兩個(gè)特征值全面描述；方波可以用幅值、頻率和占空比三個(gè)特征值全面描述（單個(gè)周期信號(hào)不考慮相位）。

上述特征值，我們可以通過(guò)示波器觀測(cè)實(shí)時(shí)波形獲取，稱(chēng)為時(shí)域分析法。事實(shí)上，許多人都習(xí)慣于時(shí)域分析法，想要了解一個(gè)信號(hào)時(shí)，一定會(huì)說(shuō)：“讓我看看波形！”

可是，除了一些常見(jiàn)的規(guī)則信號(hào)，許多時(shí)候，給你波形看，你也看不明白！

復(fù)雜的不講，看看下面這個(gè)波形，能看出道道嗎？

我們能看到的僅僅是一個(gè)類(lèi)似正弦波的波形，其幅值在按照一定的規(guī)律變化。

如何記載這個(gè)波形的信息呢？尤其是量化的記載！

很難！

事實(shí)上，上述波形采用傅里葉變換后，就是一個(gè)50Hz的正弦波上疊加一個(gè)40Hz的正弦波，兩者幅度不同，40Hz的幅度越大，波動(dòng)幅度就越大，而波動(dòng)的頻率就是兩者的差頻10Hz（三相異步電動(dòng)機(jī)疊頻溫升試驗(yàn)時(shí)的電流波形）。

再看一個(gè)看似簡(jiǎn)單的波形：

這個(gè)波形有點(diǎn)像正弦波，但是，比正弦波尖，俗稱(chēng)“尖頂波”，多見(jiàn)于變壓器空載電流輸入波形。

我們很難準(zhǔn)確定量其與正弦波的區(qū)別。

采用傅里葉變換后，得到下述頻譜（幅值譜）：

主要包括3、5、7、9次諧波，一目了然！

傅里葉變換是一種信號(hào)分析方法，讓我們對(duì)信號(hào)的構(gòu)成和特點(diǎn)進(jìn)行深入的、定量的研究。把信號(hào)通過(guò)頻譜的方式（包括幅值譜、相位譜和功率譜）進(jìn)行準(zhǔn)確的、定量的描述。

這就是傅里葉變換的主要目的。

現(xiàn)在，我們知道傅里葉變換的目的了，剩下的問(wèn)題是：

2、為什么傅里葉變換要把信號(hào)分解為正弦波的組合，而不是方波或三角波？

其實(shí)，如果張三能夠證明， 任意信號(hào)可以分解為方波的組合，其分解的方法不妨稱(chēng)為張三變換；李四能夠證明，任意信號(hào)可以分解為三角波的組合，其分解的方法也可以稱(chēng)為李四變換。

傅里葉變換是一種信號(hào)分析的方法。既然是分析方法，其目的應(yīng)該是把問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單，而不是變得更復(fù)雜。傅里葉選擇了正弦波，沒(méi)有選擇方波或其它波形，正好是其偉大之處！

正弦波有個(gè)其它任何波形（恒定的直流波形除外）所不具備的特點(diǎn)：正弦波輸入至任何線(xiàn)性系統(tǒng)，出來(lái)的還是正弦波，改變的僅僅是幅值和相位，即：正弦波輸入至線(xiàn)性系統(tǒng)，不會(huì)產(chǎn)生新的頻率成分（非線(xiàn)性系統(tǒng)如變頻器，就會(huì)產(chǎn)生新的頻率成分，稱(chēng)為諧波）。用單位幅值的不同頻率的正弦波輸入至某線(xiàn)性系統(tǒng)，記錄其輸出正弦波的幅值和頻率的關(guān)系，就得到該系統(tǒng)的幅頻特性，記錄輸出正弦波的相位和頻率的關(guān)系，就得到該系統(tǒng)的相頻特性。

線(xiàn)性系統(tǒng)是自動(dòng)控制研究的主要對(duì)象，線(xiàn)性系統(tǒng)具備一個(gè)特點(diǎn)，多個(gè)正弦波疊加后輸入至一個(gè)系統(tǒng)，輸出是所有正弦波獨(dú)立輸入時(shí)對(duì)應(yīng)輸出的疊加。

也就是說(shuō)，我們只要研究正弦波的輸入輸出關(guān)系，就可以知道該系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)的響應(yīng)。

這就是傅里葉變換的最主要的意義！

四、如何求傅里葉變換？

文章開(kāi)始就說(shuō)了，具體求傅里葉變換，有成熟的函數(shù)可供調(diào)用。本文只講述如何理解傅里葉變換的思想。如果你掌握了這個(gè)思想，不用再記公式，也不用去調(diào)用什么函數(shù)，自己編個(gè)簡(jiǎn)單程序就可實(shí)現(xiàn)。就算你不會(huì)編程，只要你學(xué)過(guò)三角函數(shù)，至少可以理解傅里葉變換的過(guò)程。

傅里葉的偉大之處不在于如何進(jìn)行傅里葉變換，而是在于給出了“任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€(xiàn)組合而成”這一偉大的論斷。

知道了這一論斷，只要知道正弦函數(shù)的基本特性，變換并不難，不要記公式，你也能實(shí)現(xiàn)傅里葉變換！

正弦函數(shù)有一個(gè)特點(diǎn)，叫做正交性，所謂正交性，是指任意兩個(gè)不同頻率的正弦波的乘積，在兩者的公共周期內(nèi)的積分等于零。

這是一個(gè)非常有用的特性，我們可以利用這個(gè)特性設(shè)計(jì)一個(gè)如下的檢波器（下稱(chēng)檢波器A）：

檢波器A由一個(gè)乘法器和一個(gè)積分器構(gòu)成，乘法器的一個(gè)輸入為已知頻率f的單位幅值正弦波（下稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f），另一個(gè)輸入為待變換的信號(hào)。檢波器A的輸出只與待變換信號(hào)中的頻率為f的正弦分量的幅值和相位有關(guān)。

傅里葉變換檢波器A

待變換信號(hào)可能包含頻率為f的分量（下稱(chēng)f分量），也可能不包含f分量，總之，可能包含各種頻率分量。一句話(huà)，待變換信號(hào)是未知的，并且可能很復(fù)雜！

沒(méi)關(guān)系，我們先看看，待變換信號(hào)是否包含f分量。

因?yàn)槠渌l率分量與標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f的乘積的積分都等于零，檢波器A可以當(dāng)它們不存在！經(jīng)過(guò)檢波器A，輸出就只剩下與f分量有關(guān)的一個(gè)量，這個(gè)量等于待變換信號(hào)中f分量與標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f的乘積的積分。

很容易得到的結(jié)論是：

如果輸出不等于零，就說(shuō)明輸入信號(hào)包含f分量！

這個(gè)輸出是否就是f分量呢？

答案：不一定！

正弦波還有下述的特性：

相同頻率的正弦波，當(dāng)相位差為90°時(shí)（正交），在一個(gè)周期內(nèi)的乘積的積分值等于零；當(dāng)相位相同時(shí)，積分值達(dá)到最大，等于兩者的有效值的乘積，當(dāng)相位相反時(shí)，積分值達(dá)到最小，等于兩者的有效值的乘積取反。

我們知道標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f的初始相位為零，但是，我們不知道f分量的初始相位！如果f分量與標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f的相位剛好差90°（或270°），檢波器A輸出也等于零！為此，我們?cè)僭O(shè)計(jì)一個(gè)檢波器B：

檢波器B與檢波器A的不同之處在于檢波器B用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)余弦信號(hào)f（與標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)A相位差90°）替代濾波器A中的標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f。如果待變換信號(hào)中包含f分量，檢波器A和檢波器B至少有一個(gè)輸出不等于零。

傅里葉變換檢波器B

利用三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)可以證明，不論f分量的初始相位如何，檢波器A和檢波器B輸出信號(hào)的幅值的方和根就等于f分量的幅值；而檢波器B和檢波器A的幅值的比值等于f分量初始相位的正切，如此如此……即可求出f分量的相位。

我們?cè)侔褬?biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f和標(biāo)準(zhǔn)余弦信號(hào)f的頻率替換成我們關(guān)心的任意頻率，就可以得到輸入信號(hào)的各種頻率成分。如果知道輸入信號(hào)的頻率，把這個(gè)頻率作為基波頻率f0，用f0、2f0、3f0依次替代標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)f和標(biāo)準(zhǔn)余弦信號(hào)f的頻率，就可以得到輸入信號(hào)的基波、2次諧波和3次諧波。

這就是傅里葉變換！

什么？不會(huì)積分？

沒(méi)有關(guān)系，實(shí)際上，在諧波檢測(cè)儀、電能質(zhì)量分析儀等各類(lèi)電參量測(cè)量?jī)x器中，現(xiàn)在用的都是基于交流采樣的離散傅里葉變換，在離散信號(hào)處理中，累加就是積分！

傅里葉變換就是這么簡(jiǎn)單，您學(xué)會(huì)了嗎？

審核編輯：湯梓紅