FIR濾波器在信號(hào)處理和通信系統(tǒng)中的應(yīng)用

FIR濾波器在信號(hào)處理和通信系統(tǒng)中有著極為廣泛的應(yīng)用，全稱是有限長單位沖擊響應(yīng)濾波器。

FIR濾波器的缺點(diǎn)是運(yùn)算量大，但結(jié)合目前的芯片技術(shù)，FPGA自然不必說，可以非常靈活的設(shè)計(jì)很高階次的并行結(jié)構(gòu)，ASIC和GPU都是高密度的流水線型DSP處理，對(duì)于FIR所要求的高運(yùn)算能力，自然是不在話下。另一個(gè)缺點(diǎn)在于對(duì)于低頻信號(hào)處理顯得有一些力不從心。

FIR濾波器的優(yōu)點(diǎn)在于階次可以做的很高，并且很容易得到各種各樣期望是的響應(yīng)曲線，很靈活，并且通過調(diào)整窗函數(shù)，可以得到很好的濾波效果。

FIR濾波器可以說是和卷積相當(dāng)緊密的聯(lián)系在一起的，可以說FIR是完全依托于卷積的概念而生的一種濾波器。并且由于傅里葉前輩的貢獻(xiàn)，我們可以很簡單的用FFT來計(jì)算大長度的FIR，也因此在通信系統(tǒng)的信號(hào)處理中隨處可見FIR的身影。

濾波

想要把一個(gè)知識(shí)點(diǎn)發(fā)散出去，那就得對(duì)它認(rèn)識(shí)的足夠深刻。作為一個(gè)硬件工程師，對(duì)于濾波的概念再熟悉不過了，所謂濾波，就是濾掉不想要的雜波，留下我們想要的信號(hào)。

但是如果我不能給別人講出一點(diǎn)更深層次的東西，也辜負(fù)了別人關(guān)注我一番。從頻域上來講，信號(hào)是一個(gè)矢量，濾波的目的在于只保留這個(gè)矢量的某些分量，而濾掉其他分量，得到其在子空間內(nèi)的投影。

舉個(gè)簡單的例子，一階低通濾波。一階低通濾波是怎么實(shí)現(xiàn)的？在對(duì)輸入信號(hào)做了延時(shí)之后再疊加回去，就得到了濾波之后的結(jié)果。信號(hào)在時(shí)間上的延時(shí)就相當(dāng)于相位上的滯后，參照上圖的頻率響應(yīng)曲線。當(dāng)相位的滯后到了180°時(shí)，和原本的信號(hào)做疊加，得到的結(jié)果就是0，于是就被濾掉了。

把一階低通濾波抽象到離散系統(tǒng)中，采用數(shù)字的方式來實(shí)現(xiàn)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式是Y(n)=a*X(n)+(1-a)*Y(n-1)。這個(gè)結(jié)果在我大三的計(jì)算機(jī)控制課上有過詳細(xì)的推導(dǎo)過程，但我沒記住，自己推了半天也沒推出來，索性就直接放個(gè)結(jié)果吧。可以看到，一階低通濾波的本質(zhì)是把輸入信號(hào)和上一次的輸出信號(hào)做一個(gè)加權(quán)，通過調(diào)不同的加權(quán)系數(shù)來調(diào)整濾波器的帶寬。

數(shù)字濾波器可以認(rèn)為是直接用數(shù)學(xué)語言來對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，所以其使用和實(shí)現(xiàn)上與電路搭建的濾波器有著本質(zhì)的差別。例如上面的一階低通濾波，用程序?qū)崿F(xiàn)的話可以實(shí)現(xiàn)任意的帶寬設(shè)計(jì)，而用RC電路實(shí)現(xiàn)就會(huì)嚴(yán)重受限于器件的工藝。所以把濾波器引申到數(shù)字處理之后可以得到這樣的定義：濾波器的本質(zhì)是對(duì)頻率的加權(quán)疊加；和期望的響應(yīng)曲線做相關(guān)。這兩句話想不通也沒有關(guān)系，下面還會(huì)繼續(xù)介紹。

卷積

卷積對(duì)于工程學(xué)來講可以說是大廈的根基一般，往廣義了來講，可以說世界上一切都是卷積的結(jié)果。

上圖是卷積運(yùn)算的一個(gè)示意圖。那么卷積的物理意義是什么？我看到過很多很多的解釋，但回頭來看，這些解釋，懂得人看起來覺得說的沒問題，不懂的人還是看不懂。我這里舉一個(gè)例子來說明什么是卷積：小哪吒很皮，這天偷跑出去，在城里惹了禍，把別人家房子弄塌了，李靖給人賠禮道歉修房子，回到家打了小哪吒一頓，屁股腫了，過了兩天腫消下去了，沒多久又出去惹了禍，抽了敖丙的龍筋，老龍王找上門來，李靖氣的又打了他一頓，屁股又腫了，過了半小時(shí)，李靖氣沒消，又打了一頓，老龍王不依不饒，李靖沒辦法又打了一頓，屁股就腫的越來越高。

在這個(gè)例子里，小哪吒屁股腫的程度是最終的輸出結(jié)果，這個(gè)結(jié)果不是由李靖的某一巴掌所單獨(dú)決定的，而是這一天加起來挨的打所共同影響的結(jié)果。從最終的結(jié)果來講，第一巴掌的貢獻(xiàn)是最小的，最后一巴掌的貢獻(xiàn)是最大的。這就是加權(quán)疊加。而一巴掌的結(jié)果，隨著時(shí)間的推移，影響會(huì)逐漸消散，這是一個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的響應(yīng)。整個(gè)過程可以抽象為李靖打在哪吒屁股上的巴掌在經(jīng)過一階慣性環(huán)節(jié)之后，不同的輸入疊加，最終輸出的結(jié)果是哪吒現(xiàn)在屁股腫的程度。僅僅一巴掌，大概半小時(shí)就消下去了，但是由于李靖打的時(shí)間間隔縮小，當(dāng)無窮小時(shí)就是連續(xù)的積分，最終的結(jié)果是得好幾天才能消腫。

所以通俗地講：卷積就是在輸入信號(hào)的每一個(gè)位置（每一巴掌）處疊加一個(gè)單位響應(yīng)（半小時(shí)消腫），把每個(gè)位置得到的結(jié)果疊加就得到了輸出。對(duì)于離散系統(tǒng)來講，卷積的定義是

x(n-k)是依次的n個(gè)輸入，h(k)是每個(gè)輸入所對(duì)應(yīng)的權(quán)值。在濾波的應(yīng)用中，最簡單的就是移動(dòng)平均數(shù)的方式，對(duì)相鄰的幾個(gè)歷史值做平均加權(quán)。這一節(jié)最開始放的示意圖是圖像處理中常用的一種移動(dòng)平均的濾波方式。

見上圖，圖中有很多噪點(diǎn)，這些噪點(diǎn)很尖銳，屬于高頻噪聲，將圖像提取出來，做成矩陣之后，就可以采用卷積的概念，把每一個(gè)點(diǎn)的輸出和周圍8個(gè)點(diǎn)做平均，于是得到如下的結(jié)果

FIR濾波器

在理解了卷積的概念之后，F(xiàn)IR濾波器就變得順理成章。把系統(tǒng)響應(yīng)的函數(shù)換成我們所期望的函數(shù)，這樣卷積的過程就變成了FIR濾波器。我看到很多地方對(duì)濾波的定義是：用一個(gè)期望的頻率特征函數(shù)H(f)去乘以輸入信號(hào)頻率X(f)。對(duì)于這個(gè)解釋我理解了好久，為什么要用一個(gè)期望的函數(shù)去強(qiáng)行改變輸入頻率？但現(xiàn)在理解了之后，對(duì)這個(gè)解釋稍作修改之后應(yīng)該會(huì)變得容易理解很多：用一個(gè)期望的頻率響應(yīng)去乘以輸入信號(hào)，這就是濾波。

上圖是FIR的一個(gè)典型的結(jié)構(gòu)，是一個(gè)簡單的四階移動(dòng)平均的FIR濾波器。每次的輸出都是對(duì)4次歷史值的平均。下圖分別是經(jīng)過11階平均和51階平均的效果。

當(dāng)我們把平均值的響應(yīng)函數(shù)換成我們所期望的響應(yīng)函數(shù)，這樣就變成了我們想要的濾波器。我們?cè)O(shè)計(jì)濾波器的過程就是選擇FIR中各階輸入的權(quán)重值的過程。

FIR濾波器和FFT

濾波就是用一個(gè)期望的頻率響應(yīng)去乘以輸入信號(hào)的頻率，這個(gè)定義更明確一點(diǎn)來說是在頻域上對(duì)濾波概念的解釋，而在時(shí)域的解釋就是用我們所期望的響應(yīng)函數(shù)h(f)做iFFT之后的時(shí)域函數(shù)H(t)和輸入信號(hào)X(t)做卷積?？梢钥吹紽IR濾波器其實(shí)是遵循的濾波在時(shí)域上的定義。

傅里葉前輩不僅給我們指出，所有的信號(hào)都可以被分解為若干正弦波的疊加，同時(shí)還給出了我們時(shí)域頻域相互變換的方法，其中有一條相當(dāng)重要的結(jié)論就是：時(shí)域上的卷積等價(jià)于頻域上的乘積。因此對(duì)于FIR濾波器來講，我們只需要把輸入信號(hào)變換到頻域，再乘以我們期望的響應(yīng)函數(shù)，再逆變換到時(shí)域，就得到了濾波后的結(jié)果。

FIR濾波器的設(shè)計(jì)

在有了FFT的工具之后，我們就可以很方便的進(jìn)行FIR濾波器的設(shè)計(jì)。根據(jù)上面的說法，我們只需要給定所期望的特征函數(shù)h(f)，就可以得到結(jié)果，再逆變換回時(shí)域，算出不同tap的權(quán)值，就得到了時(shí)域上FIR的濾波器參數(shù)。

FIR濾波器的設(shè)計(jì)一般有窗函數(shù)法、頻率取樣法和優(yōu)選法。窗函數(shù)法由于其簡單直觀，應(yīng)用最多最廣泛。舉例說明窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)應(yīng)用。

假設(shè)我們要設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，在頻譜上的表示如上圖，F(xiàn)s是采樣率，在第一奈奎斯特區(qū)內(nèi)是低通的特性。所謂窗函數(shù)法就是加一個(gè)濾波器的窗口，如上圖所示，對(duì)于低通的特性，理想效果是一個(gè)矩形窗，低于截止頻率通，高于截止頻率不通。

假設(shè)我們所要設(shè)計(jì)的濾波器為128階，截止頻率是Fc，在頻譜上的表示就是Nc=Fc*(Fs/128)，然后得到期望的特征函數(shù)

在頻域上，用這個(gè)特征函數(shù)乘以信號(hào)，就得到了輸出的結(jié)果。我們用一個(gè)0Hz~Fs的chirp信號(hào)輸入濾波器來測(cè)試，這個(gè)chirp信號(hào)的頻譜就是一個(gè)矩形，得到的結(jié)果見下圖

可以看到128階FIR濾波器的邊沿還是非常陡的，有很好的濾波性能，但旁瓣的抑制很差，這個(gè)就是FIR濾波器在頻譜上的泄露。泄露是由于FFT只能處理有限時(shí)間長度的時(shí)域信號(hào)，如果時(shí)域截取的數(shù)據(jù)不是信號(hào)周期的整數(shù)倍，就會(huì)存在泄露。由于矩形窗的邊沿過于陡，只有很小的概率正好截取到信號(hào)周期的整數(shù)倍，因此泄露很嚴(yán)重?？梢酝ㄟ^選擇合適的窗函數(shù)，來減少頻譜上發(fā)生的泄露。一般常用的窗函數(shù)有矩形窗、漢寧窗和平頂窗，他們的特征如下圖所示

不同窗函數(shù)所對(duì)應(yīng)的結(jié)果看下圖

關(guān)于窗函數(shù)就不再介紹了，窗函數(shù)的選擇是FIR濾波器設(shè)計(jì)的重點(diǎn)，矩形窗的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算量小，其他的窗函數(shù)基本都是基于升余弦函數(shù)，漢寧窗屬于升余弦函數(shù)的一個(gè)特例。有興趣的大家自己可以去研究研究。

最后要說的一點(diǎn)是，F(xiàn)IR濾波器的階數(shù)越高，則邊沿越陡，運(yùn)算量越大。