通過減法和非減法抖動(dòng)減少量化失真

了解抖動(dòng)如何抑制諧波和非諧波雜散以及兩種不同類型的抖動(dòng)系統(tǒng)：減法和非減法拓?fù)洹?/h2>

量化小幅度信號(hào)會(huì)在量化誤差和輸入之間產(chǎn)生相關(guān)性，從而導(dǎo)致明顯的諧波分量。高頻諧波可以混疊回奈奎斯特間隔，其頻率可能是輸入的諧波，也可能不是輸入的諧波。

在本文中，我們將看到抖動(dòng)可以抑制諧波和非諧波雜散。我們還將介紹兩種不同類型的抖動(dòng)系統(tǒng)，即減法和非減法拓?fù)?，并了解每種類型的重要功能。

量化小信號(hào)時(shí)的高頻諧波

之前，我們討論過，即使是理想的模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）在對(duì)低幅度信號(hào)進(jìn)行數(shù)字化處理時(shí)也會(huì)產(chǎn)生諧波分量。例如，通過量化幅度為1.11

LSB（最低有效位）的0.75 kHz正弦波，我們可以在圖1的時(shí)域中得到以下波形。

***圖1. *顯示輸入和量化信號(hào)的圖。

在4 MHz處對(duì)量化信號(hào)（上面的紅色曲線）進(jìn)行采樣并獲取其FFT（快速傅里葉變換），我們得到下面的頻譜（圖2僅顯示DC至200 kHz范圍）。

圖2.f的輸出頻譜 s = 4 兆赫。

如本文第一部分所述，輸出頻譜中的諧波是量化操作的偽影。通過目視檢查，我們觀察到這些諧波在高達(dá)180

kHz的頻率下很容易辨別。為了產(chǎn)生上述曲線，我們故意使用遠(yuǎn)高于奈奎斯特采樣定理要求的采樣頻率。這種高采樣頻率使我們能夠獲得信號(hào)的真實(shí)頻譜，而不受有限采樣頻率的影響（就好像信號(hào)是未采樣的模擬信號(hào)一樣）。

量化低振幅信號(hào)引起的混疊效應(yīng)

如果我們使用較低的采樣率（例如40 kHz）來獲取輸出樣本會(huì)怎樣？根據(jù)奈奎斯特采樣準(zhǔn)則，40 kHz足以成功采樣和重建1.11 kHz正弦波。然而，類似方波的信號(hào)具有高達(dá)40 kHz和超過33 kHz的顯著諧波分量。例如，35次和36次諧波（63.38 kHz和85.<> kHz）略低于我們的新采樣頻率f s = 40 kHz（圖 3）。

圖3.f的放大光譜 s = 4 兆赫。

考慮到上述頻譜，40 kHz的采樣頻率實(shí)際上并不滿足奈奎斯特的采樣條件。因此，通過以40 kHz采樣，所有高于20 kHz的諧波都將混疊回奈奎斯特間隔，其頻率可能是也可能不是輸入的諧波。圖4顯示了采樣頻率為40 kHz時(shí)的輸出頻譜。

圖4.f的輸出頻譜 s = 40 kHz。

上述頻譜中有諧波和非諧波分量。從圖3可以看出，當(dāng)使用36 kHz采樣頻率時(shí)，我們預(yù)計(jì)63.38 kHz和85.3 kHz的分量將分別混疊回37.1 kHz和15.40 kHz。這些混疊分量如圖5所示，它提供了圍繞目標(biāo)頻率的輸出頻譜的放大版本。

***圖5. *圍繞感興趣頻率的輸出頻譜的放大版本。

在信號(hào)中添加抖動(dòng)噪聲可以破壞量化誤差和輸入之間的相關(guān)性，從而消除量化失真。因此，當(dāng)使用40 kHz采樣頻率和抖動(dòng)時(shí)，我們預(yù)計(jì)諧波和非諧波分量將消失。為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，我們?cè)诹炕跋蜉斎胩砑尤切畏植嫉脑肼?，然后?0 kHz采樣。三角形抖動(dòng) PDF（概率密度函數(shù)）的寬度取為 2 LSB。在這種情況下，獲得以下輸出頻譜（圖6）。

圖6.f的抖動(dòng)系統(tǒng)的譜 s = 40 kHz。

施加抖動(dòng)時(shí)，輸入頻率處只有一個(gè)顯性分量?，F(xiàn)在我們已經(jīng)熟悉了抖動(dòng)的功能，讓我們來看看應(yīng)用這種技術(shù)的不同方法。

抖動(dòng)方法：減法和非減法抖動(dòng)

這兩種抖動(dòng)方法如圖 7 所示。

* 圖7. （a） 非減法和 （b） 減法抖動(dòng)拓?fù)涞暮?jiǎn)單細(xì)分。圖片由ADI公司提供*

在減法（圖7（b））中，引入輸入端的噪聲以相反的極性添加到輸出端，從而將系統(tǒng)輸出端的凈抖動(dòng)噪聲歸零。通過圖7（b）所示的特定實(shí)現(xiàn)，噪聲發(fā)生器的輸出被轉(zhuǎn)換為模擬值并從輸入中減去，而噪聲的數(shù)字等效值則通過加法器添加到輸出中。在非減法中，噪聲被引入輸入，而不從輸出中減去。

正如我們稍后將討論的那樣，減法抖動(dòng)可能比非減法版本更強(qiáng)大，尤其是在處理量化失真時(shí)。然而，在許多實(shí)際情況下，不可能僅僅因?yàn)槎秳?dòng)噪聲在數(shù)字域中是未知的，就不可能從輸出中減去抖動(dòng)信號(hào)。

減法抖動(dòng) — 消除量化失真

抖動(dòng)背后的理論相對(duì)復(fù)雜且需要數(shù)學(xué)密集型。在這里，在不通過數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)的情況下，我們將看一下一些結(jié)果。如前所述，我們應(yīng)該記住，減法抖動(dòng)比非減法方法更強(qiáng)大。對(duì)于任意輸入信號(hào)，可以證明具有適當(dāng)抖動(dòng)噪聲的減法系統(tǒng)可以呈現(xiàn)白色的量化誤差，在統(tǒng)計(jì)上與系統(tǒng)輸入無關(guān)，并且在到范圍內(nèi)具有均勻分布。

使量化噪聲具有這些所需特征的一個(gè)抖動(dòng)信號(hào)是白噪聲，其均勻分布在到范圍內(nèi)。有關(guān)相關(guān)數(shù)學(xué)推導(dǎo)和定理的摘要，您可以參考“使量化噪聲具有這些所需特征的一種抖動(dòng)信號(hào)是白噪聲，其均勻分布在”一書。

非減法抖動(dòng) — 減少量化失真

對(duì)于任意輸入，非減法拓?fù)洳荒苁箍傉`差均勻分布或在統(tǒng)計(jì)上獨(dú)立于輸入。然而，一個(gè)設(shè)計(jì)得當(dāng)?shù)姆菧p法系統(tǒng)仍然可以大大改善量化系統(tǒng)。我們?cè)诒疚牡谝徊糠种刑峁┑?a target="_blank">仿真結(jié)果對(duì)應(yīng)于非減法系統(tǒng)。這些模擬證實(shí)了非減材系統(tǒng)的有效性。

在正確選擇抖動(dòng)信號(hào)的情況下，非減法拓?fù)涞目傉`差功率P錯(cuò)誤，總計(jì)可以通過公式1表示（有關(guān)更多詳細(xì)信息，請(qǐng)參閱上一節(jié)中提到的書）。

等式 1.

上式中的第一項(xiàng)是理想量化器的眾所周知的噪聲功率。第二項(xiàng)是抖動(dòng)噪聲的方差。公式1直觀地有意義，因?yàn)樗砻鞫秳?dòng)噪聲功率與量化噪聲功率相加，從而決定了整個(gè)系統(tǒng)的本底噪聲。如果我們使用方差較大的抖動(dòng)噪聲，則輸出噪聲水平會(huì)增加。換句話說，通過將抖動(dòng)噪聲添加到輸入中，我們?cè)噲D打破量化噪聲和輸入之間的相關(guān)性，但代價(jià)是略微提高了本底噪聲。

常見抖動(dòng)信號(hào)

抖動(dòng)信號(hào)的一個(gè)重要特征是其概率密度函數(shù)。具有高斯、矩形或三角形分布的抖動(dòng)信號(hào)用于不同的應(yīng)用?？捎糜跍p少非減法系統(tǒng)量化失真的矩形和三角形抖動(dòng)信號(hào)如圖9所示。

* 圖9. （a）矩形和（b）三角形抖動(dòng)信號(hào)的圖，用于消除量化失真。*

上述矩形和三角形抖動(dòng)信號(hào)的方差分別為和
。

對(duì)于高斯抖動(dòng)，建議的方差為
。

通過代入公式1中的這些值，我們可以計(jì)算出不同抖動(dòng)類型的本底噪聲增加。與無抖動(dòng)系統(tǒng)相比，應(yīng)用矩形、三角形和高斯抖動(dòng)可以使非減法系統(tǒng)的本底噪聲分別增加3 dB、4.8 dB和6 dB。